Магические фигуры. Магические квадраты и другие фигуры
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать магические квадраты и другие магические фигуры, находить их магическую сумму и составлять квадрат 3 × 3 из чисел от 1 до 9 с проверкой всех строк, столбцов и диагоналей.
- Образовательная задача: сформулировать понятие магической фигуры и магической суммы, установить условие магичности квадрата.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать закономерности, выдвигать и проверять гипотезы, объяснять ход рассуждений.
- Коммуникативная задача: организовать сотрудничество в парах и группах при составлении и проверке магических фигур.
- Воспитательная задача: формировать интерес к математике, настойчивость при поиске решения и ответственное отношение к результату общей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску математических закономерностей и нестандартных решений.
- Осознают ценность точности, проверки результата и добросовестного участия в общей работе.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно преодолевать затруднения при решении задачи.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из таблицы, сравнивают суммы и выявляют закономерность.
- Работают в паре и группе, распределяют роли, аргументируют гипотезу и корректно оценивают решение.
- Осуществляют самопроверку по заданному алгоритму и исправляют найденные ошибки.
Предметные
- Знать признаки магического квадрата и понятие магической суммы.
- Уметь проверять равенство сумм в строках, столбцах и диагоналях квадрата.
- Уметь составлять магический квадрат 3 × 3 из чисел от 1 до 9.
- Уметь находить недостающее число в магической строке и объяснять способ решения.
- Владеть навыком построения и проверки простых магических фигур.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной деятельности через решение игровой математической задачи.
- Проявляют готовность доводить поиск решения до результата, даже если первая гипотеза оказалась неверной.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель: построить и проверить магическую фигуру.
- Планируют действия: определить сумму, расставить числа, проверить строки, столбцы и диагонали.
- Сверяют результат с эталоном, находят ошибку и корректируют расположение чисел.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и рефлексии.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки магического квадрата среди обычных таблиц.
- Анализируют числовые ряды, сравнивают суммы и устанавливают зависимости.
- Моделируют условие задачи с помощью квадратной таблицы и карточек с числами.
- Применяют вычисления сложения и вычитания для нахождения неизвестного элемента.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: вычислитель, составитель, проверяющий и докладчик.
- Формулируют вопрос и ответ, используя математические термины.
- Доказывают магичность фигуры, ссылаясь на результаты вычислений.
- Согласуют действия при расхождении мнений и принимают общее решение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране три таблицы 3 × 3: обычную, полумагическую и магическую, без заранее указанных названий.
- Распечатать карточки с числами от 1 до 9: по одному комплекту на каждую группу из 4 человек, всего 6 комплектов.
- Распечатать карточки трёх уровней самостоятельной работы: базовые — по одной на каждого ученика, повышенные — по одной на парту, дополнительные — 6 экземпляров.
- Подготовить рабочий лист с алгоритмом проверки: строки, столбцы, главные диагонали.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёные, жёлтые и красные — по одному комплекту на ученика.
- Вывести на экран изображение магического квадрата 3 × 3 и короткую задачу о распределении чисел в таблице.
- Подготовить таймер для групповой работы и маркеры для записи решений на мини-досках или листах А4.
- Разместить на доске памятку: «Магическая сумма — одинаковая сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на диагоналях».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать положительный настрой и включить учеников в проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране три числовые таблицы. «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка и линейка должны лежать перед вами. Сегодня мы начнём урок с математического расследования. Посмотрите на таблицы и пока не пытайтесь назвать их — найдите, что в них необычного». | Проверяют готовность, рассматривают три таблицы, записывают дату и оставляют место для темы урока. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите наблюдение с соседом. Какая таблица кажется особенной? Что нужно проверить, чтобы это доказать? Постарайтесь использовать числа и суммы, а не только слова “красивая” или “интересная”». | Сравнивают таблицы, обсуждают в парах, предполагают: «В одной таблице суммы по строкам, столбцам и диагоналям могут быть одинаковыми». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили, что расположение чисел может подчиняться особому правилу. Сегодня мы выясним, как это правило работает и как самим создавать такие фигуры».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки сложения, сравнения чисел и работы с таблицами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку. «Вычислите суммы: 4 + 5 + 6; 2 + 7 + 9; 8 + 1 + 3. Какая операция нам понадобится чаще всего сегодня? Теперь найдите сумму чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Запишите вычисления в тетрадь». | Выполняют вычисления: «4 + 5 + 6 = 15», «2 + 7 + 9 = 18», «8 + 1 + 3 = 12», «1 + 2 + ... + 9 = 45». |
3 мин | Учитель показывает таблицу и задаёт вопросы. «Как называются горизонтальные ряды? Как называются вертикальные ряды? Какие линии называют диагоналями? Проверим таблицу: посчитайте сумму чисел в каждой строке и столбце. Совпадают ли результаты?» | Называют: «Строки, столбцы, диагонали». Поочерёдно складывают числа в таблице и фиксируют, что суммы могут быть разными. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как быстро находить суммы и читать таблицу. Обычная таблица не обязана иметь одинаковые суммы, поэтому нам нужно открыть новое правило».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемную задачу. «Перед вами квадрат: в первой строке стоят 8, 1, 6; во второй — 3, 5, 7; в третьей — 4, 9, 2. Проверьте три строки, три столбца и две диагонали. Почему этот квадрат можно назвать магическим? Какое условие повторяется?» | Складывают числа по направлениям и обнаруживают одинаковую сумму 15. Формулируют: «Во всех строках, столбцах и диагоналях получается одно и то же число». |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске. «Какую цель поставим? Сформулируйте её так, чтобы в конце мы могли проверить результат. Что должны научиться делать не только с готовым квадратом, но и сами?» | Формулируют цель: «Узнать признаки магического квадрата, находить магическую сумму и составлять собственный квадрат 3 × 3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нужно не просто увидеть одинаковые суммы, а понять способ построения и научиться доказывать, что фигура магическая. Переходим к открытию правила».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести понятие магической суммы и алгоритм проверки магического квадрата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам комплект карточек от 1 до 9 и демонстрирует квадрат на доске. «Сложите все числа от 1 до 9. В квадрате три строки, и каждая строка должна иметь одну и ту же сумму. Как найти эту сумму? Разделите общую сумму на количество строк. Запишите рассуждение: $45 : 3 = 15$. Число 15 назовём магической суммой». | В группах складывают числа, делят общую сумму на 3, записывают: «Магическая сумма равна 15». |
3 мин | Учитель формулирует правило. «Магическая фигура — это фигура, в которой суммы чисел по заданным направлениям одинаковы. Для магического квадрата проверяем все строки, столбцы и две диагонали. Посмотрите на квадрат: сначала проверим строки, затем столбцы, затем диагонали. Почему нельзя остановиться после проверки только строк?» | Записывают определение, отвечают: «Потому что одинаковые суммы должны быть во всех указанных направлениях, а не только в строках». |
3 мин | Учитель предлагает группам проверить квадрат карточками и заполняет на доске алгоритм. «Работаем по шагам: 1) определяем магическую сумму; 2) проверяем строки; 3) проверяем столбцы; 4) проверяем диагонали; 5) делаем вывод. Докладчик каждой группы назовёт одну проверенную сумму». | Проверяют: $8+1+6=15$, $3+5+7=15$, $4+9+2=15$; столбцы и диагонали также дают 15. Докладчики делают вывод: «Квадрат магический». |
Запись в тетрадях
Магическая фигура — фигура, в которой суммы чисел по заданным направлениям одинаковы. Магический квадрат — квадрат, в котором суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях равны одному числу. Это число называют магической суммой. Алгоритм проверки: найти магическую сумму; проверить строки; проверить столбцы; проверить диагонали; сформулировать вывод.
Другие магические фигуры
Кроме магических квадратов, существуют и другие магические фигуры:
• Магический треугольник — числа размещают в вершинах и на сторонах так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была одинаковой.
• Магический прямоугольник — суммы чисел в строках и столбцах совпадают, хотя длина и ширина фигуры различаются.
• Магический крест — числа на каждом луче креста дают одну и ту же сумму.
При проверке любой магической фигуры нужно определить заданные направления, вычислить суммы и сравнить их между собой.
• Магический треугольник — числа размещают в вершинах и на сторонах так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была одинаковой.
• Магический прямоугольник — суммы чисел в строках и столбцах совпадают, хотя длина и ширина фигуры различаются.
• Магический крест — числа на каждом луче креста дают одну и ту же сумму.
При проверке любой магической фигуры нужно определить заданные направления, вычислить суммы и сравнить их между собой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли признак магического квадрата и алгоритм проверки. Теперь применим правило сначала вместе, а затем самостоятельно построим собственную фигуру».
Этап 5. Первичное закрепление. Работа в группах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм проверки и применить его к незавершённому квадрату.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой группе карточку с квадратом: первая строка — 8, 1, 6; вторая — 3, 5, пустая клетка; третья — 4, 9, 2. «Магическая сумма этого квадрата равна 15. Найдите пропущенное число, но не называйте его сразу: покажите вычисление и объясните, почему оно подходит». | Находят неизвестное: $3+5+x=15$, $x=7$. Записывают решение и вставляют карточку 7. |
3 мин | Учитель предлагает проверку. «Теперь каждая группа проверяет не только строку с пропуском, но и все остальные направления. На листе поставьте отметки напротив строк, столбцов и диагоналей. Если всё совпало, подготовьте вывод одним предложением». | Проверяют восемь направлений, отмечают суммы 15, формулируют: «После вставки числа 7 все строки, столбцы и диагонали имеют сумму 15». |
3 мин | Учитель организует краткую защиту решений. «Докладчики, назовите уравнение и одну диагональ. Остальные группы сравнивают ответ и поднимают зелёную карточку, если согласны, или жёлтую, если нашли вопрос». | Докладчики объясняют решение; остальные сверяют вычисления, задают уточняющие вопросы и показывают карточки обратной связи. |
Эталон решения
Магическая сумма равна 15. Во второй строке: $3+5+x=15$. Тогда $x=15-3-5=7$. Проверка: строки дают 15; столбцы: $8+3+4=15$, $1+5+9=15$, $6+7+2=15$; диагонали: $8+5+2=15$, $6+5+4=15$. Следовательно, квадрат магический.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы нашли неизвестное число не подбором, а с помощью магической суммы и затем доказали правильность результата полной проверкой. Теперь каждый попробует составить или восстановить магическую фигуру самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание нового материала и выполнить дифференцированное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня. «Выберите карточку по готовности: базовый уровень — восстановить одно число и проверить квадрат; повышенный — составить квадрат из чисел от 1 до 9; дополнительный — придумать другую магическую фигуру или описать способ получения квадрата. Работайте индивидуально, не подсказывайте соседям». | Выбирают уровень, записывают номер задания и начинают работу. |
5 мин | Учитель напоминает критерии самопроверки: «Сначала найдите магическую сумму, затем выполните вычисления по всем направлениям. Не ставьте себе отметку только за найденное число: важны решение, проверка и вывод. Через пять минут на экране появится эталон». | Решают выбранное задание, выполняют вычисления, проверяют строки, столбцы и диагонали, формулируют вывод. |
3 мин | Учитель показывает эталоны и проводит взаимопроверку по алгоритму. «Сверьте каждое действие, подчеркните место расхождения, если оно есть. Исправление ошибки — часть работы математика. Поставьте себе знак: “+” — всё верно, “?” — нужна помощь, “!” — нашёл собственную ошибку». | Сверяют ответы с эталоном, исправляют вычисления, отмечают результат и формулируют, что получилось или вызвало затруднение. |
Эталон решения
Для квадрата из чисел от 1 до 9 магическая сумма равна $45:3=15$. Один из вариантов расположения: верхняя строка $8,1,6$; средняя $3,5,7$; нижняя $4,9,2$. Проверка выполняется по трём строкам, трём столбцам и двум диагоналям; в каждом случае сумма равна 15.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм помогает не угадывать, а доказывать. Осталось связать новое правило с общей системой знаний и оценить, достигли ли мы цели».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор». «Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить, что такое магическая сумма и как проверить квадрат; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если осталось существенное затруднение. Одним предложением завершите фразу: “Сегодня я научился…”». | Показывают карточку, формулируют: «Сегодня я научился находить магическую сумму», «проверять строки, столбцы и диагонали», «находить пропущенное число». |
3 мин | Учитель возвращается к цели урока. «Мы поставили цель научиться распознавать и составлять магические квадраты. Проверьте себя: можете ли вы назвать определение, вычислить сумму для чисел от 1 до 9 и объяснить, почему одного совпадения недостаточно? Запишите домашнее задание, выбрав уровень». | Отвечают: «Магический квадрат имеет одинаковые суммы во всех строках, столбцах и диагоналях; одной строки недостаточно для доказательства». Записывают выбранный вариант домашней работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы работали как исследователи: заметили закономерность, сформулировали правило, проверили его и применили к новой задаче. Спасибо за точные вычисления и взаимопомощь».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно найдена магическая сумма, без ошибок составлен или восстановлен квадрат, проверены все строки, столбцы и диагонали, вывод сформулирован математически точно.
- «4» — решение в основном верное, магическая сумма найдена правильно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — ученик понимает идею магического квадрата и выполнил часть проверки, но допустил две и более ошибки или не завершил доказательство магичности.
- Ниже базового уровня — отсутствует понимание условия магичности либо не выполнена проверка направлений; требуется повторное объяснение алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое магическая сумма и как её найти для квадрата из чисел от 1 до 9? | Проверка осознания ключевого понятия и способа вычисления. |
Какие направления нужно проверить, чтобы доказать, что квадрат магический? | Выявление понимания полного алгоритма, а не проверки только строк. |
Какое действие оказалось самым сложным: найти число, составить квадрат или выполнить проверку? | Выявление точек затруднения и планирование последующей коррекции. |
Какой способ работы помог вам сегодня: карточки, обсуждение в группе или самостоятельная проверка? | Определение эффективных для класса форматов учебной деятельности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что за красивым расположением чисел стоит точное математическое правило. Мы научились находить магическую сумму, восстанавливать неизвестное число и проверять все строки, столбцы и диагонали. Помните: самая частая ошибка — проверить только одну строку и сразу назвать квадрат магическим. На следующем уроке мы продолжим работу с закономерностями и попробуем решать более сложные задачи на составление и преобразование фигур».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задания на нахождение пропущенного числа в магическом квадрате 3 × 3 и в каждом случае записать проверку строк, столбцов и диагоналей. | Закрепляет понятие магической суммы и алгоритм полной проверки; при проверке обратить внимание на запись вычислений и вывод. |
Средний (повышающий) | Составить 2 разных магических квадрата 3 × 3 из чисел от 1 до 9, оформить их в тетради и доказать магичность каждого вычислениями. | Развивает применение правила и умение самостоятельно строить математическую модель; проверить отсутствие повторов и наличие всех чисел от 1 до 9. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать, как изменится магическая сумма, если к каждому числу магического квадрата прибавить одно и то же число. Привести собственный пример и объяснить закономерность. | Формирует умение анализировать преобразование фигуры и доказывать вывод на конкретных вычислениях. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют магической фигурой? Как найти магическую сумму квадрата из чисел от 1 до 9? Какие линии обязательно проверить? Почему совпадение сумм только в строках ещё не доказывает магичность квадрата?»
