Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться переводить целые положительные десятичные числа в системы счисления с основаниями q от 2 до 9 методом последовательного деления с записью частных и остатков, а также проверять результат обратным переводом.
- Сформировать понимание того, что цифры результата определяются остатками от последовательного деления исходного числа на основание системы счисления.
- Научить применять алгоритм перевода для чисел в двоичную, троичную, восьмеричную и другие позиционные системы счисления с основанием q.
- Развивать умение анализировать последовательность вычислений, находить ошибки в готовом решении и аргументировать исправленный вариант.
- Воспитывать аккуратность записи, ответственное отношение к результату и интерес к способам представления информации в информатике.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам представления чисел, используемым в компьютерных технологиях.
- Осознают ценность точности и последовательности действий при выполнении алгоритмов.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания и оценивать собственный результат.
- Понимают связь изучаемого алгоритма с будущей деятельностью в сфере программирования и цифровых технологий.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Работают с таблицей деления, выделяют существенные данные и структурируют вычисления.
- Сотрудничают в парах, формулируют и защищают способ решения.
- Осуществляют самопроверку по алгоритму и корректируют обнаруженные ошибки.
Предметные
- Знать правило перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q методом последовательного деления.
- Понимать, что цифры новой записи читаются снизу вверх — от последнего остатка к первому.
- Уметь переводить целые положительные числа из десятичной системы в системы с основаниями 2, 3, 5, 8 и другими допустимыми основаниями.
- Уметь проверять полученную запись разложением по степеням основания q.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность выполнения алгоритма.
- Определяют личный уровень понимания темы через самооценку и рефлексию.
- Проявляют уважение к иной стратегии рассуждения при обсуждении решений.
- Связывают изучаемый способ с практикой работы компьютеров и цифровых устройств.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу перевода числа в систему с основанием q.
- Планируют действия: деление, запись остатка, продолжение до нулевого частного, чтение остатков снизу вверх.
- Проверяют промежуточные частные и остатки.
- Обнаруживают ошибку, объясняют её причину и вносят исправление.
Познавательные УУД
- Выделяют в условии исходное число и основание новой системы.
- Устанавливают связь между остатком от деления и очередной цифрой результата.
- Строят таблицу последовательного деления как математическую модель алгоритма.
- Проверяют вывод через разложение числа по степеням основания q.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу о порядке записи остатков.
- Объясняют партнёру каждый шаг алгоритма, используя математические термины.
- Сравнивают решения и аргументированно выбирают корректное.
- Учитывают позицию партнёра и конструктивно исправляют неточности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: десятичная запись числа, схема последовательного деления и памятка алгоритма.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для работы в парах — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки и мини-билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать задания для актуализации: перевести числа 13 и 25 в двоичную систему.
- Подготовить таблицу с колонками «Делимое», «Частное», «Остаток» для демонстрации алгоритма.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на 2–3 минуты.
- Проверить наличие компьютера и проектора; при отсутствии оборудования подготовить аналогичные записи на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с записью чисел в разных системах счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки. Сегодня нам предстоит не просто выполнить вычисления, а самостоятельно открыть правило, которое компьютер использует для представления чисел. Работать будем точно, но у каждого будет возможность выбрать уровень задания." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске записи 13₁₀ = 1101₂ и 13₁₀ = 111?₂ и спрашивает: "Почему одна запись может выглядеть по-разному? Как понять, где заканчивается правильный алгоритм? Что нужно сделать, если основание системы обозначим буквой q? Запишите свою гипотезу одним предложением." | Рассматривают записи, формулируют гипотезы: "Нужно делить число на основание системы"; "Остатки помогают получить цифры новой записи". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одной догадки о делении недостаточно: важно понять порядок действий и порядок записи остатков. Сейчас проверим знания, на которые будем опираться."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о позиционных системах счисления, делении с остатком и представлении числа по разрядам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним, что означает основание системы счисления. Сколько цифр используется в двоичной системе? Какие цифры допустимы в системе с основанием 5? Почему остаток при делении на q всегда меньше q?" | Отвечают: "В двоичной системе две цифры: 0 и 1"; "В системе с основанием 5 допустимы цифры от 0 до 4"; "Остаток меньше делителя". |
3 мин | Учитель раздаёт короткую карточку: "Выполните два вычисления: $13:2$ с остатком и $25:5$ с остатком. Запишите частное и остаток. Затем объясните соседу, какую информацию содержит остаток." | Решают: $13=6\cdot2+1$, $25=5\cdot5+0$; объясняют, что остаток может стать цифрой младшего разряда. |
1 мин | Учитель показывает разложение $13_{10}=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0$ и спрашивает: "С какой стороны читаются разряды числа?" | Отвечают: "Слева направо — от старшего разряда к младшему; младший разряд находится справа". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили деление с остатком, допустимые цифры и разрядное представление. Теперь выясним, почему при переводе число приходится делить несколько раз."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в определении всех цифр новой записи и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "Переведите число $45_{10}$ в двоичную систему. Первое деление даёт $45=22\cdot2+1$. Как получить остальные цифры? Достаточно ли одного остатка?" Учитель принимает варианты, не сообщая готового правила. | Отвечают: "Одного остатка недостаточно"; предлагают продолжить деление частного $22$ на 2. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд сформулируйте план самостоятельно, затем обсудите его в паре и предложите классу. В нашей цели должны быть слова: перевести, основание q, остатки, проверить." | Формулируют цель: "Открыть алгоритм перевода целого десятичного числа в систему с основанием q через последовательное деление и научиться проверять ответ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нам нужно получить все цифры и не перепутать их порядок. Проверим гипотезу на конкретном примере и сами выведем правило."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать алгоритм перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске таблицу и говорит: "Переведём $45_{10}$ в двоичную систему. Делим исходное число на 2, записываем остаток, затем делим полученное частное. Продолжаем, пока частное не станет нулём. Следите не только за вычислениями, но и за тем, какой остаток появляется первым." | Заполняют таблицу: $45:2=22$, остаток 1; $22:2=11$, остаток 0; $11:2=5$, остаток 1; $5:2=2$, остаток 1; $2:2=1$, остаток 0; $1:2=0$, остаток 1. |
3 мин | Учитель спрашивает: "Получили остатки 1, 0, 1, 1, 0, 1. Если записать их в таком же порядке, получится ли правильное число? Почему? Посмотрите на разрядное представление: первый полученный остаток связан с единицами." | Сравнивают порядок остатков и делают вывод: "Первый остаток — младшая цифра, поэтому остатки нужно читать снизу вверх". Записывают $45_{10}=101101_2$. |
3 мин | Учитель формулирует правило: "Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему с основанием q, нужно последовательно делить число и получаемые частные на q, каждый раз записывая остаток; деление продолжают до нулевого частного, а результат составляют из остатков, прочитанных в обратном порядке. Запишите правило в тетрадь и выделите четыре шага." | Записывают правило, нумеруют шаги: делить; записывать остаток; продолжать до нуля; читать остатки снизу вверх. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) делить исходное число и последующие частные на основание $q$; 2) после каждого деления записывать остаток; 3) продолжать до получения частного 0; 4) записать остатки в обратном порядке. Пример: $45_{10}=101101_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило открыто: частные уменьшаются, остатки фиксируются, а результат читается снизу вверх. Теперь применим алгоритм вместе и проверим, не потерялась ли какая-либо цифра."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на примере перевода в систему с основанием, отличным от 2, и научиться проверять результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: "Работаем в парах. Переведите $83_{10}$ в пятеричную систему. Один ученик выполняет деление и называет остатки, второй контролирует частные и записывает их в таблицу. Через две минуты поменяйтесь ролями. Помните: цифры результата должны быть от 0 до 4." | В парах выполняют: $83:5=16$ ост. 3; $16:5=3$ ост. 1; $3:5=0$ ост. 3. Читают остатки снизу вверх: $83_{10}=313_5$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Проверьте результат разложением по степеням пятёрки: $3\cdot5^2+1\cdot5+3$. Если получили 83, поставьте партнёру знак подтверждения; если нет, найдите первый неверный шаг и объясните его." | Проверяют: $3\cdot25+1\cdot5+3=83$. Объясняют возможную ошибку: перепутан порядок остатков или неверно вычислено частное. |
Эталон решения
$83:5=16$ (остаток $3$); $16:5=3$ (остаток $1$); $3:5=0$ (остаток $3$). Читаем остатки снизу вверх: $313_5$. Проверка: $313_5=3\cdot5^2+1\cdot5^1+3\cdot5^0=75+5+3=83_{10}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили один и тот же алгоритм для основания 5 и подтвердили ответ обратным вычислением. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно владеет способом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите один из трёх уровней. Базовый — перевод одного числа в двоичную систему; повышающий — перевод двух чисел в разные системы; дополнительный — перевод и доказательство правильности через разложение. Выбор уровня — это ответственность за собственный результат, а не соревнование." | Выбирают карточку, записывают выбранный уровень в тетради. |
6 мин | Учитель раздаёт задания и говорит: "Работайте молча. В каждой строке указывайте частное и остаток, иначе невозможно проверить ход алгоритма. Если встретили затруднение, отметьте его знаком вопроса и продолжайте с ближайшего понятного шага." | Решают индивидуально. Базовый уровень: перевести $37_{10}$ в двоичную систему. Повышающий: перевести $58_{10}$ в двоичную и $74_{10}$ в восьмеричную системы. Дополнительный: перевести $156_{10}$ в троичную систему и выполнить проверку. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: $37_{10}=100101_2$; $58_{10}=111010_2$; $74_{10}=112_8$; $156_{10}=12220_3$. Говорит: "Сверяйте не только конечную запись, но и каждое частное. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно исправить, и запишите причину ошибки." | Сверяют решения, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки: «могу выполнить деление», «могу правильно прочитать остатки», «могу проверить ответ». |
Эталон решения
Для $37_{10}$: $37:2=18$ ост. $1$; $18:2=9$ ост. $0$; $9:2=4$ ост. $1$; $4:2=2$ ост. $0$; $2:2=1$ ост. $0$; $1:2=0$ ост. $1$. Поэтому $37_{10}=100101_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный риск связан не с самим делением, а с аккуратной фиксацией остатков и их обратным чтением. Осталось сформулировать, что именно мы открыли и как будем использовать это дальше."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, выявить затруднения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние. Зелёный — могу перевести и проверить; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в вычислениях или порядке остатков; красный — нужна помощь. Назовите один конкретный шаг, который требует повторения." | Поднимают карточки, называют затруднение: «путаю порядок остатков», «ошибаюсь в делении», «не уверен в проверке степенями основания». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите ответ на два вопроса: какое действие выполняется последним в алгоритме и почему? Переведите мысленно число $10_{10}$ в двоичную систему и укажите результат." | Пишут: «Остатки читаются снизу вверх, потому что первый остаток является младшим разрядом»; указывают $10_{10}=1010_2$. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень или более сложный вариант. Перед уходом проверьте, что в тетради есть правило и один полностью оформленный пример." | Записывают домашнее задание, сверяют наличие правила, примера и исправлений. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранного уровня, в каждой строке указаны частные и остатки, результат записан в обратном порядке, проверка выполнена без ошибок.
- «4» — правильно выполнено основное задание, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, после самопроверки она исправлена; алгоритм применён верно.
- «3» — выполнена последовательность делений хотя бы для одного числа, но допущены ошибки в порядке остатков или проверке; после подсказки ученику удаётся объяснить алгоритм.
- Ниже отметки «3» — алгоритм не завершён или результат не подтверждён вычислениями; требуется индивидуальная отработка деления с остатком и чтения остатков.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма вы считаете главным и почему? | Проверка понимания логики метода, а не механического запоминания. |
Почему остатки читаются снизу вверх? | Выявление осознания связи остатков с разрядами числа. |
На каком этапе решения вы сегодня ошибались чаще всего? | Выявление точек затруднения в вычислениях и записи результата. |
Какой уровень домашнего задания вы готовы выполнить самостоятельно? | Субъективная оценка освоения темы и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли универсальный алгоритм перевода целого десятичного числа в систему с основанием q. Мы убедились, что частные показывают путь к завершению деления, а остатки становятся цифрами новой записи. Самая частая ошибка — прочитать остатки сверху вниз или забыть проверить вычисление. На следующем уроке мы продолжим перевод чисел и рассмотрим обратный переход из системы с основанием q в десятичную."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Перевести 4 целых положительных десятичных числа в двоичную систему методом последовательного деления; для одного результата выполнить обратную проверку. | Закрепляет базовую последовательность действий; при проверке обратить внимание на запись всех остатков и их чтение снизу вверх. |
Средний (повышающий) | Перевести 3 числа: одно в троичную, одно в пятеричную и одно в восьмеричную систему; оформить таблицы деления и проверить один результат разложением по степеням основания. | Закрепляет применение правила при разных основаниях; проверить допустимость цифр и правильность степеней основания. |
Продвинутый (дополнительный) | Перевести два числа в выбранные системы с основаниями 3, 5 или 8, затем составить короткое объяснение, почему первый полученный остаток является младшим разрядом. | Развивает аргументацию и понимание математической основы алгоритма; проверить полноту доказательства и точность терминов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что делаем с исходным числом и частными?», «До какого момента продолжаем деление?», «В каком порядке записываем остатки?», «Как проверить полученный результат?»
