Переместительное свойство умножения
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся сформулируют переместительное свойство умножения, запишут его буквенную и числовую модели и применят правило при решении не менее четырёх примеров.
- Образовательная задача: открыть на практическом материале правило о том, что от перестановки множителей произведение не изменяется.
- Развивающая задача: развивать умение наблюдать, сравнивать выражения, выявлять закономерность, формулировать вывод и объяснять способ решения.
- Метапредметная задача: формировать навыки планирования действий, работы в паре, аргументации и самопроверки по эталону.
- Воспитательная задача: поддерживать интерес к математическому исследованию, взаимопомощь и ответственное отношение к результату совместной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся проявляют интерес к самостоятельному открытию математического правила через наблюдение и эксперимент.
- Осознают ценность сотрудничества и взаимопомощи при выполнении парного задания.
- Формируют положительную самооценку благодаря проверке собственных выводов и исправлению ошибок.
- Проявляют настойчивость при поиске закономерности и объяснении полученного результата.
Метапредметные
- Умеют извлекать информацию из рисунка, схемы и числовых выражений.
- Сравнивают результаты вычислений, выделяют существенные признаки и формулируют закономерность.
- Планируют последовательность действий при решении примеров и проверяют результат.
- Организуют парное взаимодействие: распределяют роли, договариваются и представляют общий вывод.
- Используют математическую речь для объяснения связи между множителями и произведением.
Предметные
- Знать формулировку переместительного свойства умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется.
- Уметь записывать свойство в виде a · b = b · a и подтверждать его на конкретных примерах.
- Уметь заменять произведение произведением с переставленными множителями без изменения значения.
- Уметь применять свойство для удобного вычисления произведений и объяснять выбор порядка множителей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Принимают учебную задачу как личную цель: узнать, почему результат умножения не меняется при перестановке множителей.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
- Осознают, что математическое правило можно открыть на основе наблюдений и доказательств.
- Сохраняют учебную мотивацию при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока после выявления затруднения.
- Планируют действия: рассмотреть модели, сравнить выражения, сформулировать правило, проверить его.
- Контролируют правильность вычислений и записи математического выражения.
- Находят и исправляют ошибку по готовому эталону.
- Оценивают степень освоения правила с помощью самооценки и рефлексии.
Познавательные УУД
- Моделируют произведение с помощью рядов предметов и схемы.
- Сравнивают пары выражений и устанавливают инвариантность результата.
- Проводят простое математическое исследование по предложенному плану.
- Переводят наблюдение с наглядной модели на числовую и буквенную запись.
- Выбирают удобный порядок множителей при вычислении.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Формулируют вопрос и ответ, используя математические термины.
- Аргументируют вывод примером и рисунком.
- Слушают партнёра, уточняют его мысль и корректно исправляют неточность.
- Представляют общий результат классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде тему урока, схему «3 ряда по 4 предмета» и таблицу для сравнения произведений.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить наборы счётных палочек или фишек: по 12 предметов на каждую пару.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы: по одной на каждого ученика.
- Подготовить листы самооценки и небольшие стикеры для рефлексии: по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску эталон: 3 · 4 = 4 · 3; a · b = b · a.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для коротких исследовательских заданий.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор при наличии, магнитные карточки с множителями, ручки и тетради.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать интерес к открытию нового свойства умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к исследованию»: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто решать примеры, а проведём маленькое математическое исследование. Проверьте, есть ли на парте тетрадь, ручка и карточка для работы в паре. Сядьте так, чтобы вы могли видеть запись на доске и советоваться с соседом». | Проверяют принадлежности, готовят тетради, садятся по парам. |
2 мин | Учитель показывает на доске рисунок: 3 ряда по 4 кружка. «Посмотрите на рисунок. Сколько кружков здесь изображено? Как можно записать это количество умножением? А если повернуть рисунок, изменится ли число кружков? Сегодня мы проверим это не на одном примере, а попробуем открыть общее правило». | Считают кружки, отвечают: «12 кружков», записывают или называют «3 · 4», предполагают: «Число предметов не изменится». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одну и ту же группу предметов можно рассматривать по-разному. Теперь вспомним, как связаны умножение и сложение, чтобы провести наше исследование».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых и подготовить основу для сравнения произведений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: «Запишите в тетради три суммы одинаковых слагаемых и замените каждую умножением: 4 + 4 + 4; 2 + 2 + 2 + 2 + 2; 5 + 5 + 5. Вспомните, что показывает первый множитель и что показывает второй множитель». Учитель просит одного ученика объяснить запись 4 · 3. | Записывают: «4 · 3», «2 · 5», «5 · 3». Объясняют: «Первый множитель показывает, какое число повторяется, второй — сколько раз его взяли». |
3 мин | Учитель проводит приём «Математическая разминка»: «Вычислите устно: 2 · 6, 6 · 2, 3 · 5, 5 · 3. Не спешите называть ответы, сначала сравните пары. Что вы замечаете?» Учитель фиксирует ответы на доске, но пока не формулирует правило. | Вычисляют: «2 · 6 = 12, 6 · 2 = 12; 3 · 5 = 15, 5 · 3 = 15». Замечают: «В каждой паре произведения равны». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили одинаковые результаты в парах примеров. Но пока это только наблюдение. Давайте выясним, всегда ли так бывает и почему результат не изменяется».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать учебное затруднение и совместно сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражения 3 · 4 и 4 · 3 и спрашивает: «Чем отличаются эти записи? Первый множитель и второй множитель поменялись местами. Можно ли сразу утверждать, что результат одинаковый? Как это доказать, а не просто угадать?» | Сравнивают выражения, отвечают: «Множители переставлены местами». Предлагают проверить вычислением, рисунком или сложением одинаковых слагаемых. |
2 мин | Учитель применяет приём «Лестница цели»: «Сначала мы построим две модели, затем сравним их, после этого сформулируем правило и проверим его на новых примерах. Какую цель поставим? Начните фразу: “Сегодня мы научимся…”» | Формулируют цель: «Сегодня мы научимся понимать и применять правило о перестановке множителей»; называют последовательность действий исследования. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение понятно: нужно объяснить, почему перестановка множителей не меняет произведение. Сейчас каждая пара проведёт своё доказательство с помощью модели».
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование в парах (10 мин)
Цель этапа: на основе предметной модели и числовых примеров вывести переместительное свойство умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре 12 фишек и карточку с заданием. «Выложите 3 ряда по 4 фишки. Запишите, сколько всего фишек: 3 · 4. Теперь переложите их так, чтобы получилось 4 ряда по 3 фишки. Запишите второе выражение: 4 · 3. Сравните модели и результаты». | Один ученик выкладывает 3 ряда по 4 фишки, второй записывает выражение. Затем меняют расположение на 4 ряда по 3 фишки, получают 12 и делают отметку: «3 · 4 = 4 · 3». |
3 мин | Учитель предлагает продолжить исследование: «Представьте произведения как суммы: 3 · 4 = 4 + 4 + 4, а 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Посчитайте обе суммы. Почему ответы совпали, хотя слагаемые записаны по-разному?» | Записывают суммы и вычисляют их. Обсуждают в парах, формулируют: «В обеих моделях посчитано одно и то же количество предметов». |
3 мин | Учитель собирает выводы приёмом «Снежный ком»: «Сначала каждый сформулируйте правило про себя. Затем обсудите формулировку в паре и выберите точную. Начните так: “От перестановки…”» Учитель выслушивает 2–3 пары и записывает эталон: «От перестановки множителей произведение не изменяется». | Индивидуально формулируют правило, затем согласуют его в паре. Представляют ответы: «От перестановки множителей произведение не изменяется». |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется. a · b = b · a. Пример: 3 · 4 = 4 · 3 = 12».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы доказали правило с помощью фишек, сложения и числового примера. Теперь проверим его на выражениях, где нужно не только узнать свойство, но и объяснить свой выбор».
Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить пары множителей через двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: «Я называю пример. Если произведение равно 12, поднимите руки вверх; если равно 15, выполните два хлопка; если равно 18, потянитесь вверх. Слушаем примеры: 3 · 4, 5 · 3, 2 · 9, 4 · 3, 3 · 5». После каждого примера учитель просит назвать переставленную пару. | Выполняют соответствующее движение, называют пары: «3 · 4 и 4 · 3», «5 · 3 и 3 · 5», «2 · 9 и 9 · 2». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы повторили свойство движением и устным счётом. Возвращаемся к тетрадям и применяем правило самостоятельно».
Этап 6. Первичное закрепление и парная работа (8 мин)
Цель этапа: научить применять переместительное свойство при преобразовании и вычислении произведений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку каждой паре: «Выполните задание вместе. В первой строке поставьте знак равенства: 2 · 7 __ 7 · 2; 4 · 6 __ 6 · 4; 3 · 8 __ 8 · 3. Во второй строке вставьте пропущенный множитель: 5 · 4 = 4 · __; 9 · 2 = __ · 9. Обязательно объясните каждую запись правилом». | В парах заполняют пропуски: «2 · 7 = 7 · 2», «4 · 6 = 6 · 4», «3 · 8 = 8 · 3», «5 · 4 = 4 · 5», «9 · 2 = 2 · 9». Один ученик решает, второй проверяет. |
3 мин | Учитель предлагает задачу с реальным контекстом: «На столе стоят 4 тарелки, на каждой лежит по 3 яблока. Сколько яблок на столе? Запишите решение двумя способами: 4 · 3 и 3 · 4. Какой способ удобнее для вас?» | Записывают два выражения, вычисляют 12 яблок, формулируют: «Оба способа дают 12, потому что множители можно переставлять». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте наличие равенств, правильность пропущенных множителей и объяснение. Используйте приём “Две звезды и пожелание”: назовите два верных момента и один совет». | Проверяют карточку другой пары, отмечают два достоинства и формулируют пожелание, например: «Верно переставлены множители; все результаты совпадают; совет — дописать объяснение к последнему равенству». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили правило в равенствах и задаче с яблоками, а также проверили работу друг друга. Теперь каждый покажет, насколько самостоятельно умеет использовать новое знание».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание переместительного свойства и умение применять его без помощи партнёра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выполняйте задания самостоятельно. Базовый уровень: сравните 6 · 3 и 3 · 6, вычислите произведения, поставьте знак. Средний уровень: вставьте пропущенные множители в равенства 7 · 2 = 2 · __ и __ · 5 = 5 · 4. Повышенный уровень: придумайте два разных равенства, в которых используется переместительное свойство, и объясните одно из них». | Индивидуально выполняют выбранный или назначенный уровень. Записывают вычисления, вставляют множители, формулируют объяснение. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Сверьте каждую строку. Если нашли ошибку, не стирайте её сразу: подчеркните место ошибки и исправьте рядом. Поднимите зелёную карточку, если всё выполнено верно, жёлтую — если нужна помощь». | Сверяют: «6 · 3 = 3 · 6 = 18; 7 · 2 = 2 · 7; 4 · 5 = 5 · 4». Исправляют ошибки, показывают карточку самооценки. |
Эталон решения
1) 6 · 3 = 18; 3 · 6 = 18, значит 6 · 3 = 3 · 6. 2) 7 · 2 = 2 · 7, поэтому в пропуске записываем 7. 3) В равенстве __ · 5 = 5 · 4 справа произведение имеет множители 5 и 4, значит слева записываем 4 · 5; в пропуске — число 4. Обоснование: a · b = b · a.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что правило можно применять без рисунка, сразу по записи выражения. Осталось оценить, что именно мы сегодня открыли и что ещё требует тренировки».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Закончи фразу»: «Сегодня я узнал… Мне помогло… Теперь я умею… Мне ещё нужно потренироваться…» Затем спрашивает: «Почему 4 · 3 и 3 · 4 имеют одинаковое значение? Какое правило нужно вспомнить?» | Заполняют лист самооценки или устно заканчивают фразы. Отвечают: «От перестановки множителей произведение не изменяется»; оценивают себя цветом или знаком. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень, а затем по желанию выполните повышающий или дополнительный. В каждом примере записывайте не только ответ, но и используйте правило перестановки множителей там, где это уместно. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: можно ли заменить 8 · 3 на 3 · 8 и почему?» | Записывают домашнее задание, отвечают: «Да, можно, потому что от перестановки множителей произведение не изменяется». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания карточки, правильно переставлены множители, вычисления не содержат ошибок, объяснение свойства сформулировано математически точно.
- «4» — выполнено верно не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, правило в целом сформулировано правильно.
- «3» — выполнено верно не менее половины заданий, есть ошибки во вставке множителей или вычислениях, но ученик понимает, что множители можно переставлять без изменения произведения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о множителях и произведении? | Выявление осознания формулировки переместительного свойства. |
Как доказать, что 3 · 4 и 4 · 3 равны? | Проверка понимания связи между моделью, сложением и умножением. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в применении правила. |
Насколько уверенно вы сможете объяснить это свойство однокласснику? | Субъективная оценка освоения темы и готовности к переносу знания. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сами открыли переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется. Мы доказали это с помощью фишек, сложения одинаковых слагаемых и числовых примеров. Помните, что при перестановке меняется порядок множителей, но не само произведение. На следующем уроке мы будем использовать это свойство для более удобных вычислений и решения задач. Дома внимательно проверяйте, какой множитель пропущен и почему именно его нужно записать».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 примеров на сравнение произведений с переставленными множителями, вычислить их и записать 3 равенства вида a · b = b · a. | Закрепляет формулировку свойства и навык проверки равенства произведений; при проверке смотреть на правильность перестановки и вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3–4 задачи или примера с пропущенным множителем, используя переместительное свойство, и составить к одной задаче две равные записи решения. | Формирует умение находить неизвестный множитель в структуре равенства и выбирать удобный порядок записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с предметами, расположенными рядами, записать её решение двумя способами: a · b и b · a, а затем письменно объяснить, почему ответы совпали. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос свойства в жизненный контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется свойство, изученное сегодня? Как записывается его буквенная модель? Можно ли заменить 7 · 5 на 5 · 7? Как проверить, что ты не ошибся?»
