Делимость суммы и произведения. Деление с остатком
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять свойства делимости суммы и произведения, находить частное и остаток при делении, определять возможный остаток и использовать НОД и НОК при решении практических задач.
- Познакомить учащихся со свойствами: если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число; если один из множителей делится на число, то и произведение делится на это число.
- Сформировать умение представлять деление с остатком в виде равенства $a=bq+r$, где $0\leq r<b$, и проверять результат.
- Развивать умение устанавливать соответствия между числами, признаками делимости, делителями, НОД и НОК.
- Воспитывать аккуратность вычислений, готовность объяснять свой выбор и сотрудничать при работе с рабочим листом.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску закономерностей в свойствах чисел и к применению математики в практических ситуациях.
- Осознают ценность точной записи условия, вычислений и проверки результата.
- Развивают самостоятельность при выборе способа решения задания рабочего листа.
- Принимают необходимость уважительно обсуждать разные варианты решения в паре или группе.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и составляют последовательность действий для её решения.
- Извлекают информацию из условия, таблицы соответствий и вариантов ответа.
- Сравнивают способы решения, находят ошибки в рассуждениях и аргументируют выбор ответа.
- Планируют время выполнения заданий рабочего листа и проводят самопроверку по эталону.
Предметные
- Знать свойства делимости суммы и произведения.
- Уметь выполнять деление с остатком и находить частное и остаток.
- Уметь определять допустимые остатки при делении на заданное число.
- Уметь находить НОД и НОК чисел и применять их в задачах на совпадение периодов.
- Уметь объяснять, почему сумма или произведение обязательно делится на заданное число.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за результат выполнения рабочего листа.
- Формируют положительное отношение к математическому рассуждению и проверке гипотез.
- Оценивают собственное продвижение от простого воспроизведения правила к применению в задаче.
- Проявляют готовность принимать помощь и оказывать её одноклассникам.
Регулятивные УУД
- Определяют цель урока по затруднениям в заданиях рабочего листа.
- Планируют действия: вспомнить правило, выполнить вычисление, проверить ограничение на остаток.
- Контролируют запись частного, остатка, НОД и НОК.
- Исправляют ошибки после сравнения с эталоном и оценивают степень самостоятельности.
Познавательные УУД
- Выделяют признаки делимости и связывают их с конкретными числами.
- Моделируют деление с остатком равенством $a=bq+r$.
- Устанавливают причинно-следственную связь между делимостью множителя и произведения.
- Сравнивают НОД и НОК как разные характеристики пары чисел.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ с математическим обоснованием.
- Обсуждают решение в паре, задают уточняющие вопросы и корректно возражают.
- Распределяют роли при проверке заданий рабочего листа.
- Представляют классу найденный способ решения и объясняют его последовательность.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Делимость суммы и произведения. Деление с остатком» по одному экземпляру на каждого ученика и 2 дополнительных экземпляра.
- Подготовить карточки для парной работы с равенствами $a=bq+r$ и карточки с вариантами ответов к заданиям №1, №3, №5 и №7.
- Вывести на доску или слайд памятку: «Сумма кратных чисел», «Произведение и множитель», «$a=bq+r$, $0\leq r<b$», «НОД и НОК».
- Подготовить цветные маркеры, таймер, стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Разложить на парты рабочие листы и небольшие карточки для задания «Найди пару».
- Подготовить эталон ответов: №1 — первое утверждение; №3 — второе; №5 — на 9; №7 — 6; №9 — 36 минут.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для демонстрации схемы и проверки ответов.
- На доске заранее записать числа $135$, $225$, $12$, $18$ и формулу $a=bq+r$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, рабочий лист и карточка на парте. Сегодня нам предстоит не просто вспомнить правила, а использовать их как математические инструменты." | Проверяют принадлежности, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 12 и 18 и говорит: "Два сигнала срабатывают через 12 и 18 минут. Когда они снова сработают одновременно? Попробуйте предположить, какое математическое понятие нам поможет. Запишите свой вариант, а затем обсудите его с соседом по парте." Используется приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально предполагают ответ, затем обсуждают в парах и формулируют: «Нужно найти общее кратное, ближайшее совпадение связано с НОК». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы увидим, как делимость суммы и произведения связана с вычислениями, остатками, НОД и НОК. Начнём с того, что уже умеем проверять."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить признаки делимости, понятия делителя, кратного, НОД и НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Назовите делители числа 12. Какое число называют кратным другому? Чем НОД отличается от НОК? Не называйте только ответ — добавьте короткое объяснение." | Отвечают: «Делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6, 12»; «Кратное получается умножением числа на натуральное число»; «НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное». |
2 мин | Учитель показывает числа 135 и 225: "По какому признаку можно быстро проверить делимость этих чисел на 9? Объясните, что нужно сделать с цифрами." | Складывают цифры: $1+3+5=9$, $2+2+5=9$, формулируют: «Оба числа делятся на 9». |
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с примерами деления и просит выполнить приём «Найди пару»: $29:6$, $43:8$, $57:7$. "Соедините каждый пример с частным и остатком. Проверьте результат обратным действием." | В парах находят: $29=6\cdot4+5$, $43=8\cdot5+3$, $57=7\cdot8+1$; проговаривают частное и остаток. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Делитель — число, на которое делят. Частное — результат деления. Остаток меньше делителя. Деление с остатком: $a=bq+r$, где $0\leq r<b$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили признаки делимости и увидели, что остаток нельзя выбирать произвольно. Теперь проверим, какое утверждение о сумме всегда верно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при объяснении свойств суммы и произведения и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Рассмотрим утверждение: сумма двух чисел, делящихся на 6, делится на 6. Например, $12+18=30$. Кажется, что утверждение неверно. Но проверим: 12 и 18 действительно делятся на 6, а 30 — нет. Где ошибка в рассуждении?" Учитель предлагает разобрать пример $12+18$ и просит не ограничиваться быстрым ответом. | Анализируют пример, замечают, что $30:6=5$, то есть сумма всё-таки делится на 6. Исправляют первоначальную гипотезу. |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: "Почему сумму двух чисел, кратных 6, можно разделить на 6? Почему произведение обязательно делится на множитель, кратный 8? Как определить частное и остаток без ошибки? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют: «Нужно научиться применять свойства делимости суммы и произведения, выполнять деление с остатком и находить НОД и НОК в задачах рабочего листа». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: нам важно не угадывать вариант, а доказывать его свойством или вычислением. Переходим к открытию правил, которые помогут выполнить весь рабочий лист."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать свойства делимости суммы и произведения, алгоритм деления с остатком, связь НОД и НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $a=6m$, $b=6n$. "Если два числа делятся на 6, их можно представить как произведения 6 и некоторого натурального числа. Найдём сумму: $a+b=6m+6n=6(m+n)$. Что теперь можно утверждать?" | Записывают преобразование и формулируют: «Сумма двух чисел, делящихся на 6, делится на 6». Переносят правило в памятку. |
2 мин | Учитель записывает: $a=8m$. "Рассмотрим произведение $a\cdot b$. Подставим представление множителя: $a\cdot b=8m\cdot b=8(mb)$. Какой вывод следует?" | Отвечают: «Если один множитель делится на 8, то произведение делится на 8». Приводят пример $16\cdot5=80$. |
2 мин | Учитель показывает схему: $a=bq+r$, $0\leq r<b$. "При делении на 7 остаток может быть только 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Почему 7 и 8 не подходят?" | Объясняют: «Остаток 7 равен делителю и увеличивает частное, а 8 больше делителя». Выбирают в задании №7 число 6. |
2 мин | Учитель возвращается к задаче о сигналах: "Чтобы найти первый момент совпадения, найдём НОК чисел 12 и 18. Выпишем кратные: $12,24,36$ и $18,36$. Первое общее кратное — 36." | Записывают алгоритм и ответ: «Сигналы снова сработают через 36 минут». |
Запись в тетрадях
- Если $a$ и $b$ делятся на $d$, то $a+b$ делится на $d$.
- Если один из множителей произведения делится на $d$, то произведение делится на $d$.
- При делении $a$ на $b$: $a=bq+r$, где $0\leq r<b$.
- НОД используют для нахождения наибольшего общего делителя, НОК — для поиска первого общего кратного.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правила записаны. Теперь применим их не к отдельным примерам, а непосредственно к заданиям рабочего листа и проверим, насколько уверенно они работают."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: отработать свойства делимости и алгоритм деления с остатком на заданиях №1–6 рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Выполните задания №1 и №3. В каждом случае сначала подчеркните ключевые слова: «сумма», «делится», «произведение», «множитель». Затем выберите утверждение и устно объясните его соседу." | Индивидуально выбирают в №1 первое утверждение, в №3 второе; в парах объясняют выбор через представление $a=6m$ или $a=8m$. |
2 мин | Учитель разбирает задание №5: "Числа 135 и 225 делятся на 9. На какое число обязательно делится их сумма? Не нужно складывать вслепую: примените свойство суммы." | Выбирают «На 9», записывают: $135+225=9m+9n=9(m+n)$; называют ответ. |
3 мин | Учитель предлагает выполнить №2, №4 и №6: "В №2 соедините пример с частным и остатком, проверяя равенством. В №4 сопоставьте число с признаком делимости, а в №6 найдите число, на которое произведение обязательно делится, опираясь на множители." Учитель контролирует пары и адресно исправляет ошибки. | Выполняют задания, в №2 проверяют равенства вида $a=bq+r$, в №4 используют признаки делимости, в №6 выделяют множитель, который является делителем произведения. |
Эталон решения
Для задания №5: $135=9\cdot15$, $225=9\cdot25$. Тогда $135+225=9\cdot15+9\cdot25=9(15+25)=9\cdot40$, поэтому сумма обязательно делится на 9. Для деления с остатком проверяем равенство $a=bq+r$ и условие $0\leq r<b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились обосновывать ответы свойствами, а не только вычислять. Остались задания, где нужно соединить несколько понятий: допустимый остаток, НОД и НОК. Выполним их самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение нового знания в заданиях №7–10 и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель даёт инструкцию: "Самостоятельно выполните задания №7, №8, №9 и №10. Работайте по алгоритму: прочитайте условие, определите понятие, выполните вычисление или сопоставление, проверьте ответ. Если закончили раньше, объясните решение задания №9 двумя способами — перечислением кратных и разложением на простые множители." | Решают задания. В №7 выбирают остаток 6; в №8 находят НОД пар чисел; в №9 получают 36 минут; в №10 находят НОК наборов чисел. |
2 мин | Учитель показывает на доске эталон: «№7 — 6; №9 — 36 минут». Для №8 и №10 предлагает сверить соединённые пары с карточкой-подсказкой, не объявляя все ответы сразу. | Сверяют ответы, отмечают знаком «+» верные задания, исправляют ошибки другим цветом. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить решение всех заданий; жёлтую — если нужна проверка НОД или НОК; красную — если осталось непонимание деления с остатком." К ученикам с жёлтыми и красными карточками подходит для краткой адресной помощи. | Поднимают карточки, формулируют затруднение: «Путаю НОД и НОК», «Не всегда проверяю остаток», «Не понимаю, почему произведение делится на множитель». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная схема уже работает. Сейчас соберём все понятия в одну систему и ещё раз ответим на проблемный вопрос урока."
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученные правила, оценить результат и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Закончите фразу»: "Если каждое слагаемое делится на число, то… Если один множитель делится на число, то… При делении на 7 остаток… Чтобы найти первый момент совпадения периодов, нужно…" | Заканчивают фразы: «сумма делится на это число»; «произведение делится на это число»; «меньше 7»; «найти НОК периодов». |
2 мин | Учитель раздаёт стикеры для «Билета на выход»: "Запишите одно правило, которое сегодня стало понятнее, и одну проверку, которую нельзя забывать при делении с остатком." | Пишут: «остаток меньше делителя», «нужно проверить равенство $a=bq+r$», «сумма кратных чисел делится на общий делитель». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, один повышающий или дополнительный. Важно не просто записать ответы, а привести краткое обоснование выбора." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены 9–10 заданий рабочего листа, в заданиях на делимость и деление с остатком приведено обоснование или проверка, НОД и НОК не перепутаны.
- «4» — верно выполнены 7–8 заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неполное объяснение, но свойства делимости применены правильно.
- «3» — верно выполнены 5–6 заданий, понятия частного и остатка в основном различаются, однако есть ошибки в обосновании делимости, НОД или НОК.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство делимости суммы или произведения ты можешь объяснить своими словами? | Проверка осознанности нового правила, а не механического запоминания. |
Как ты проверяешь результат деления с остатком? | Выявление понимания равенства $a=bq+r$ и ограничения $0\leq r<b$. |
Чем отличаются НОД и НОК? В какой задаче нужен каждый из них? | Диагностика различения понятий и их практического применения. |
Какое задание рабочего листа оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что свойства делимости позволяют доказывать ответ без длинных вычислений: сумма кратных чисел сохраняет общий делитель, а произведение сохраняет делимость на каждый подходящий множитель. Мы научились записывать деление с остатком и проверять, что остаток меньше делителя. Не путайте НОД, который ищет общий делитель, и НОК, который помогает найти первое совпадение периодов. На следующем уроке мы продолжим применять эти свойства в задачах и разберём типичные ошибки более подробно."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: одно на проверку делимости суммы, одно на делимость произведения, одно на деление с остатком и одно на определение возможного остатка при заданном делителе. В каждом задании записать краткое объяснение или проверку. | Закрепить основные свойства и алгоритм $a=bq+r$; при проверке обратить внимание на условие, что остаток меньше делителя. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на нахождение НОД и НОК двух или трёх чисел, включая задачу о совпадении периодов, аналогичную задаче с сигналами через 12 и 18 минут. | Закрепить различие НОД и НОК и научиться выбирать нужное понятие в практическом контексте. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на делимость суммы или произведения и собственную задачу на деление с остатком. Для каждой задачи написать решение, проверку и объяснение, почему выбранное свойство работает. | Перейти от применения правила к созданию математической ситуации и аргументированному объяснению. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие выполняется для остатка при делении на $b$?», «На какое число обязательно делится сумма двух чисел, делящихся на 9?», «Что нужно найти для определения первого совпадения двух периодов — НОД или НОК?»
