Уравнения на нахождение делителя
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться находить неизвестный делитель в уравнениях вида a : x = b, обосновывать выбор действия и проверять найденное значение подстановкой.
- Образовательная задача: повторить связь деления с умножением и правило нахождения неизвестного компонента деления.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие уравнения, выбирать и объяснять способ решения, обнаруживать ошибку в вычислениях.
- Развивающая задача: формировать навыки планирования, самопроверки и сотрудничества в паре.
- Воспитательная задача: поддерживать доброжелательное взаимодействие, ответственность за общий результат и уверенность в возможности исправить ошибку.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску способа решения уравнения, в котором неизвестен делитель.
- Осознают ценность аккуратной записи и проверки вычислений в совместной работе.
- С готовностью принимают учебную задачу и оценивают собственный вклад в парную работу.
- Проявляют уважение к другому способу рассуждения, если он математически обоснован.
Метапредметные
- Выделяют известные и неизвестные компоненты деления в записи уравнения.
- Используют информацию из учебного текста и схемы отношений между компонентами действий.
- Составляют план решения и проверяют результат обратным действием.
- Объясняют ход рассуждения партнеру, задают уточняющие вопросы и согласуют общий ответ.
- Применяют деление и умножение в задаче с жизненным контекстом распределения предметов поровну.
Предметные
- Знают, что неизвестный делитель находят делением делимого на частное.
- Умеют решать уравнения вида 24 : x = 6 и 35 : x = 5.
- Умеют проверять найденный делитель умножением частного на делитель и сопоставлять результат с делимым.
- Умеют записывать решение уравнения последовательными равенствами и формулировать ответ.
- Различают уравнения на нахождение делителя и уравнения на нахождение делимого или частного.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Принимают цель урока как собственную учебную задачу: научиться находить неизвестный делитель.
- Соотносят аккуратность проверки с надежностью математического ответа.
- Проявляют готовность выслушать партнера и корректно обсудить различие в решениях.
- Оценивают, какой шаг решения уже получается самостоятельно, а где требуется опора.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель и намечают последовательность решения уравнения.
- Удерживают учебную задачу при выполнении тренировочных заданий.
- Сверяют решение с правилом и выполняют проверку обратным действием.
- Обнаруживают несоответствие в решении, исправляют его и объясняют причину ошибки.
- Оценивают свою работу по критериям правильности, записи и проверки.
Познавательные УУД
- Анализируют запись a : x = b и устанавливают, какой компонент действия неизвестен.
- Сопоставляют деление с умножением и используют связь между компонентами действий.
- Моделируют задачу схемой равных групп и переводят ее в математическую запись.
- Классифицируют уравнения по неизвестному компоненту деления.
- Извлекают нужное правило из учебного текста и применяют его при решении.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли решающего и проверяющего, затем меняются ролями.
- Формулируют объяснение с использованием слов «делимое», «делитель», «частное».
- Задают партнеру вопросы о выбранном действии и проверке результата.
- Аргументированно согласуют общий ответ и корректно указывают на вычислительную ошибку.
- Представляют классу способ решения, не подменяя математическое объяснение только ответом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с тремя записями: 24 : 4 = 6; 24 : x = 6; схема «делимое : делитель = частное».
- Подготовить карточки для игры «Математический детектив»: по одной карточке на пару, с уравнением, местом для решения и проверки.
- Распечатать индивидуальные карточки трех уровней — по одной на ученика; задания должны включать уравнение на неизвестный делитель и проверку.
- Подготовить карточки со словами «делимое», «делитель», «частное» и знаками «:», «=», «×» для работы у доски.
- Подготовить короткий текст или фрагмент учебного материала по теме неизвестного делителя; ученики работают с ним в рамках своего учебника, без привязки к странице.
- Вывести на экран или написать на доске проблемное уравнение 30 : x = 5 и задачу о равном распределении 30 карандашей в 5 стаканчиков.
- Подготовить бумажные «жетоны-проверки» или фишки для игровой самопроверки: по одной на пару.
- Оборудование: доска, маркеры или мел, проектор при наличии, карточки, тетради, карандаши; дополнительное оборудование для физкультминутки не требуется.
- Методические ресурсы: учебник, которым пользуется класс, таблица компонентов деления, подготовленные учителем карточки, устная проблемная задача и схема равных групп.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников поиском неизвестного числа в делении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и предлагает игру «Математический детектив»: «Здравствуйте, ребята! Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: на парте должны быть тетрадь, ручка и учебник. Сегодня нам предстоит раскрыть математическую загадку. Детективу нужны внимательность, аккуратная запись и умение проверять догадки. Посмотрите на доску: одно число в примере спряталось за буквой». Учитель показывает запись 24 : x = 6. | Проверяют готовность, открывают тетради, рассматривают запись на доске; предполагают: «Нужно узнать, какое число делит 24, чтобы получилось 6». |
2 мин | Учитель продолжает: «Не называйте ответ сразу. Подумайте, что в этой записи уже известно, а что скрыто. Чем отличается эта запись от обычного примера 24 : 4 = 6? Сегодня мы не просто угадаем число, а найдем способ, который подойдет и для других уравнений. Как будем действовать, чтобы наше решение можно было проверить?» | Устно выделяют известные числа 24 и 6 и неизвестный делитель x; предлагают: «Вспомнить правило деления», «проверить умножением». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы заметили, что неизвестным может быть не только результат действия. Сейчас вспомним, как связаны деление и умножение, чтобы разобраться с этой загадкой».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать названия компонентов деления и известный способ проверки деления умножением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске равенство 24 : 4 = 6 и карточки со словами «делимое», «делитель», «частное»: «Вспомним названия компонентов. Как называется число, которое делят? Как называется число, на которое делят? Как называется результат? Покажите, к какому числу относится каждая карточка. Чем проверим, верно ли выполнено деление?» | Называют и соотносят компоненты: «24 — делимое, 4 — делитель, 6 — частное»; отвечают: «Умножением: 6 · 4 = 24». |
3 мин | Учитель проводит короткий устный счет: «За две минуты решите в тетради три примера: 18 : 3, 28 : 4, 35 : 5. После каждого результата назовите проверку умножением. Затем сравните ответы с соседом. Если ответы совпали, поставьте рядом маленькую галочку; если нет — найдите, на каком шаге разошлись». Учитель фиксирует на доске результаты и следит за тем, чтобы ученики проговаривали проверку. | Решают примеры: 18 : 3 = 6, 28 : 4 = 7, 35 : 5 = 7; проверяют: 6 · 3 = 18, 7 · 4 = 28, 7 · 5 = 35; сверяют вычисления с соседом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уверенно называете компоненты и проверяете деление умножением. Но в нашем уравнении как раз неизвестно число, на которое делят. Выясним, какое затруднение возникает и чего нам не хватает».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: помочь ученикам обнаружить затруднение при нахождении неизвестного делителя и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к записи 24 : x = 6: «Мы знаем делимое и частное, но делитель спрятан. Можно ли решить это уравнение привычным способом, если мы пока не назвали правило? Что нужно сделать, чтобы 24 разделить и получить 6? Не спешите: сначала подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите ответ с соседом». | Обдумывают задачу, затем обсуждают ее в паре; предлагают число 4, потому что 24 : 4 = 6. |
2 мин | Учитель организует проблемный диалог: «Мы нашли число подбором. А если бы делимое было 96, а частное 8, стали бы долго перебирать варианты? Какое действие поможет найти делитель сразу? Как проверить найденное число? Давайте сформулируем, чему нужно научиться сегодня». Учитель записывает на доске детскую формулировку цели. | Отвечают: «Нужно делимое разделить на частное»; формулируют цель: «Научиться находить неизвестный делитель и проверять его умножением». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы поставили задачу: не подбирать делитель, а вывести надежное правило. Обратимся к связи между делением и умножением и проверим, подтверждает ли она нашу догадку».
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести и сформулировать правило нахождения неизвестного делителя с опорой на учебный материал и модель равных групп.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает открыть учебник на теме, соответствующей сегодняшнему уроку, и найти правило или пример о неизвестном делителе: «Читайте небольшой фрагмент внимательно. Найдите, как связаны делимое, делитель и частное. Подчеркните правило или важную подсказку. Если формулировка вам непонятна, поставьте на полях вопросительный знак». Учитель не указывает страницу и направляет учеников к материалу, который используется классом. | Читают соответствующий фрагмент учебного материала, находят правило, отмечают ключевые слова; при необходимости задают вопрос партнеру или учителю. |
4 мин | Учитель рисует на доске 30 карандашей и 5 одинаковых стаканчиков: «Представьте, что 30 карандашей распределили поровну в 5 стаканчиков. Сколько карандашей в каждом стаканчике? Как записать эту ситуацию? Теперь изменим вопрос: мы знаем, что в каждом стаканчике по 6 карандашей, а всего их 30. Что означает неизвестное число 5 в записи 30 : x = 6?» Учитель строит схему равных групп и связывает ее с уравнением. | Отвечают: «В каждом стаканчике по 6 карандашей»; записывают 30 : 5 = 6. Объясняют: «x показывает, на сколько равных групп разделили 30». |
4 мин | Учитель задает цепочку наводящих вопросов: «Если 30 : x = 6, какое умножение верно по связи деления и умножения? Что нужно разделить, чтобы найти x из равенства 6 · x = 30? Какое правило получилось? Посмотрите на схему компонентов на доске и сформулируйте его полным предложением». Учитель записывает правило и рядом образец: 30 : x = 6; x = 30 : 6; x = 5; проверка: 30 : 5 = 6. | Строят рассуждение: 6 · x = 30; x = 30 : 6; x = 5. Формулируют правило: «Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное». Записывают образец и проверку. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное». Образец: 30 : x = 6; x = 30 : 6; x = 5. Проверка: 30 : 5 = 6.
Эталон решения
Для уравнения 30 : x = 6 неизвестен делитель. По правилу нахождения неизвестного делителя: x = 30 : 6 = 5. Проверка: 30 : 5 = 6. Равенство верно, значит x = 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели правило не подбором, а через связь деления с умножением и подтвердили его на модели равных групп. Теперь потренируемся применять правило вслух, чтобы каждый шаг был понятен».
Этап 5. Физкультминутка «Числовые движения» (3 мин)
Цель этапа: снять утомление и поддержать внимание через короткую двигательную паузу, связанную с математическими действиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит учеников встать рядом с партами: «Проведем игру “Числовые движения”. Я называю пример и ответ; если равенство верное, хлопните один раз, если неверное — поднимите руки вверх. Затем выполним движения для отдыха: потянемся к потолку, опустим руки, мягко повернем плечи. Сохраняйте свободное пространство и выполняйте движения спокойно». Учитель предлагает равенства 18 : 3 = 6, 20 : 4 = 6, 24 : 6 = 4. | Реагируют на равенства: хлопают на верные 18 : 3 = 6 и 24 : 6 = 4; поднимают руки на неверное 20 : 4 = 6. Выполняют потягивание и движения плечами, возвращаются на места. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы размялись и одновременно проверили деление. Садимся, открываем тетради: теперь применим правило к уравнениям и объясним решение партнеру».
Этап 6. Первичное закрепление в парах. Игра «Математический детектив» (5 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения уравнения на нахождение делителя через парное объяснение и взаимопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздает каждой паре карточку и объясняет роли: «В первой задаче один из вас будет детективом-решающим, второй — экспертом-проверяющим. Решите уравнение 42 : x = 7, проговорите правило, запишите проверку. Затем поменяетесь ролями на следующем уравнении. Эксперт не сообщает ответ сразу, а задает вопрос: “Как ты нашел делитель?”» | Получают карточку, распределяют роли решающего и проверяющего, читают уравнение 42 : x = 7. |
2 мин | Учитель наблюдает и задает уточняющие вопросы: «Какой компонент неизвестен? Какое действие выбираем? Что должно получиться при проверке? Не забудьте записать не только ответ, но и ход решения». | Решают: x = 42 : 7 = 6; проверяют: 42 : 6 = 7. Объясняют партнеру правило и подтверждают ответ проверкой. |
2 мин | Учитель предлагает поменяться ролями и решить 56 : x = 8: «Теперь решающий становится экспертом, а эксперт объясняет решение. Если обнаружили ошибку, назовите ее спокойно и покажите, какой шаг нужно исправить. Поставьте на карточке жетон, если решение содержит правило, вычисление и проверку». | Меняются ролями, записывают x = 56 : 8 = 7, проверяют 56 : 7 = 8; сверяют наличие трех частей решения и прикрепляют жетон к карточке пары. |
Эталон решения
42 : x = 7; x = 42 : 7; x = 6; проверка: 42 : 6 = 7. Для второго уравнения: 56 : x = 8; x = 56 : 8; x = 7; проверка: 56 : 7 = 8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В паре важно было не только найти число, но и объяснить, почему делимое делится на частное. Сейчас каждый покажет, как справляется самостоятельно, а затем применит это умение к задаче о распределении предметов».
Этап 7. Самостоятельная работа и применение в жизненной задаче (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение правила и связать уравнение с практической ситуацией равного распределения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает индивидуальные карточки: «Работаем самостоятельно. Для обязательной части решите уравнение 36 : x = 4 и выполните проверку. Затем выберите базовое задание: 48 : x = 6 или более сложное: 72 : x = 9 и 63 : x = 7. В каждом решении запишите правило, вычисление и проверку. На карточке есть место для отметки: “умею”, “нужна подсказка”». | Индивидуально решают выбранные уравнения. Для обязательного задания получают x = 9 и выполняют проверку 36 : 9 = 4; записывают самооценку на карточке. |
2 мин | Учитель предъявляет межпредметную задачу: «В школьной мастерской подготовили 40 цветных листов бумаги и разложили их поровну в 5 папок. Сколько листов в каждой папке? Запишите решение делением. Теперь представьте, что известно, что в каждой папке лежит по 8 листов, а всего 40. Составьте уравнение с неизвестным числом папок и объясните, как найти неизвестный делитель». | Решают задачу: 40 : 5 = 8 листов. Составляют 40 : x = 8; находят x = 40 : 8 = 5; объясняют связь с равным распределением материалов в школьной мастерской. |
2 мин | Учитель выводит на доску ответы и предлагает самопроверку: «Сравните свою запись с эталоном на доске: сначала правило и вычисление, затем проверка. Если нашли расхождение, исправьте его другим цветом и отметьте, какая ошибка была допущена: неверно выбрано действие, допущена ошибка в делении или пропущена проверка. Поднимите зеленую карточку, если справились, желтую — если нужна еще одна тренировка». | Сверяют записи с эталоном, исправляют ошибки, отмечают тип затруднения; показывают зеленую или желтую карточку. |
Эталон решения
36 : x = 4; x = 36 : 4 = 9; проверка: 36 : 9 = 4. Задача: 40 : 5 = 8 листов в каждой папке. Уравнение 40 : x = 8; x = 40 : 8 = 5; проверка: 40 : 5 = 8. Ответ: подготовили 5 папок.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили правило самостоятельно и увидели, что уравнение описывает реальное равное распределение. Осталось оценить, что удалось освоить, и сформулировать вопрос, который поможет нам двигаться дальше».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: организовать рефлексию достижения цели урока и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает прием «Билет на выход»: «На маленьком листке ответьте на два вопроса: как найти неизвестный делитель и чем проверить найденное число? Допишите фразу: “Теперь я умею…” или “Мне нужно еще потренироваться…”. Это не контрольная, а подсказка мне, какие задания предложить вам на следующем уроке». | Пишут индивидуальный ответ: «Неизвестный делитель равен делимому, разделенному на частное; проверяем делением»; завершают фразу самооценки и сдают листок. |
3 мин | Учитель сообщает задание и завершает урок: «Запишите домашнюю работу. Всем нужно выполнить базовую часть; затем можно выбрать повышающий уровень, а желающие выполнить дополнительное задание. Подумайте, какое из них поможет вам лучше потренировать проверку. Перед выходом скажите соседу одно правило, которое сегодня стало понятнее». | Записывают домашнее задание, выбирают дополнительный уровень при желании; проговаривают партнеру правило нахождения неизвестного делителя. |
«Сегодня мы научились находить неизвестный делитель и убедились, что правило связано с умножением и делением. Важно не останавливаться на одном ответе: проверка помогает заметить ошибку и убедиться в решении. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения с неизвестными компонентами действий и будем выбирать нужное правило самостоятельно».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все обязательные уравнения и выбранные задания, в каждом записано правило, вычисление и корректная проверка; решение жизненной задачи оформлено полностью.
- «4» — правило выбрано верно, большинство уравнений решено правильно; допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, которую ученик исправляет при проверке.
- «3» — ученик с опорой на подсказку верно определяет неизвестный делитель и решает хотя бы одно уравнение; проверка или объяснение выполнены частично.
- Формирующая обратная связь: отдельно отмечаются верный выбор действия, точность вычисления, наличие проверки и ясность объяснения партнеру.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как найти неизвестный делитель в уравнении? | Проверить, усвоено ли правило нахождения неизвестного делителя. |
Как ты проверишь, что найденное значение подходит? | Выявить понимание связи деления с умножением и необходимости проверки. |
На каком шаге решения 36 : x = 4 тебе пришлось остановиться и подумать? | Обнаружить точку затруднения в алгоритме: выбор действия, вычисление или проверка. |
Какое задание ты выбрал и почему? | Оценить осознанность выбора уровня и субъективную уверенность ученика. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы вывели правило нахождения неизвестного делителя и применили его в уравнениях и задаче о распределении листов. Запомните: неизвестный делитель находят, разделив делимое на частное. Типичная ошибка — перепутать делитель с частным или забыть проверить ответ; поэтому всегда задавайте себе вопрос, верно ли выполнено исходное деление. Спасибо за внимательную работу и помощь друг другу. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения и будем определять неизвестный компонент по условию задачи».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 уравнения на нахождение неизвестного делителя вида 24 : x = 4, 35 : x = 5; в каждом записать правило и проверку. | Закрепить алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор действия, вычисление и подтверждение ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений на нахождение неизвестного делителя с разными делимыми и частными, а также составить к одному уравнению задачу о равном распределении предметов. | Перенести правило в новый числовой и текстовый контекст; проверить соответствие составленной задачи уравнению. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 собственных уравнения на неизвестный делитель с двузначным делимым, для каждого придумать короткую задачу и записать проверку. | Развивать умение конструировать математическую модель и обосновывать, что выбранные числа дают корректное решение. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как называется число, на которое делят? Как найти неизвестный делитель? Как проверить найденное значение?» Ожидаемые ответы: «Делитель»; «делимое разделить на частное»; «подставить найденный делитель и проверить исходное деление».
