Решение задач на нахождение четвёртого пропорционального
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать не менее трёх задач на нахождение четвёртого пропорционального, выделяя три известные величины, выбирая способ решения и записывая краткое обоснование ответа.
- Закрепить умение устанавливать зависимость между величинами и составлять пары взаимосвязанных отношений.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выдвигать гипотезу о способе решения и проверять её.
- Формировать навыки сотрудничества при работе в парах и умение аргументированно объяснять выбранный способ решения.
- Воспитывать внимательное отношение к точности вычислений, взаимопомощь и ответственность за общий результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию практических задач с величинами.
- Осознают ценность точного расчёта и проверки результата в жизненной ситуации.
- Положительно относятся к совместной работе, оказывают партнёру помощь и принимают помощь.
- Развивают уверенность в собственных математических рассуждениях и готовность исправлять ошибки.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют известные и неизвестные величины, устанавливают зависимость между ними, моделируют условие таблицей или схемой.
- Коммуникативные: распределяют действия в паре, задают уточняющие вопросы, объясняют ход решения и сравнивают способы.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность действий, сверяют решение с эталоном и корректируют ошибки.
- Используют смысловое чтение и математическую речь для преобразования текста задачи в краткую запись.
Предметные
- Знать структуру задач на нахождение четвёртого пропорционального: три известные величины и одна неизвестная.
- Уметь составлять краткую запись задачи в виде таблицы или схемы с двумя парами взаимосвязанных величин.
- Уметь находить сначала значение одной единицы или одной пары, а затем искомое значение.
- Уметь выбирать подходящее арифметическое действие, записывать решение по действиям и формулировать ответ.
- Уметь проверять разумность полученного результата по условию задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование через понимание практической пользы вычислений при покупке и распределении предметов.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают правила доброжелательного взаимодействия.
- Формируют внутреннюю позицию ученика, готового рассуждать, проверять и исправлять решение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют решение задачи по шагам.
- Сверяют промежуточные результаты с условием и эталоном.
- Обнаруживают ошибку в выборе действия или вычислении и вносят исправления.
- Оценивают результат по заранее объявленным критериям.
Познавательные УУД
- Извлекают из текста числовые данные и соотносят каждое число с величиной.
- Сравнивают две пары величин и выявляют общий способ решения.
- Строят таблицу, схему или краткую запись задачи.
- Проверяют вывод экспериментальным способом на изменённой задаче.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один составляет краткую запись, другой проверяет соответствие данных условию.
- Формулируют вопрос к задаче и объясняют назначение каждого арифметического действия.
- Слушают решение другой пары, задают уточняющий вопрос и корректно называют сильную сторону ответа.
- Договариваются о единой записи и приходят к общему выводу.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки с тремя практическими задачами двух уровней: по одной карточке на пару, всего 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные листы самопроверки с таблицей «Известно — неизвестно — план — вычисления — ответ» — по одному на ученика.
- Подготовить карточки с изображениями упаковок яблок и ценниками для мотивационной задачи.
- Вывести на доску или экран памятку: 1) прочитай; 2) назови величины; 3) составь таблицу; 4) найди промежуточное значение; 5) найди неизвестное; 6) проверь ответ.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для самооценки: зелёный, жёлтый, красный.
- Распечатать эталон решения для каждой пары — по одному экземпляру на парту; закрыть его до этапа самопроверки.
- Подготовить маркеры, магнитные карточки, линейки и чистые листы для схем.
- Организовать на доске место для двух решений: «Через значение одной единицы» и «Через сравнение пар величин».
- Проверить наличие у каждого ученика тетради, ручки и черновика; подготовить таймер на 3–5 минут для практических заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и создать ситуацию необходимости точного расчёта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение двух одинаковых упаковок яблок. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать примеры, а работать как маленькие исследователи. Представьте, что продавцу нужно быстро определить, сколько будут стоить несколько одинаковых упаковок. Как вы думаете, достаточно ли посмотреть только на одно число?» | Рассматривают изображение, высказывают предположения: «Нужно знать цену одной упаковки», «Надо сравнить количество и стоимость». Помещают на стол тетрадь и ручку. |
2 мин | Учитель объявляет работу в парах. «Сегодня в каждой паре один ученик будет аналитиком: он ищет данные и составляет таблицу, а второй — проверяющим: он задаёт вопросы и следит за вычислениями. В середине работы роли поменяются. Наша задача — не угадать ответ, а доказать, почему выбраны именно такие действия». | Объединяются в пары, распределяют роли, записывают дату и тему урока: «Решение задач на нахождение четвёртого пропорционального». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что для точного ответа важно установить связь между величинами. Сейчас проверим, какие знания помогут нам это сделать».
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная работа (5 мин)
Цель этапа: актуализировать умения находить значение одной единицы и читать таблицу величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «4 тетради стоят 28 рублей». «Прочитайте запись. Что обозначает число 4? Что обозначает число 28? Как узнать цену одной тетради? Как проверить вычисление?» | Отвечают: «4 — количество тетрадей, 28 — их общая стоимость». Устно вычисляют $28:4=7$, формулируют: «Одна тетрадь стоит 7 рублей». Проверяют умножением $7\cdot4=28$. |
3 мин | Учитель показывает таблицу: «Количество карандашей: 3 и 6. Стоимость: 18 рублей и ?.» «Что изменилось? Во сколько раз увеличилось количество? Можно ли ожидать, что стоимость тоже увеличится в 2 раза? Объясните». Учитель фиксирует на доске ответ пары, вызванной к доске. | Участвуют во фронтальном обсуждении, называют неизвестную величину, составляют рассуждение: «6 карандашей в 2 раза больше, чем 3, значит, стоимость будет в 2 раза больше: $18\cdot2=36$ рублей». Объясняют, что цена одного карандаша остаётся одинаковой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили два способа рассуждения: найти значение одной единицы или сравнить, во сколько раз изменилось количество. Теперь исследуем, как эти действия работают в полной задаче».
Этап 3. Постановка проблемы и планирование исследования (4 мин)
Цель этапа: сформулировать признаки задачи на нахождение четвёртого пропорционального и общий план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «За 3 одинаковые тетради заплатили 24 рубля. Сколько стоят 5 таких тетрадей?» «Прочитайте условие молча. Назовите величины. Какая величина неизвестна? Что в условии повторяется и остаётся постоянным?» | Читают задачу, подчёркивают данные, называют величины: количество тетрадей и стоимость. Отмечают, что цена одной тетради постоянна, неизвестна стоимость 5 тетрадей. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите план. Не называйте пока только ответ — объясните, что узнаете первым действием». После обсуждения учитель записывает два предполагаемых плана. | Формулируют планы: «Сначала найдём цену одной тетради, затем умножим её на 5»; «Можно сравнить 5 и 3, но удобнее найти цену одной». Выбирают общий план: $24:3$, затем умножение на 5. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В задаче есть три известные величины и одна неизвестная. Мы нашли первый шаг — определить значение одной единицы. Теперь выполним практическое исследование и проверим, всегда ли этот план приводит к верному ответу».
Этап 4. Исследовательская практическая работа в парах (10 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к нескольким задачам, самостоятельно выявляя последовательность действий и объясняя её.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточку 1: «За 3 одинаковые тетради заплатили 24 рубля. Сколько стоят 5 таких тетрадей?» «Работаем по ролям. Аналитик заполняет таблицу, проверяющий задаёт вопросы: что известно, что нужно узнать, почему первое действие — деление? Затем поменяйтесь ролями и сравните запись с памяткой на доске». | В парах составляют краткую запись или таблицу, решают: $24:3=8$ (руб.) — цена одной тетради; $8\cdot5=40$ (руб.). Записывают ответ: «5 тетрадей стоят 40 рублей». Проверяющий объясняет назначение действий. |
3 мин | Учитель раздаёт карточку 2: «Для 4 одинаковых подарков купили 20 лент. Сколько лент нужно для 7 таких подарков?» «Не спешите выполнять вычисления. Сначала определите, одинаково ли количество лент на один подарок. Какое промежуточное значение поможет решить задачу?» | Читают задачу, выделяют величины «количество подарков» и «количество лент». Составляют план: $20:4=5$ лент на один подарок; $5\cdot7=35$ лент. Проверяют, что $35>20$, так как подарков стало больше. |
3 мин | Учитель предлагает карточку 3: «На 2 одинаковые коробки наклеили 12 наклеек. Сколько наклеек потребуется на 6 таких коробок?» «Попробуйте решить без подсказки и составьте объяснение для другой пары. После сигнала таймера обменяйтесь карточками и проверьте решение партнёров». | Решают самостоятельно в парах: $12:2=6$ наклеек на коробку; $6\cdot6=36$ наклеек. Обмениваются карточками, сверяют краткую запись, вычисления и ответ, задают вопрос при расхождении. |
Запись в тетрадях
- Краткая запись задачи в виде таблицы или схемы.
- План: 1) найти значение одной единицы; 2) найти значение искомого количества единиц; 3) записать ответ.
- Проверка: искомое значение должно соответствовать изменению количества предметов.
Эталон решения
Для задачи о наклейках: 1) найдём количество наклеек на одну коробку: $12:2=6$ наклеек; 2) найдём количество наклеек на 6 коробок: $6\cdot6=36$ наклеек. Ответ: 36 наклеек. Проверка: коробок стало в 3 раза больше, поэтому и наклеек должно быть в 3 раза больше: $12\cdot3=36$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы исследовали три задачи и увидели общий способ. В каждой задаче сначала находили значение одной единицы, затем использовали его для искомого количества. Теперь закрепим этот алгоритм фронтально и научимся замечать ошибки в готовых решениях».
Этап 5. Первичное закрепление. Найди ошибку (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и развить умение анализировать чужое рассуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске условие и ошибочное решение: «В 5 одинаковых пакетах 35 конфет. Сколько конфет в 8 таких пакетах? Решение: $35:5=7$; $8:7=1$». «Найдите место ошибки. Почему второе действие не соответствует вопросу задачи? Исправьте решение и объясните его словами». | В парах находят ошибку: после нахождения количества конфет в одном пакете нужно умножить 7 на 8. Записывают: $35:5=7$ конфет; $7\cdot8=56$ конфет. Формулируют ответ: «В 8 пакетах 56 конфет». |
3 мин | Учитель проводит фронтальную проверку. «Назовите контрольные вопросы к решению: что мы узнали первым действием? Что нашли вторым? Как можно проверить ответ?» На доске фиксирует алгоритм в виде стрелок. | Отвечают: «Первым действием нашли количество конфет в одном пакете; вторым — количество конфет в восьми пакетах». Проверяют: $8$ пакетов больше $5$ пакетов, значит, $56$ больше $35$; $56:8=7$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибка возникла не в вычислении, а в понимании вопроса: мы должны были умножить значение одной единицы на нужное количество единиц. Переходим к индивидуальной работе, чтобы каждый проверил себя».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на нахождение четвёртого пропорционального и выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и объявляет уровни: «Выполните обязательную задачу. Если закончили раньше и уверены в записи, выберите повышенную. Работайте молча, но после завершения обязательно проверьте решение по памятке». | Получают листы, читают условие, выбирают порядок выполнения. |
5 мин | Учитель предлагает обязательную задачу: «Для 6 одинаковых булочек использовали 18 ложек муки. Сколько ложек муки потребуется для 10 таких булочек?» Для быстро справившихся — повышенная задача: «За 4 одинаковых блокнота заплатили 32 рубля. Сколько стоят 7 таких блокнотов?» Учитель наблюдает, задаёт только направляющие вопросы: «Что означает первое число? Какое значение удобно найти сначала?» | Индивидуально составляют краткую запись и решают обязательную задачу: $18:6=3$, $3\cdot10=30$. Дополнительно решают: $32:4=8$, $8\cdot7=56$. Записывают ответы с наименованиями. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и проводит самопроверку. «Сверьте не только ответ, но и порядок действий, наименования и проверку. Поставьте плюс рядом с верным шагом, вопрос — рядом с тем, что нужно уточнить». | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки цветной ручкой, заполняют лист самооценки: «Я умею выделять величины», «Я умею находить значение одной единицы», «Я умею проверять ответ». |
Эталон решения
Обязательная задача: $18:6=3$ (ложки муки на одну булочку); $3\cdot10=30$ (ложек муки на 10 булочек). Ответ: 30 ложек. Повышенная задача: $32:4=8$ (рублей стоит один блокнот); $8\cdot7=56$ (рублей стоят 7 блокнотов). Ответ: 56 рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять общий способ без подсказки. Осталось обобщить, как распознавать такие задачи и какие вопросы задавать себе перед записью решения».
Этап 7. Обобщение и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, оценить результат работы и определить затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Лестница алгоритма». «На первом стикере напишите, что делаем перед вычислениями. На втором — какое промежуточное значение обычно находим. На третьем — как проверяем ответ. Прикрепите стикеры по порядку». | Записывают и прикрепляют: «Читаем и выделяем величины», «Находим значение одной единицы», «Находим искомое значение», «Проверяем ответ по условию». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Почему нельзя сразу делить или умножать числа, не составив план? Как понять, что ответ разумен? В какой момент вам помогла работа в паре?» | Отвечают: «Нужно понять, что означает каждое число»; «Нужно сравнить изменение количества и результата»; «Партнёр помог найти ошибку и объяснить действие». |
1 мин | Учитель проводит самооценку «Светофор». «Зелёная карточка — могу решить и объяснить; жёлтая — решаю, но иногда путаю действия; красная — нужна помощь при составлении плана». | Поднимают выбранную карточку и формулируют личную цель: «На следующем уроке хочу лучше составлять таблицу» или «Буду внимательнее проверять единицы измерения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не получили готовый алгоритм сразу, а исследовали его на нескольких задачах, нашли общие шаги и проверили их. Теперь запишем домашнее задание, которое поможет закрепить этот способ».
Этап 8. Домашнее задание и завершение (3 мин)
Цель этапа: объяснить дифференцированное домашнее задание и зафиксировать контрольные вопросы по теме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске таблицу домашнего задания. «Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный уровни выполняйте по готовности. Во всех задачах обязательно делайте краткую запись, поясняйте действия и записывайте ответ с наименованием». | Записывают выбранный уровень и требования к оформлению домашней работы, задают уточняющие вопросы. |
1 мин | Учитель завершает урок: «Перед выходом ответьте мысленно на три вопроса: какие величины связаны в задаче, что найти сначала, как проверить ответ? Эти вопросы станут вашей маленькой памяткой». | Называют один шаг алгоритма, который запомнили, и сдают лист самооценки или показывают его учителю. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательная и повышенная задачи либо три задачи практической карточки, составлены краткие записи, правильно выбраны действия, указаны наименования и выполнена проверка ответа.
- «4» — верно решена обязательная задача и выполнена большая часть повышенного задания, но допущена одна несущественная ошибка в вычислении, оформлении или проверке.
- «3» — правильно определены величины и выполнен первый шаг хотя бы одной задачи, но допущена ошибка во втором действии или ответе; ученик исправляет ошибку после подсказки.
- Ниже базового уровня — условие прочитано, но величины или последовательность действий определены неверно; требуется индивидуальная работа с таблицей и наглядной схемой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что ты находишь первым действием в задаче на четвёртое пропорциональное? | Проверка осознания промежуточного значения и алгоритма решения. |
Как ты понял, что ответ 30 ложек муки в самостоятельной задаче разумен? | Выявление умения проверять результат по изменению количества. |
На каком шаге тебе было труднее всего: составить таблицу, выбрать действие или выполнить вычисление? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Что помогло тебе в парной работе и какую роль ты выполнял? | Оценка сформированности навыков сотрудничества и распределения ролей. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы исследовали задачи, в которых известны три величины, а четвёртую нужно найти. Вы установили общий способ: сначала найти значение одной единицы, затем определить искомое количество и проверить ответ. Самая частая ошибка — выполнить действие, не объяснив, что оно означает, поэтому всегда проговаривайте первый и второй шаг. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с величинами и будем выбирать наиболее удобную краткую запись. Спасибо за внимательную и доброжелательную работу в парах».
Домашнее задание
Уровень | Что задать |
|---|---|
Обязательное | Учебник |
Дополнительное | ПТ |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие три величины обычно известны в задаче на нахождение четвёртого пропорционального? Что находим первым действием? Почему второе действие часто связано с умножением? Как проверить, что полученный ответ разумен?»
