Умножение и деление: связь действий и решение задач
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться применять связь умножения и деления для составления равенств и решения простых текстовых задач, объясняя выбор действия.
- Закрепить понимание умножения как сложения одинаковых слагаемых и деления как распределения поровну или нахождения количества равных групп.
- Научиться составлять по одному примеру на умножение и два связанных примера на деление.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать действие и проверять ответ обратным действием.
- Формировать интерес к математике, аккуратность записи и готовность сотрудничать при работе в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерности между умножением и делением.
- Понимают ценность взаимопомощи и уважительно обсуждают математические решения в паре.
- Осознают значение самопроверки и ответственности за результат собственной работы.
- Положительно оценивают преодоление затруднения при выборе арифметического действия.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия задачи, схемы и математической записи.
- Сравнивают способы решения, находят связь между компонентами действий и делают вывод.
- Участвуют в диалоге, задают уточняющие вопросы, аргументируют выбор действия и осуществляют взаимопроверку.
Предметные
- Знать связь между умножением и делением как взаимно обратными действиями.
- Уметь по произведению и одному множителю находить неизвестный множитель делением.
- Уметь составлять семейство связанных равенств вида 4 · 3 = 12, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3.
- Уметь решать простые задачи на умножение и деление, записывать решение и ответ.
- Уметь проверять результат деления умножением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют учебную мотивацию через участие в поиске способа решения.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат выполнения задания.
- Выражают готовность исправлять ошибку после её обнаружения.
- Связывают математические действия с практической ситуацией распределения предметов поровну.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют действия при составлении связанных равенств и решении задачи.
- Сверяют вычисления с эталоном и проверяют деление обратным умножением.
- Обнаруживают ошибку, объясняют её причину и корректируют запись.
Познавательные УУД
- Выполняют анализ условия и выделяют известные и неизвестные величины.
- Моделируют задачу рисунком, краткой записью или схемой.
- Устанавливают причинно-следственную связь между умножением и делением.
- Классифицируют задачи по требуемому арифметическому действию и формулируют вывод.
Коммуникативные УУД
- Формулируют ответ полным предложением и используют математические термины.
- Обсуждают решение в паре, распределяют роли и договариваются о едином ответе.
- Задают вопросы: «Почему выбрано деление?» и «Как проверить результат?».
- Корректно сообщают партнёру об ошибке и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране рисунок: 3 ряда по 4 кружка и запись 4 + 4 + 4 = 12.
- Распечатать карточки с наборами связанных равенств — по одной на каждого ученика.
- Распечатать карточки трёх уровней самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Подготовить 8 конвертов для парной работы, в каждом — карточки с числами 3, 4, 12 и знаками действий.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному набору на каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: «Чтобы проверить деление, умножь частное на делитель».
- Подготовить магнитные изображения 12 предметов и 3 корзин для мотивационной задачи.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, таймер и лист с эталоном для самопроверки.
- Приготовить листы для рефлексии и небольшие стикеры для выхода из класса.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к открытию связи между умножением и делением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к математическому исследованию: тетрадь, ручка, линейка и хорошее настроение. Сегодня нам предстоит не просто решить примеры, а найти математический секрет." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране 12 яблок и 3 корзины: "У нас есть 12 яблок. Нужно разложить их поровну в 3 корзины. Какое действие поможет узнать, сколько яблок будет в каждой корзине? А если мы узнаем количество яблок в одной корзине, как проверить результат?" | Рассматривают рисунок, предлагают: "Нужно разделить 12 на 3"; предполагают: "Проверить можно умножением: количество яблок в корзине умножить на число корзин". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что умножение и деление могут помогать друг другу. Сейчас вспомним известные способы вычислений и найдём, какую связь между действиями можно использовать."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о смысле умножения и деления и подготовить учащихся к выявлению затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает рисунок с 3 рядами по 4 кружка: "Посмотрите на рисунок. Сколько всего кружков? Назовите два способа найти количество: сложением одинаковых слагаемых и умножением." | Считают группы, записывают: 4 + 4 + 4 = 12 и 4 · 3 = 12; объясняют: "Число 4 повторяется три раза". |
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Вычислите 2 · 5, 3 · 4, 5 · 2, 12 : 3. К каждому ответу подберите объяснение рисунком или равными группами." | Называют результаты: "10, 12, 10, 4"; показывают пальцами или схематично изображают равные группы. |
2 мин | Учитель записывает 3 · 4 = 12 и спрашивает: "Что обозначает каждое число? Как можно получить число 12? Какие два вопроса можно задать к этой записи?" | Отвечают: "3 — количество групп, 4 — предметов в группе, 12 — всего предметов"; формулируют вопросы: "Сколько всего? Сколько в одной группе?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что умножение находит общее количество равных групп. Но пока не записали все связанные с ним равенства. Именно это станет нашей задачей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с числами 3, 4, 12: "Составьте из этих чисел пример на умножение. Теперь попробуйте составить два примера на деление, используя те же числа. Запишите варианты и обсудите, почему они связаны." | В парах составляют 3 · 4 = 12, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3; замечают, что в примерах используются одни и те же числа. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись 12 : 3 = 3: "Один ученик решил, что частное равно 3. Согласны ли вы? Как доказать свою позицию? Чему нужно научиться, чтобы не ошибаться?" | Проверяют умножением: 3 · 3 = 9, а не 12; формулируют затруднение: "Нужно научиться связывать умножение и деление и проверять деление". Ученики формулируют цель: "Узнать, как составлять связанные равенства и проверять деление умножением". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: сегодня мы откроем правило связи умножения и деления, применим его к примерам и задачам, а затем проверим себя самостоятельно."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести правило составления связанных равенств на основе модели равных групп.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выкладывает 12 фишек в 3 равные группы: "Составим модель. В каждой группе по 4 фишки, групп 3, всего 12. Запишем первое равенство: 4 · 3 = 12. Что обозначает каждый множитель?" | Рассматривают модель, называют: "4 — число в каждой группе, 3 — количество групп, 12 — общее количество"; записывают равенство. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь зададим два вопроса к той же модели. Сколько фишек в одной группе, если всего 12 фишек разделили на 3 группы? Сколько групп получится, если 12 фишек раскладывать по 4? Запишем два равенства." | Формулируют и записывают: 12 : 3 = 4 и 12 : 4 = 3; показывают соответствующие группы. |
3 мин | Учитель формулирует правило на доске: "Если произведение двух чисел равно третьему числу, то произведение можно разделить на любой из множителей и получить другой множитель. Например: 4 · 3 = 12, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3. Как проверить деление?" | Читают правило, выделяют в тетради числа одного семейства; отвечают: "Частное умножаем на делитель и получаем делимое". |
Запись в тетрадях
Записывают: «Связь умножения и деления: 4 · 3 = 12; 12 : 3 = 4; 12 : 4 = 3. Чтобы проверить деление, частное умножают на делитель: 4 · 3 = 12».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили три связанных равенства из одной модели. Теперь потренируемся составлять такие семейства и объяснять, какое число в каждом примере неизвестно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления связанных равенств с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре конверт с карточками 2, 6, 12 и инструкцией: "Составьте одно равенство на умножение и два на деление. Один ученик раскладывает карточки, второй объясняет смысл каждого действия, затем поменяйтесь ролями." | Составляют: 2 · 6 = 12, 12 : 2 = 6, 12 : 6 = 2; по очереди объясняют значения чисел. |
2 мин | Учитель предлагает задание «Найди ошибку»: "На доске записано 5 · 3 = 15, 15 : 5 = 3, 15 : 3 = 5. Проверьте семейство и покажите зелёную карточку, если все равенства верны." | Проверяют каждое равенство, поднимают зелёные карточки, объясняют: "Все равенства верны, потому что используются множители 5 и 3 и произведение 15". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для обобщения: "Какое число является делимым в связанных примерах? Как найти неизвестный множитель?" | Отвечают: "Произведение становится делимым; неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы доказали, что одни и те же три числа образуют семейство равенств. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять правило без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание связи умножения и деления и научить выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который соответствует вашей уверенности. На базовом уровне составьте связанные равенства для 3, 5 и 15. На среднем дополнительно вставьте пропуски: 4 · □ = 20, 20 : 4 = □, 20 : □ = 4. На повышенном решите задачу: «В 4 коробки положили по 6 карандашей. Сколько карандашей всего? Сколько карандашей будет в каждой коробке, если все карандаши разложить поровну в 3 коробки?»" | Индивидуально выполняют выбранный вариант; в задаче записывают краткую запись, два действия и ответ. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте каждую запись. Сначала сравните ответы, затем выполните проверку деления умножением. Ошибку не зачёркивайте полностью: исправьте её рядом и объясните причину." | Сверяют работу с эталоном, выполняют проверку: 20 : 4 = 5, 5 · 4 = 20; отмечают исправления. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку: "Покажите сигнал: зелёный — всё выполнено верно, жёлтый — была одна ошибка, красный — правило пока требует помощи. Поднимите руку те, кому нужна индивидуальная подсказка." | Поднимают сигнальные карточки, называют затруднение: «Мне трудно выбрать делитель» или «Я ошибся в порядке чисел»; исправляют запись. |
Эталон решения
Для задачи: 1) Всего карандашей: \(4 \cdot 6 = 24\) (карандаша). 2) В каждой из 3 коробок: \(24 : 3 = 8\) (карандашей). Проверка: \(8 \cdot 3 = 24\). Ответ: 24 карандаша всего; по 8 карандашей в каждой коробке.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя и увидели, что умножение помогает контролировать деление. Осталось применить новое правило в жизненной задаче и сформулировать общий вывод урока."
Этап 7. Включение нового знания в систему и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить правило в задаче, обобщить способ действия и оценить достижение цели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Для праздника подготовили 18 стаканов и расставили их поровну на 3 стола. Сколько стаканов поставили на каждый стол? Какое действие выберем? Как проверить ответ?" | Составляют краткую запись, решают: 18 : 3 = 6; проверяют: 6 · 3 = 18; отвечают: «На каждый стол поставили 6 стаканов». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно закончите фразу: «Умножение и деление связаны, потому что…». Затем обсудите формулировку с соседом и выберите точный вариант для класса." | Формулируют: «Умножение находит произведение, а деление по произведению и одному множителю находит другой множитель»; обсуждают и представляют ответы. |
2 мин | Учитель возвращается к цели: "Научились ли мы составлять три связанных равенства? Умеем ли проверять деление? Что было самым важным открытием?" | Отвечают по кругу: «Да, составляем семейство равенств»; называют способ проверки и оценивают свою работу с помощью жеста или цветной карточки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли связь умножения и деления, научились составлять семейства равенств и проверять деление обратным умножением. Теперь зафиксируем личный результат и домашнее задание."
Этап 8. Итог урока и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: организовать краткое подведение итогов и сообщить дифференцированное домашнее задание. Этап выполняется в последние минуты этапа 7.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает: "Запишите домашнее задание после урока. Выберите уровень осознанно: обязательный выполняют все, следующий уровень можно выбрать для дополнительной тренировки. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос на стикере." | Записывают выбранное задание и прикрепляют стикер с ответом на вопрос: «Как проверить пример 24 : 6 = 4?»; отвечают: «4 · 6 = 24». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно составлены все связанные равенства, правильно выполнены задания выбранной карточки, задача решена с пояснением и выполнена проверка деления умножением.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но связь умножения и деления понята, ход решения задачи и проверка в основном верны.
- «3» — выполнена базовая часть с двумя ошибками либо составлено только одно связанное равенство; требуется дополнительная помощь при выборе действия или проверке.
- При взаимопроверке учитываются точность математической записи, объяснение выбора действия и самостоятельное исправление ошибки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи умножения и деления? | Выявление осознания основного математического правила. |
Как составить два примера на деление по примеру 4 · 5 = 20? | Проверка понимания алгоритма построения семейства равенств. |
Как проверить результат деления? | Контроль усвоения способа самопроверки обратным действием. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения и планирование коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами открыли важную связь: умножение и деление помогают проверять друг друга. Мы научились по одному равенству составлять целое семейство примеров и использовать умножение для проверки деления. Помните: в задаче важно не только получить ответ, но и объяснить, почему выбрано именно это действие. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и потренируемся находить неизвестные компоненты умножения и деления."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить связанные равенства для трёх наборов чисел: 2, 7, 14; 3, 6, 18; 4, 5, 20. Решить 2 простые задачи на распределение предметов поровну. | Закрепить составление семейств равенств и выбор деления в практической ситуации; при проверке смотреть на правильность всех трёх равенств и ответа задачи. |
Средний (повышающий) | Решить 4 примера с пропусками на нахождение неизвестного множителя или делимого: например, 6 · □ = 30, □ : 4 = 5, 24 : □ = 6. Для каждого деления выполнить проверку умножением. | Отработать нахождение неизвестного компонента и самоконтроль; при проверке обратить внимание на пояснение способа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой используются умножение и деление, записать краткое условие, решение двумя действиями и проверку одного деления обратным умножением. | Развить умение создавать математическую модель жизненной ситуации и аргументировать последовательность действий. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие три числа входят в одно семейство равенств? Как из произведения получить неизвестный множитель? Каким действием проверить деление?»
