Сочетательное свойство умножения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать и применять сочетательное свойство умножения для удобного вычисления значений выражений с тремя множителями, объясняя выбор способа вычисления.
- Познакомить учащихся с сочетательным свойством умножения и его буквенной записью: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
- Научить группировать множители разными способами и выбирать наиболее удобный порядок вычислений.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить закономерность, объяснять ход рассуждения и работать в паре.
- Формировать аккуратность вычислений, интерес к поиску более рационального решения и навыки самооценки.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску удобного способа вычисления и понимают практическую ценность математических свойств.
- Осознают важность внимательности, взаимопомощи и уважительного отношения к мнению партнёра.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат индивидуального задания.
- Формируют положительное отношение к математике через самостоятельное открытие нового правила.
Метапредметные
- Выделяют существенную закономерность в примерах и формулируют вывод на основе наблюдений.
- Планируют последовательность действий при вычислении выражений с тремя множителями.
- Сравнивают два способа решения, объясняют, какой способ оказался удобнее и почему.
- Сотрудничают в паре, распределяют действия, задают уточняющие вопросы и аргументируют ответ.
- Осуществляют самопроверку по образцу и исправляют обнаруженные ошибки.
Предметные
- Знать формулировку сочетательного свойства умножения: чтобы произведение трёх множителей умножить на число, можно сначала перемножить первые два или последние два множителя.
- Уметь записывать сочетательное свойство с помощью букв и числовых выражений.
- Уметь вычислять выражения вида $(a \cdot b) \cdot c$ и $a \cdot (b \cdot c$), выбирая удобную группировку множителей.
- Уметь применять сочетательное свойство при решении задач и объяснять полученный результат.
- Владеть навыком проверки равенства двух выражений с использованием вычислений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознавать смысл учебной деятельности как поиска и открытия математической закономерности.
- Проявлять готовность доводить вычислительное задание до конца и проверять результат.
- Оценивать собственную работу без сравнения себя с другими учениками.
- Проявлять уважение к партнёру при совместном обсуждении решения.
Регулятивные УУД
- Принимать и сохранять учебную цель: научиться удобно вычислять произведение трёх множителей.
- Планировать действия: определить удобную пару множителей, выполнить промежуточное вычисление, найти итоговый результат.
- Контролировать правильность вычислений по эталону и с помощью обратного действия.
- Находить причину ошибки и вносить коррективы в решение.
- Оценивать достижение цели с помощью листа самооценки и сигнала «Светофор».
Познавательные УУД
- Сравнивать выражения, выделять их сходство и различие.
- Устанавливать закономерность: результат не меняется при изменении группировки множителей.
- Преобразовывать числовую запись в буквенную модель и обратно.
- Выбирать рациональный способ вычисления на основе состава множителей.
- Строить рассуждение от наблюдения над примерами к математическому правилу.
Коммуникативные УУД
- Работать в паре по правилу «сначала объясни партнёру, затем запиши».
- Слушать объяснение партнёра и задавать вопрос, если ход решения непонятен.
- Использовать математические термины «множитель», «произведение», «группировка».
- Аргументированно представлять общее решение пары.
- При возникновении разногласий сравнивать вычисления, а не спорить без доказательств.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами выражений: $(2 \cdot 5) \cdot 3$ и $2 \cdot (5 \cdot 3)$; $(4 \cdot 2) \cdot 5$ и $4 \cdot (2 \cdot 5)$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую пару, с тремя заданиями на выбор удобной группировки.
- Распечатать карточки самостоятельной работы трёх уровней: по одной на каждого ученика.
- Подготовить листы самооценки со строками «Я знаю правило», «Я умею группировать множители», «Я могу объяснить свой выбор».
- Приготовить зелёные, жёлтые и красные карточки для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Вывесить на доску математическую памятку: «Сначала найди удобную пару множителей. Затем вычисли произведение этой пары. После этого умножь результат на третий множитель».
- Подготовить магнитные карточки с числами 2, 3, 4, 5, 10 и знаками умножения и скобками для моделирования выражений.
- Организовать посадку по парам, обеспечить каждому ученику тетрадь, ручку и линейку.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для коротких заданий и проектор или интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску удобного способа вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, всё ли готово к математическому исследованию: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня мы не просто будем считать, а попробуем открыть новое свойство умножения самостоятельно. Работать будем внимательно и в парах, потому что хорошая математическая идея часто становится яснее, когда её объясняешь другому человеку." | Проверяют готовность рабочего места, кладут перед собой тетради и ручки, поворачиваются к партнёру. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $2 \cdot 5 \cdot 3$ и говорит: "Представьте, что это три коробки с одинаковым количеством предметов, которые нужно посчитать как можно удобнее. Как вы будете вычислять? Можно сначала умножить 2 на 5, а можно сначала 5 на 3. Подумайте несколько секунд и обсудите ответ с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально выбирают способ, затем обсуждают его с партнёром и формулируют: «Можно сначала найти $2 \cdot 5$ или сначала $5 \cdot 3$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы заметили, что одно произведение можно считать разными способами. Сейчас проверим, всегда ли результат остаётся тем же и можно ли превратить это наблюдение в математическое правило."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о множителях, произведении и переместительном свойстве умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $3 \cdot 4 = 12$ и задаёт вопросы: "Как называются числа 3 и 4? Как называется число 12? Что произойдёт, если поменять множители местами? Запишите равенство и объясните его словами." | Отвечают: «3 и 4 — множители, 12 — произведение»; записывают $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$ и формулируют: «От перестановки множителей произведение не изменяется». |
3 мин | Учитель предлагает устно вычислить: $2 \cdot 5$, $5 \cdot 3$, $4 \cdot 5$, $10 \cdot 3$. Затем спрашивает: "Какие произведения удобнее находить первыми, если в выражении есть множители 2, 5 и 10? Почему?" | Вычисляют значения, называют удобные пары: «5 умножить на 2 удобно получить как 10», «10 умножить на 3 легко посчитать десятками». Объясняют свой выбор. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что множители можно переставлять и что некоторые произведения считать особенно удобно. Теперь посмотрим, что произойдёт, если в выражении будет не два, а три множителя."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать учебную цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два выражения: $(2 \cdot 5) \cdot 3$ и $2 \cdot (5 \cdot 3)$. Реплика: "Сравните выражения. Что в них одинаково? Что изменилось? Как вы думаете, будут ли результаты равны? Не спешите отвечать по догадке — сначала вычислите оба выражения в тетради." | Находят множители и скобки, замечают одинаковый набор чисел, самостоятельно вычисляют: $(2 \cdot 5) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30$; $2 \cdot (5 \cdot 3) = 2 \cdot 15 = 30$. |
2 мин | Учитель организует обсуждение: "Результаты совпали. Случайность ли это? Как можно назвать действие, которое мы изменили? Сегодня нам нужно выяснить, всегда ли можно по-разному объединять три множителя и как это использовать, чтобы считать быстрее. Сформулируйте цель урока одним предложением." | В парах формулируют цель: «Узнать, можно ли по-разному группировать три множителя, и научиться выбирать удобный способ вычисления». Несколько пар озвучивают варианты. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: результат, похоже, не зависит от группировки множителей. Теперь проведём небольшое исследование и проверим эту гипотезу на разных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания. Работа в парах (9 мин)
Цель этапа: самостоятельно выявить и сформулировать сочетательное свойство умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с таблицей: «Выражение 1: $(3 \cdot 2) \cdot 4$; выражение 2: $3 \cdot (2 \cdot 4)$; выражение 3: $(5 \cdot 2) \cdot 3$; выражение 4: $5 \cdot (2 \cdot 3)$». Инструкция: "Распределите работу: один ученик вычисляет выражения с первой группировкой, второй — со второй. Затем сравните результаты и поставьте знак сравнения." | Распределяют действия в паре, вычисляют четыре выражения в черновике и записывают знаки равенства. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы по результатам: "Что получилось в каждой паре выражений? Какие числа остались теми же? Что изменилось только в записи? Обсудите, можно ли сформулировать общий вывод без конкретных чисел." | Сравнивают результаты, отвечают: «Результаты равны», «Множители те же, изменилось только объединение скобками», формулируют предварительный вывод: «При умножении трёх чисел можно сначала умножать первые два или последние два». |
2 мин | Учитель выводит на доску буквенную запись и проговаривает: "Обозначим множители буквами $a$, $b$, $c$. Тогда наше наблюдение можно записать так: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Это сочетательное свойство умножения. Скобки показывают, какие два множителя мы перемножаем сначала." | Читают формулу хором и индивидуально, находят в ней три множителя, показывают скобками сначала первую, затем вторую пару. |
2 мин | Учитель предлагает применить правило к выражению $4 \cdot 5 \cdot 2$: "Какие множители выгодно объединить первыми? Объясните не только ответ, но и причину." | Предлагают запись $4 \cdot (5 \cdot 2) = 4 \cdot 10 = 40$ и объясняют: «Сначала удобно получить 10». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение трёх множителей умножить на число, можно сначала перемножить первые два множителя или последние два. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.» Ниже записывают пример: $4 \cdot 5 \cdot 2 = 4 \cdot (5 \cdot 2) = 4 \cdot 10 = 40$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали на нескольких примерах, что группировка множителей не изменяет произведение. Правило открыто и записано. Теперь потренируемся применять его вслух, объясняя каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм применения сочетательного свойства через коллективное и парное выполнение заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает выражения $2 \cdot 5 \cdot 7$ и $3 \cdot 4 \cdot 5$: "Решаем с проговариванием. Сначала назовите удобную пару, затем поставьте скобки и только после этого вычисляйте. В первом выражении есть возможность получить 10. Во втором можно получить 20 или 60 — выберите наиболее удобный вариант." | У доски и в тетрадях записывают: $2 \cdot 5 \cdot 7 = (2 \cdot 5) \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$; $3 \cdot 4 \cdot 5 = 3 \cdot (4 \cdot 5) = 3 \cdot 20 = 60$. Проговаривают шаги. |
2 мин | Учитель раздаёт парное задание: «Вставьте скобки удобным способом и вычислите: $2 \cdot 5 \cdot 6$; $4 \cdot 5 \cdot 3$. Обязательно сравните записи с партнёром». Учитель напоминает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Самостоятельно расставляют скобки, затем сверяют записи в паре: $(2 \cdot 5) \cdot 6 = 60$; $4 \cdot (5 \cdot 3) = 60$ или $(4 \cdot 5) \cdot 3 = 60$. Объясняют, почему выбрали пару. |
2 мин | Учитель просит две пары представить разные решения: "Могут ли две правильные записи отличаться скобками? Что при этом будет одинаковым?" | Представляют решения, отвечают: «Да, скобки могут стоять по-разному, но значение произведения остаётся одинаковым». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете расставлять скобки и объяснять выбор удобной пары. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание сочетательного свойства и способность выбирать рациональный способ вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Инструкция: "Выполните обязательное задание. Если справились уверенно, переходите к повышенному. Записывайте не только ответ, но и удобную группировку множителей. Задания такие: уровень 1 — вычислите $2 \cdot 5 \cdot 4$ и $3 \cdot 2 \cdot 5$; уровень 2 — расставьте скобки наиболее удобным способом и объясните выбор в выражениях $4 \cdot 5 \cdot 6$ и $2 \cdot 25 \cdot 4$; уровень 3 — придумайте два разных выражения с тремя множителями, значение каждого должно быть равно 100." | Индивидуально решают задания, записывают промежуточные действия и краткое объяснение выбора пары. Выполнив обязательный уровень, переходят к следующему. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: $2 \cdot 5 \cdot 4 = (2 \cdot 5) \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$; $3 \cdot 2 \cdot 5 = 3 \cdot (2 \cdot 5) = 3 \cdot 10 = 30$; $4 \cdot 5 \cdot 6 = (4 \cdot 5) \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120$; $2 \cdot 25 \cdot 4 = 2 \cdot (25 \cdot 4) = 2 \cdot 100 = 200$. | Сверяют каждую строку с эталоном, ставят условный знак «+» при правильном выполнении, подчёркивают место ошибки, если она найдена. |
2 мин | Учитель проводит самооценку: "Поднимите зелёную карточку, если вы правильно расставляете скобки и можете объяснить выбор. Жёлтую — если правило понятно, но ещё нужна тренировка. Красную — если требуется моя помощь. Ошибка — это не повод расстраиваться, а подсказка, что повторить." | Показывают карточку самооценки, формулируют для себя затруднение: «Мне трудно выбрать удобную пару» или «Мне нужно внимательнее выполнять промежуточные вычисления». |
Эталон решения
Алгоритм: 1) найти пару множителей, произведение которой вычисляется проще; 2) поставить скобки; 3) вычислить произведение в скобках; 4) умножить результат на оставшийся множитель; 5) проверить вычисление. Например: $2 \cdot 25 \cdot 4 = 2 \cdot (25 \cdot 4) = 2 \cdot 100 = 200$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, кто уже уверенно применяет правило, а кому нужна дополнительная тренировка. Осталось связать новое свойство с жизненной ситуацией и ещё раз объяснить, зачем нам нужна удобная группировка."
Этап 7. Включение нового знания в систему и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: применить сочетательное свойство в практической задаче, обобщить способ действия и оценить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель читает задачу: "Для праздника купили 4 упаковки, в каждой упаковке 5 рядов по 2 наклейки. Сколько всего наклеек купили? Покажите два способа записи вычисления и объясните, какой удобнее." | Составляют выражение $4 \cdot 5 \cdot 2$, записывают два способа: $(4 \cdot 5) \cdot 2 = 40$ и $4 \cdot (5 \cdot 2) = 40$. Формулируют: «Удобнее сначала умножить 5 на 2, потому что получается 10». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Математический совет»: "Каждая пара за одну минуту сформулирует один совет ученику, который только начинает работать с произведениями трёх множителей. Совет должен начинаться словами: «Сначала…» или «Важно…»." | В парах составляют советы: «Сначала ищи множители, которые дают 10», «Важно ставить скобки перед вычислением», «Проверяй промежуточный результат». |
3 мин | Учитель возвращается к вопросу урока: "Можно ли по-разному группировать три множителя? Как называется открытое свойство? Что именно остаётся неизменным? Заполните в листе самооценки три строки: «Я знаю…», «Я умею…», «Мне нужно потренировать…»." | Отвечают: «Да, можно», «Это сочетательное свойство умножения», «Не изменяется значение произведения». Заполняют лист самооценки конкретными формулировками. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами обнаружили закономерность, записали её буквами и применили в вычислениях и задаче. На следующем этапе мы кратко зафиксируем домашнюю работу и проверим, осталось ли у кого-то существенное затруднение."
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока и дать понятную инструкцию для дальнейшей тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает домашнее задание и обращается к классу: "Перед уходом мысленно закончите фразу: «Чтобы удобно вычислить произведение трёх множителей, я сначала…». Не забывайте: в записи должны быть видны скобки и промежуточное вычисление." | Фиксируют домашнее задание, отвечают на контрольный вопрос: «Какое свойство помогает менять группировку множителей без изменения произведения?» — «Сочетательное свойство умножения». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все обязательные задания и задания повышенного уровня, скобки расставлены рационально, промежуточные вычисления записаны, объяснение выбора пары дано.
- «4» — правильно выполнены обязательные задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, правило сформулировано верно.
- «3» — правильно выполнено не менее половины обязательных выражений, но объяснение выбора группировки неполное или требуется помощь при применении правила.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового свойства умножения вы сегодня открыли? | Проверка осознания основного содержания урока и запоминания названия свойства. |
Как понять, какие множители удобно объединить первыми? | Выявление понимания алгоритма рационального вычисления. |
Где в самостоятельной работе возникло затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения: выбор группировки или вычисления. |
Можешь ли ты объяснить правило партнёру без помощи записи? | Проверка глубины понимания и сформированности коммуникативного умения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы не просто выучили новое правило, а сами обнаружили, что три множителя можно группировать по-разному, не изменяя значение произведения. Мы назвали это сочетательным свойством умножения и научились выбирать удобную пару множителей. Помните о типичной ошибке: нельзя менять сами множители или пропускать промежуточное вычисление — изменяется только порядок их объединения. На следующем уроке мы продолжим использовать свойства умножения для упрощения вычислений и решения задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения с тремя множителями: расставить скобки удобным способом, вычислить и подчеркнуть выбранную пару множителей. Использовать множители, среди которых есть пары, дающие 10, 20 или 100. | Закрепляет алгоритм применения сочетательного свойства; при проверке смотреть на наличие скобок, промежуточного действия и правильность результата. |
Средний (повышающий) | Решить 2 текстовые задачи, в каждой из которых общее количество предметов находится умножением трёх чисел. Составить выражение, показать две группировки и выбрать более удобную. | Формирует перенос правила в практическую ситуацию; при проверке оценивать соответствие выражения условию и объяснение рационального способа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 разных произведения из трёх множителей, каждое со значением 120, и для каждого показать удобную группировку. Одно выражение объяснить словами. | Развивает создание математических моделей и умение доказывать правильность выбора группировки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется свойство, позволяющее менять группировку множителей?», «Запишите его буквами», «Какие два шага нужно выполнить после выбора удобной пары множителей?»
