Обратные задачи на приведение к единице
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать и решать обратные задачи на приведение к единице, находя неизвестную величину по двум связанным действиям, и объяснять выбор порядка действий.
- Формировать умение устанавливать связь между величинами «количество предметов», «стоимость одного предмета», «общая стоимость» и составлять по условию прямую и обратную задачи.
- Развивать навыки анализа текста задачи, планирования решения, математической речи и проверки полученного ответа.
- Организовать работу в парах и фронтальное обсуждение с учётом разного уровня подготовки: обязательные, базовые и повышенные задания.
- Воспитывать внимательное отношение к мнению товарища, готовность проверять решение и корректно объяснять свою позицию.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску разных способов решения одной задачи.
- Осознают ценность сотрудничества при обсуждении решения в паре и фронтальной проверке.
- Понимают необходимость аккуратной записи условия, действий и ответа для проверки результата.
- Формируют положительную самооценку через выбор посильного уровня задания и фиксацию личного успеха.
Метапредметные
- Анализируют условие текстовой задачи, выделяют известные и неизвестные величины.
- Планируют последовательность действий и проверяют решение по смыслу и обратным действиям.
- Формулируют вопросы к условию, сравнивают прямую и обратную задачи.
- Сотрудничают в паре, распределяют действия, аргументированно представляют общий ответ.
- Используют таблицу или краткую запись для моделирования связи между величинами.
Предметные
- Знают смысл приведения к единице как способа решения задач на пропорциональные величины.
- Умеют находить величину на единицу, затем искомое количество единиц или общую величину.
- Умеют составлять обратную задачу к данной, изменяя неизвестную величину и сохраняя смысловую связь.
- Решают обратные задачи на приведение к единице в два действия и записывают полный ответ.
- Выполняют проверку решения обратным действием или сопоставлением с условием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться составлять и решать обратные задачи.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и результат решения.
- Соблюдают доброжелательные правила обсуждения и признают право товарища на другой способ рассуждения.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу, сформулированную в проблемном диалоге.
- Составляют план решения: понять условие, найти величину на единицу, найти искомую величину, ответить на вопрос.
- Контролируют порядок действий и соответствие ответа вопросу задачи.
- Исправляют ошибку после сверки с эталоном и оценивают степень достижения цели.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и устанавливают связи между величинами.
- Строят краткую запись и используют схему «общее — на одну единицу — количество единиц».
- Сравнивают прямую и обратную задачи, определяют изменённую неизвестную величину.
- Моделируют условие с помощью таблицы, числовых выражений и вопросов к задаче.
- Обобщают алгоритм решения и переносят его на новый практический контекст.
Коммуникативные УУД
- Задают уточняющие вопросы по условию задачи.
- Распределяют роли в паре: один объясняет ход решения, другой проверяет запись и вычисления.
- Используют математические формулировки: «сначала узнаем...», «затем найдём...», «обратная задача отличается тем, что...».
- Аргументируют выбор действия и внимательно относятся к объяснениям одноклассников.
- Согласуют общий ответ пары и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с таблицей величин: «количество», «цена за одну единицу», «стоимость» и схемой двухшагового решения.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на каждую пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить три комплекта индивидуальных карточек: обязательный, базовый и повышенный уровень — по одному комплекту на каждого ученика.
- Распечатать лист самооценки и карточки «Светофор» — по одному набору на ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения известных и неизвестных величин на доске.
- Вывести на доску проблемную задачу о покупке тетрадей и заготовку таблицы для краткой записи.
- Подготовить эталон решения для самопроверки, закрытый до этапа самостоятельной работы.
- Обеспечить наличие тетрадей, ручек, черновиков и таймера; парты заранее организовать для работы по двое.
- На доске оставить место для алгоритма: «1. Узнать на одну единицу. 2. Найти искомое. 3. Ответить на вопрос. 4. Проверить».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и создать мотивацию к поиску способа решения новой задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь лежит наклонно, ручка пишет, на парте есть черновик. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение внимательно читать условие. Работать будем фронтально, в парах и самостоятельно." | Проверяют готовность рабочего места, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске рисунок: 4 одинаковые тетради стоят 28 рублей: "Представьте, что вы помогаете купить тетради для класса. Как узнать цену одной тетради? А если известна цена одной тетради, что ещё можно узнать? Сегодня мы будем не просто решать задачи, а превращать одну задачу в другую." | Рассматривают рисунок, предлагают: "Нужно 28 разделить на 4"; "Можно узнать стоимость нескольких тетрадей"; формулируют предположение о связи задач. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одни и те же величины могут быть известными и неизвестными по-разному. Сейчас проверим, как это влияет на вопрос и план решения задачи."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм решения задач на приведение к единице и подготовить основу для открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает задачу: "За 3 одинаковые ручки заплатили 27 рублей. Сколько стоят 5 таких ручек? Прочитайте условие молча, затем назовите величины. Что известно? Что требуется узнать? Какой вопрос нужно решить первым?" Учитель фиксирует ответы в таблице на доске. | Читают задачу, называют: "Известны 3 ручки и 27 рублей; нужно узнать стоимость 5 ручек". Отвечают: "Сначала надо узнать стоимость одной ручки". |
3 мин | Учитель организует фронтальную проверку: "Назовите порядок действий и объясните каждое действие. Не называйте только числа — говорите, что мы узнаём. Как проверить ответ?" | Формулируют: "27 : 3 = 9 рублей — цена одной ручки; 9 · 5 = 45 рублей — стоимость пяти ручек". Проверяют: "45 : 5 = 9"; записывают краткую запись и решение. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Чтобы решить задачу на приведение к единице, сначала узнаём значение одной единицы, затем находим искомое количество единиц».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили привычный план: от общего к одной единице, затем к искомому количеству. Но сегодня нам встретится задача, в которой неизвестной будет не стоимость нескольких предметов. Давайте выясним, что изменится."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать учебную цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предъявляет задачу: "За 4 одинаковых блокнота заплатили 36 рублей. Сколько таких блокнотов можно купить на 63 рубля? Прочитайте задачу. Попробуйте решить её по памяти знакомым планом. Какую величину мы должны найти первой?" Учитель не подтверждает ответы сразу, а задаёт проблемные вопросы: "Известно ли нам количество блокнотов во второй покупке? Что теперь является неизвестным?" | Читают задачу, выделяют данные 4, 36 и 63. В парах обсуждают 1 минуту. Отвечают: "Сначала нужно узнать цену одного блокнота, потом выяснить, сколько блокнотов можно купить на 63 рубля". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Чем эта задача похожа на предыдущую? Чем отличается? Как можно назвать задачу, если в ней изменили неизвестную величину и вопрос? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Сравнивают задачи и отвечают: "В обеих сначала узнаём цену одного предмета, но теперь неизвестно количество предметов". Формулируют цель: "Научиться решать обратные задачи на приведение к единице". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: алгоритм начинается знакомо, но второй вопрос требует другого действия. Наша задача — открыть общий способ решения таких обратных задач и научиться применять его самостоятельно."
Этап 4. Открытие нового знания. Работа в парах (9 мин)
Цель этапа: открыть алгоритм решения обратной задачи через анализ условия и совместное построение краткой записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей: "За 4 одинаковых блокнота заплатили 36 рублей. Сколько таких блокнотов можно купить на 63 рубля?" Инструкция: "Подчеркните, что известно о первой покупке, обведите вопрос, составьте таблицу из трёх столбцов: количество, цена одного предмета, стоимость. Один ученик заполняет таблицу, второй задаёт вопросы и проверяет." | В парах выделяют величины, заполняют таблицу: первая строка — 4 блокнота, цена неизвестна, 36 рублей; вторая строка — количество неизвестно, цена та же, 63 рубля. Распределяют роли. |
3 мин | Учитель направляет проблемный диалог: "Каким действием найдём цену одного блокнота? Почему делим 36 на 4? Что означает результат? Теперь сравните 63 рубля с ценой одного блокнота. Каким действием узнаем количество блокнотов?" Учитель фиксирует на доске ответы детей. | Отвечают: "36 : 4 = 9 рублей — цена одного блокнота"; "63 : 9 = 7 блокнотов — можно купить на 63 рубля". Объясняют смысл каждого действия. |
3 мин | Учитель предлагает двум парам представить решение: "Покажите не только вычисления, но и словесный план. Как проверить результат? Какая задача была бы прямой, а какая — обратной?" Учитель оформляет алгоритм на доске. | Представляют решение, сравнивают его с решением другой пары, проверяют умножением: 9 · 7 = 63. Формулируют: "В обратной задаче по общей стоимости и цене одной единицы находим количество единиц". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм: «1. По известной стоимости нескольких предметов и их количеству найти стоимость одного предмета. 2. Общую стоимость второй покупки разделить на стоимость одного предмета. 3. Записать ответ и выполнить проверку».
Эталон решения
1) $36 : 4 = 9$ (руб.) — цена одного блокнота. 2) $63 : 9 = 7$ (бл.) — количество блокнотов. Ответ: 7 блокнотов. Проверка: $9 \cdot 7 = 63$ (руб.), значит, решение верно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили: обратная задача может спрашивать о количестве предметов, но путь начинается с нахождения значения одной единицы. Теперь проверим новый алгоритм на коротких заданиях и научимся объяснять каждое действие."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в устной и письменной форме, постепенно переходя от совместного решения к самостоятельному выбору действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает фронтальную задачу: "За 5 одинаковых открыток заплатили 40 рублей. Сколько таких открыток можно купить на 56 рублей? Составьте краткую запись. Какое действие будет первым и почему?" После паузы просит ученика объяснить решение у доски. | Составляют таблицу, отвечают: "40 : 5 = 8 рублей — цена одной открытки; 56 : 8 = 7 открыток". Ученик у доски записывает действия с пояснениями. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете объяснить оба действия, жёлтую — если нужен ещё один пример, красную — если пока трудно. Для каждого цвета я предложу следующий шаг." | Показывают карточки, формулируют затруднение. Ученики с зелёными карточками объясняют алгоритм соседу; выбравшие жёлтую или красную карточку используют схему на доске. |
2 мин | Учитель диктует два выражения для выбора: "72 : 8 и 45 : 9. Объясните, какое из них может быть первым действием в задаче: 8 одинаковых предметов стоят 72 рубля. Почему?" | Записывают выражение 72 : 8, объясняют: "Так находят цену одного предмета"; второе выражение рассматривают как аналогичный пример. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Первое действие мы выбираем не по расположению чисел, а по смыслу: сначала находим стоимость одной единицы. Переходим к самостоятельной работе, где каждый выберет подходящий уровень сложности."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение алгоритма и обеспечить каждому ученику посильный уровень задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Если уверены в своих силах, после него берите повышающий. Дополнительное задание можно выполнить тем, кто закончил раньше. Работайте молча 6 минут, затем проверим по эталону." | Выбирают карточку, подписывают её, читают условия и планируют порядок решения. |
6 мин | Учитель наблюдает, адресно помогает вопросами: "Что известно о первой покупке? Что означает первое частное? Какой вопрос задаёт задача? Проверьте, совпадает ли единица измерения в ответе с вопросом." Не сообщает готовое действие. | Решают индивидуально. Обязательный уровень: «3 одинаковые тетради стоят 24 рубля. Сколько таких тетрадей можно купить на 56 рублей?» Базовый уровень: «6 одинаковых карандашей стоят 42 рубля. Сколько карандашей можно купить на 63 рубля?» Повышенный уровень: «За 4 одинаковых стакана заплатили 52 рубля. Сколько стаканов можно купить на 91 рубль? Составьте обратную задачу к полученной.» |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: "Проверьте не только числа, но и пояснения, ответ и соответствие вопросу. Ошибку не зачёркивайте полностью: аккуратно исправьте её и подпишите, на каком шаге она появилась." | Сверяют решения с эталоном, отмечают правильные действия, исправляют ошибки, оценивают работу условным знаком. |
Эталон решения
Для обязательного задания: $24 : 3 = 8$ (руб.) — цена одной тетради; $56 : 8 = 7$ (тетрадей). Ответ: 7 тетрадей. Для базового задания: $42 : 6 = 7$ (руб.); $63 : 7 = 9$ (карандашей). Для повышенного задания: $52 : 4 = 13$ (руб.); $91 : 13 = 7$ (стаканов). Ответ: 7 стаканов. Проверка: $13 \cdot 7 = 91$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм самостоятельно и увидели, что разные числа не меняют порядок рассуждения. Осталось оценить, что именно стало понятным, а какой шаг ещё требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать способ решения, выявить индивидуальные затруднения и зафиксировать дальнейшую учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Закончи фразу»: "Сегодня я научился...; сначала в обратной задаче нужно...; проверить решение можно..." Затем просит поднять карточку соответствующего цвета. | Завершают фразы: "...решать задачу, где неизвестно количество предметов"; "...найти значение одной единицы"; "...умножением или делением". Показывают зелёную, жёлтую или красную карточку. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемной задаче: "За 4 блокнота заплатили 36 рублей. Сколько блокнотов можно купить на 63 рубля? Назовите решение без записи и объясните, почему задача обратная." | Отвечают: "36 : 4 = 9 рублей за блокнот; 63 : 9 = 7 блокнотов. Она обратная, потому что вместо стоимости нескольких предметов нужно найти их количество". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а затем по желанию выполните повышенный или дополнительный. Важно записать пояснения к действиям и ответ с единицей измерения." | Записывают домашнее задание, отмечают выбранный уровень в листе самооценки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного уровня, правильно определён порядок действий, есть пояснения, ответ с единицей измерения и выполнена проверка.
- «4» — верно решены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — найдено значение одной единицы и начат правильный план решения, но допущены ошибки во втором действии, ответе или объяснении.
- Ниже базового уровня — учитель индивидуально разбирает причину затруднения и предлагает решить аналогичную задачу с опорной схемой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что в обратной задаче мы находим первым? | Выявление понимания общего алгоритма и смысла приведения к единице. |
Как понять, какое действие выполнить вторым? | Выявление умения связывать действие с вопросом задачи. |
Что оказалось самым трудным: краткая запись, вычисления или объяснение? | Определение индивидуальных точек затруднения для последующей дифференциации. |
Как ты проверил своё решение? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и смысловой проверки ответа. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать обратные задачи на приведение к единице. Главное правило — сначала найти значение одной единицы, а затем по вопросу задачи определить второе действие. Помните: нельзя выбирать действие только по числам, нужно объяснять, что именно мы узнаём. На следующем уроке мы продолжим составлять и решать задачи, сравнивая несколько связанных величин."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 обратные задачи на приведение к единице, в которых по стоимости нескольких предметов и цене одной единицы нужно найти количество предметов. К каждой задаче записать краткую запись, два действия с пояснениями и ответ. | Закрепляет алгоритм; при проверке обратить внимание на первое действие, соответствие ответа вопросу и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи в разных жизненных контекстах: покупка товаров, упаковка предметов, расход материала. В одной задаче составить таблицу величин и выполнить проверку обратным действием. | Развивает перенос способа в новый контекст; проверять умение выделять величины и объяснять выбор действий. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пару прямых и обратных задач на приведение к единице с числами, которые дают целый результат, решить обе задачи и объяснить, какая величина стала неизвестной. | Развивает создание математического текста и понимание взаимосвязи прямой и обратной задач. |
