Пересечения множеств
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся находить пересечение двух множеств, обозначать его символически и решать простые задачи на пересечение множеств, выполняя не менее 4 заданий из 5 без ошибок.
- Образовательная задача: сформировать представление о пересечении множеств как о множестве общих элементов и научить обозначать его знаком ∩.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать, классифицировать, выделять общий признак, моделировать условие задачи с помощью кругов Эйлера.
- Коммуникативная задача: формировать умение работать в парах, задавать уточняющие вопросы и объяснять способ решения.
- Воспитательная задача: воспитывать внимательность, доброжелательность при совместной работе и ответственность за результат пары.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию математических объектов и поиску общего признака.
- Понимают ценность сотрудничества при решении общей учебной задачи.
- Положительно оценивают самостоятельное открытие нового способа действия.
- Осознают необходимость аккуратности и проверки результата при работе с множествами.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Сравнивают элементы двух множеств, выделяют общий признак и представляют результат в виде схемы.
- Работают с текстом задания, извлекают условие и преобразуют его в математическую модель.
- Планируют действия в паре, распределяют роли и проверяют результат по образцу.
- Используют интерактивную доску или цифровую карточку для классификации элементов.
Предметные
- Знать, что пересечение двух множеств состоит из элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам.
- Уметь находить общие элементы двух заданных множеств.
- Уметь обозначать пересечение множеств знаком ∩ и записывать результат в фигурных скобках.
- Уметь изображать пересечение множеств с помощью кругов Эйлера.
- Уметь решать простые задачи на нахождение общих элементов двух групп.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют интерес к математическому исследованию и стремятся самостоятельно обнаружить новое правило.
- Оценивают собственный вклад в работу пары.
- Связывают математическое понятие общих элементов с жизненными ситуациями: общие интересы, общие предметы, участники двух кружков.
- Сохраняют положительное отношение к учёбе при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют последовательность действий при нахождении пересечения множеств.
- Сверяют запись с условием и эталоном.
- Обнаруживают ошибку: включение в пересечение элемента, который принадлежит только одному множеству.
- Оценивают результат по предложенным критериям и намечают способ исправления ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак объектов и группируют элементы по принадлежности множеству.
- Сравнивают два множества и устанавливают отношения между ними.
- Строят модель пересечения с помощью кругов Эйлера.
- Преобразуют рисунок в математическую запись и обратно.
- Формулируют вывод о составе пересечения на основе наблюдений.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли «аналитик» и «проверяющий».
- Формулируют полный ответ и объясняют, почему элемент включён или не включён в пересечение.
- Задают партнёру вопросы по условию задания.
- Согласовывают общий вариант записи и корректно принимают замечания.
- Представляют результат работы пары классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображениями двух кругов, карточками-элементами и знаком ∩.
- Распечатать карточки с множествами для работы в парах: по одной карточке на каждую пару, всего 15 экземпляров.
- Подготовить отдельные наборы цветных карточек с числами, геометрическими фигурами и названиями предметов для группировки.
- Распечатать лист самооценки и карточку самостоятельной работы на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «1. Найди элементы первого множества. 2. Найди элементы второго множества. 3. Оставь только общие элементы. 4. Запиши результат в фигурных скобках».
- Подготовить стикеры двух цветов для рефлексии и таймер на 2–3 минуты для парных заданий.
- Подготовить учебник по используемой учителем линии для чтения формулировки и выполнения задания по теме без указания страниц и номеров.
- Подготовить проектор, компьютер или интерактивную доску; проверить открытие интерактивной классификационной карточки.
- Освободить небольшой участок пространства для физкультминутки; подготовить изображения кругов и карточки «А», «Б», «А ∩ Б».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать интерес к поиску общих элементов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два изображения: корзину с яблоками и корзину с красными предметами. «Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка, учебник и карточка для пары. Сегодня мы будем не просто считать, а исследовать, какие объекты могут одновременно относиться к двум группам». | Проверяют готовность, открывают тетради, занимают места в парах. |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: «В первой корзине лежат яблоко, груша и красное яблоко, а во второй — красный карандаш, красное яблоко и красный мяч. Какой предмет можно положить сразу в обе корзины? Почему? Запомните свой ответ: к нему мы вернёмся в конце урока». | Рассматривают изображения, называют «красное яблоко», объясняют: «Оно есть в обеих группах». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы заметили, что один объект может одновременно входить в две группы. Сейчас проверим, как описать такую общую часть математически».
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия множества, элемента и принадлежности множеству, подготовить внимание к исследованию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске два множества: А = {2, 4, 6, 8} и Б = {1, 2, 3, 4}. «Прочитайте записи. Что называют множеством? Как называют числа внутри множества? Какие числа принадлежат множеству А? А множеству Б? Поднимите зелёную карточку, если число принадлежит множеству, и жёлтую, если не принадлежит». | Называют множество и элементы, показывают карточки, отвечают: «2 принадлежит А и Б», «6 принадлежит А, но не принадлежит Б». |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку «Встань в круг»: «Если я называю число из множества А, поднимите руки вверх; если из множества Б — разведите руки в стороны; если число есть в обеих группах — сделайте хлопок». Называет числа 2, 5, 4, 7, 8, 3. | Выполняют движения, хлопают на числах 2 и 4, объясняют, почему число 5 относится только к одному множеству. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что множество состоит из элементов и каждый элемент может принадлежать или не принадлежать множеству. Теперь выясним, как назвать группу элементов, общих для двух множеств».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать цель открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает на доску множества А = {2, 4, 6, 8} и Б = {1, 2, 3, 4}. «Запишите в тетради все числа, которые встречаются в обеих группах. Как коротко назвать получившуюся группу? Как показать её на рисунке, чтобы было видно отношение двух множеств?» | Индивидуально записывают 2 и 4, затем сравнивают ответы в паре. Формулируют затруднение: «Мы нашли общие элементы, но не знаем специального названия и обозначения». |
2 мин | Учитель применяет «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте сами, затем минуту обсудите вариант с соседом. Предложите цель урока одним предложением». | Формулируют цель: «Узнать, как называется общая часть двух множеств, как её обозначать и находить». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: общие элементы мы видим, но пока не умеем записывать их математически. Наша цель — открыть правило пересечения множеств и научиться применять его».
Этап 4. Открытие нового знания в парах (9 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести смысл понятия «пересечение множеств» и его обозначение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки: А = {1, 2, 3, 4, 5}, Б = {3, 4, 5, 6, 7}. «Разложите элементы двух множеств в два пересекающихся круга. В левый круг положите элементы только А, в правый — только Б, а в общую часть — те, которые подходят сразу к двум множествам. Обсудите, какие элементы попадут в середину». | В парах раскладывают карточки, помещают 3, 4, 5 в общую часть, остальные элементы — в соответствующие части кругов. Один ученик раскладывает, второй проверяет. |
3 мин | Учитель показывает модель на доске. «Посмотрите на общую часть кругов. Она называется пересечением множеств. Записываем: А ∩ Б = {3, 4, 5}. Знак ∩ читается “пересечение”. Почему в записи нет чисел 1, 2, 6 и 7?» | Переносят схему в тетрадь, отвечают: «Эти числа принадлежат только одному множеству, поэтому они не входят в пересечение». |
3 мин | Учитель формулирует правило: «Пересечение двух множеств — это множество элементов, которые принадлежат одновременно первому и второму множеству. Прочитайте запись А ∩ Б = {3, 4, 5}. Составьте собственный пример с двумя множествами из чисел от 1 до 10 и найдите их пересечение». | Записывают правило, составляют пример в паре, например: В = {2, 5, 8}, С = {1, 5, 8}; В ∩ С = {5, 8}. Объясняют выбор элементов. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Пересечение двух множеств — это множество элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам. Обозначение: А ∩ Б. Пример: А = {1, 2, 3, 4, 5}, Б = {3, 4, 5, 6, 7}; А ∩ Б = {3, 4, 5}.» Ниже рисуют два пересекающихся круга и закрашивают общую часть.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли правило: в пересечение попадают только общие элементы. У нас есть модель, словесное правило и математическая запись. Теперь проверим новый способ на учебных заданиях и научимся не допускать типичных ошибок».
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения пересечения на математическом и жизненном материале.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание по теме из учебного материала: «В кружок рисования записались Аня, Борис, Вера и Глеб. В шахматный кружок записались Борис, Вера и Даша. Составьте множества участников и найдите их пересечение. Что означает полученный результат?» | В парах записывают Р = {Аня, Борис, Вера, Глеб}, Ш = {Борис, Вера, Даша}; находят Р ∩ Ш = {Борис, Вера}; формулируют: «Борис и Вера посещают оба кружка». |
2 мин | Учитель задаёт межпредметный вопрос, связывая математику с окружающим миром: «Рассмотрим два множества животных: живущие в воде и имеющие плавники. Какие объекты могут оказаться в пересечении? Объясните, почему недостаточно назвать всех животных, живущих в воде». | Называют, например, «рыбы», выделяют общий признак: «живут в воде и имеют плавники». Объясняют, что в пересечение входят только объекты с двумя признаками. |
2 мин | Учитель показывает на экране три короткие записи: «А ∩ Б = все элементы А», «А ∩ Б = элементы только А», «А ∩ Б = общие элементы А и Б». «Выберите верное утверждение и докажите его рисунком». | Выбирают третье утверждение, показывают общую часть кругов, объясняют ответ партнёру и классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Пересечение помогает описывать общую часть не только числовых множеств, но и реальных групп людей, предметов и объектов природы. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он применять алгоритм без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с использованием ИКТ и самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель выводит на интерактивную доску или раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. «Выполните задания самостоятельно. Базовый уровень: найдите пересечение А = {1, 3, 5, 7} и Б = {2, 3, 5, 6}. Средний уровень: изобразите кругами множества В = {круг, квадрат, треугольник} и Г = {квадрат, треугольник, прямоугольник}. Повышенный уровень: в классе 12 детей любят математику, 9 — чтение, а 5 любят и математику, и чтение. Объясните смысл числа 5». | Индивидуально решают задания: А ∩ Б = {3, 5}; В ∩ Г = {квадрат, треугольник}; объясняют, что 5 детей входят одновременно в две группы. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон. «Проверьте не только ответ, но и способ: записаны ли множества, найден только общий элемент, использован ли знак ∩? Отметьте в листе самооценки: “могу сам”, “могу с подсказкой” или “нужна помощь”». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки цветной ручкой, заполняют лист самооценки. Поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку. |
Эталон решения
1) А = {1, 3, 5, 7}, Б = {2, 3, 5, 6}. Общие элементы: 3 и 5. Следовательно, А ∩ Б = {3, 5}. 2) В ∩ Г = {квадрат, треугольник}, потому что эти фигуры находятся в обоих множествах. 3) Число 5 означает количество детей, которые одновременно любят математику и чтение; это число элементов пересечения двух множеств.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя по эталону и увидели, что главное действие — искать принадлежность элемента сразу двум множествам. Ошибка исправляется вопросом: “Есть ли этот элемент в первом и во втором множестве?” Переходим к итоговой рефлексии».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (9 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, соотнести его с поставленной целью и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Покажите зелёный стикер, если можете объяснить, что такое пересечение; жёлтый — если умеете находить его, но иногда ошибаетесь; красный — если нужна помощь. Закончите фразу: “Сегодня я узнал…”, “Теперь я умею…”, “Мне нужно потренироваться…”». | Выбирают цвет стикера, устно или письменно заканчивают фразы, называют конкретное затруднение. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: «Какой предмет можно было положить сразу в обе корзины в начале урока? Как теперь объяснить это математически?» | Отвечают: «Красное яблоко было общим элементом двух множеств, поэтому оно принадлежало их пересечению». |
1 мин | Учитель кратко объявляет домашнее задание: «Выберите уровень по своей самооценке. Запишите задание в дневник и отметьте, какой способ будете использовать: списком или кругами Эйлера». | Записывают домашнее задание, уточняют условия, выбирают уровень. |
3 мин | Учитель проводит выходной билет: «Перед выходом ответьте на два вопроса: что означает знак ∩ и найдите пересечение множеств М = {4, 6, 8} и Н = {2, 4, 8}. Сдайте карточку мне». | Пишут ответы: «∩ — пересечение», «М ∩ Н = {4, 8}», сдают выходной билет. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, пересечения записаны в фигурных скобках со знаком ∩, схема кругов Эйлера построена правильно, объяснение содержит указание на общие элементы.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, допущена одна неточность в обозначении или схеме, но смысл пересечения понятен и объяснён.
- «3» — верно выполнено базовое задание, однако в одном или двух заданиях допущены ошибки при выборе общих элементов; после подсказки ученик может исправить запись.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое пересечение двух множеств? | Проверка осознания определения и выделения ключевого признака — принадлежности обоим множествам. |
Как ты находил общие элементы в самостоятельной работе? | Выявление понимания алгоритма, а не только запоминания ответа. |
Какая ошибка может возникнуть при нахождении пересечения? | Диагностика смешения общих элементов с элементами только одного множества. |
Какого цвета стикер ты выбрал и почему? | Субъективная оценка степени освоения темы и выявление потребности в помощи. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли новое понятие — пересечение множеств. Мы выяснили, что в него входят только элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам, и научились обозначать пересечение знаком ∩. Помните: элемент, который встречается только в одной группе, в пересечение не записывается. На следующем уроке мы продолжим работать с отношениями между множествами и решать более сложные задачи с их моделями».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение пересечения двух числовых множеств и записать каждый ответ с использованием знака ∩ и фигурных скобок. | Закрепляет определение и алгоритм; при проверке смотреть, выбраны ли только общие элементы и правильно ли оформлена запись. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на изображение двух множеств кругами Эйлера, найти общую часть и составить по одной задаче из жизненного контекста для каждого рисунка. | Формирует умение переходить от математической модели к текстовой ситуации и обратно; проверять точность объяснения общей части. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример с двумя множествами из предметов, чисел или имён, чтобы пересечение содержало ровно три элемента, изобразить его и письменно объяснить решение. | Развивает творческое мышление и умение конструировать математическую модель; при проверке смотреть на корректность условий и соответствие рисунка записи. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает знак ∩? Какие элементы входят в пересечение? Может ли пересечение быть пустым? Как проверить, что элемент действительно принадлежит пересечению?»
