Теоремы о произведении отрезков секущих. Теорема о квадрате касательной
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока обобщить и применить теоремы о произведении отрезков секущих и о квадрате касательной, решив не менее 4 из 5 практических задач разного уровня и обосновав выбор соответствующей формулы.
- Закрепить формулы $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ для двух секущих и $PT^2=PA\cdot PB$ для касательной и секущей, научиться распознавать их на чертежах.
- Развивать умение анализировать условие геометрической задачи, выделять известные и искомые отрезки, составлять математическую модель и проверять результат.
- Формировать навыки самоконтроля при решении заданий формата ОГЭ и снижать тревожность через пошаговый алгоритм и задания трёх уровней сложности.
- Воспитывать ответственность за точность построений, записи решения и аргументацию выбранного способа.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность геометрических моделей и связь темы с заданиями ОГЭ.
- Развивают уверенность в собственных силах через самостоятельное решение задач с постепенным повышением сложности.
- Понимают значение аккуратной записи, проверки вычислений и обоснования ответа.
- Проявляют готовность объективно оценивать результат и принимать конструктивную помощь.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста задачи и геометрического чертежа, переводят её в формулу.
- Сравнивают ситуации с двумя секущими и с касательной и классифицируют задачи по типу теоремы.
- Планируют последовательность решения, выполняют самопроверку по эталону и корректируют ошибки.
- Формулируют устное объяснение решения, взаимодействуют в паре и аргументированно оценивают ответ.
Предметные
- Знать формулировки теорем о произведении отрезков пересекающихся секущих и о квадрате касательной.
- Уметь распознавать на чертеже внешние и внутренние отрезки секущих, а также касательную и секущую.
- Уметь составлять равенства $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ и $PT^2=PA\cdot PB$ по условию задачи.
- Уметь находить неизвестный отрезок, выполнять проверку результата и записывать решение с пояснениями.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок: научиться быстро выбирать нужную теорему.
- Оценивают собственную готовность к заданиям геометрического содержания ОГЭ.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в вычислениях или выборе отрезков.
- Осознают ответственность за самостоятельность и достоверность выполненной работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют план решения: распознать конфигурацию, записать теорему, подставить данные, найти неизвестное, проверить ответ.
- Контролируют соответствие выбранной формулы рисунку и условию.
- Сравнивают решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют его.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки секущей и касательной.
- Устанавливают соответствие между чертежом, текстом задачи и алгебраическим равенством.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью произведения отрезков.
- Анализируют типичные ошибки: перепутаны внешний и полный отрезки, забыта степень у касательной.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в паре способ решения и задают уточняющие вопросы.
- Формулируют доказательное объяснение выбора теоремы.
- Сверяют решения по критериям, корректно сообщают об ошибке товарищу.
- Представляют классу краткий алгоритм решения задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с двумя схемами: две секущие через точку и касательная с секущей.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовый — по одной теореме, повышающий — смешанные задачи, дополнительный — задача с обоснованием; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить мини-карточки для приёма «Светофор»: зелёная, жёлтая и красная на каждого ученика.
- Распечатать листы самопроверки с формулами, алгоритмом и эталонами ответов — по одному на парту.
- Подготовить пять геометрических чертежей без подписей для этапа классификации — по одному комплекту на группу.
- Вывести на доску памятку: «две секущие — произведения внешнего и полного отрезков равны; касательная и секущая — квадрат касательной равен произведению внешнего и полного отрезков».
- Подготовить маркеры, линейки, тетради, таймер и проектор или интерактивную доску.
- Заранее распределить задания так, чтобы каждый ученик выполнил обязательный минимум и мог выбрать повышенный уровень.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и обозначить связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем долго выводить новые формулы: наша задача — научиться быстро узнавать знакомую конфигурацию и применять нужную теорему. Это именно тот навык, который помогает спокойно решать практические задания ОГЭ." | Проверяют готовность тетради, линейки и ручки, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске два чертежа и говорит: "Посмотрите на рисунки. На первом из точки к окружности проведены две секущие, на втором — касательная и секущая. Как понять, какое равенство записать? Сформулируйте сегодня свой алгоритм выбора." | Рассматривают чертежи, предполагают: "Нужно определить вид прямых и отметить, какие отрезки входят в произведение"; формулируют личную цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим, насколько уверенно различаем две конфигурации, и потренируемся решать задачи от базовых до экзаменационных."
Этап 2. Актуализация формул и признаков (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулировки теорем и предупредить типичные ошибки в обозначениях отрезков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно восстановите две формулы по памяти. Затем сравните запись с соседом. Обратите внимание: в случае двух секущих берутся внешний и полный отрезки каждой секущей." | Записывают и обсуждают формулы $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ и $PT^2=PA\cdot PB$, объясняют обозначения. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какая точка является внешней? Как получить полный отрезок секущей? Почему у касательной появляется квадрат? Что изменится, если известен не весь отрезок, а только его внутренняя часть?" Учитель фиксирует на доске ключевые слова. | Отвечают: "Внешний отрезок начинается от внешней точки до первой точки окружности"; "Полный равен внешнему плюс внутренний"; "Касательная умножается сама на себя"; приводят пример $PB=PA+AB$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы вспомнили. Теперь важно не подставлять числа автоматически, а сначала определить, какие именно отрезки изображены на чертеже."
Запись в тетрадях
- Две секущие: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$, где $PA$ и $PC$ — внешние, а $PB$ и $PD$ — полные отрезки секущих.
- Касательная и секущая: $PT^2=PA\cdot PB$.
Этап 3. Классификация конфигураций и постановка алгоритма (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: научить выбирать теорему по геометрической конфигурации, а не по расположению чисел в условии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам набор из пяти чертежей: "Разложите рисунки на две группы. В первой должны оказаться две секущие, во второй — касательная и секущая. Для каждого рисунка назовите признак, по которому вы его отнесли к группе." | В группах сортируют чертежи, подписывают под ними «две секущие» или «касательная и секущая», формулируют признаки. |
3 мин | Учитель предлагает общий алгоритм: "Запишите четыре шага: 1) найти внешнюю точку; 2) определить секущие и касательную; 3) записать теорему; 4) выразить неизвестное и проверить разумность ответа. Какой шаг чаще всего пропускают?" | Записывают алгоритм, отвечают: "Чаще всего пропускают определение полного отрезка и проверку"; приводят пример типичной ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились сначала читать чертёж, а затем выбирать формулу. Теперь применим алгоритм к конкретной задаче вместе."
Этап 4. Практическое решение задач с проговариванием (9 мин)
Цель этапа: отработать применение обеих теорем на типовых задачах с постепенным усложнением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует чертёж и условие: "Из точки $P$ к окружности проведены две секущие. На первой $PA=4$ см, $AB=5$ см, на второй $PC=3$ см, $PD=x$ см. Найдите $x$. Сначала не вычисляйте: назовите внешний и полный отрезки." | Отмечают на рисунке $PB=9$ см, составляют $4\cdot9=3x$, решают $x=12$ см, проговаривают: "Использована теорема о произведении отрезков двух секущих". |
5 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "Из точки $P$ проведены касательная $PT$ и секущая $PAB$. Известно $PT=6$ см и $PA=2$ см. Найдите $PB$. Объясните, почему нельзя записать $6\cdot2=PB$." Учитель просит одного ученика оформить решение у доски. | Записывают $PT^2=PA\cdot PB$, подставляют $36=2\cdot PB$, находят $PB=18$ см. Объясняют: "Касательная входит в формулу в квадрате, а $PB$ — полный отрезок секущей". |
Эталон решения
В первой задаче $PB=PA+AB=4+5=9$ см. По теореме о произведении отрезков секущих $PA\cdot PB=PC\cdot PD$, поэтому $4\cdot9=3x$, $36=3x$, $x=12$ см. Во второй задаче по теореме о квадрате касательной $PT^2=PA\cdot PB$, поэтому $6^2=2\cdot PB$, $36=2PB$, $PB=18$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В первой задаче мы нашли полный отрезок секущей сложением, а во второй сразу использовали квадрат касательной. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет действовать самостоятельно."
Этап 5. Самостоятельная работа по уровням (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом на заданиях разной сложности и обеспечить выбор посильного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Базовый уровень обязателен для всех. Если он выполнен уверенно, переходите к повышающему. Продвинутый выбирают те, кто готов обосновать решение полностью. Работайте самостоятельно, чертёж анализируйте до записи формулы." | Выбирают карточку, записывают номер уровня и приступают к решению. |
6 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовая задача: две секущие имеют внешние отрезки 3 см и 4 см, полный отрезок первой равен 12 см, найдите полный отрезок второй. Повышающая: касательная равна 8 см, внешний отрезок секущей равен 4 см, найдите полный отрезок. Продвинутая: внешний отрезок одной секущей на 2 см меньше другого, полные отрезки равны 10 см и 8 см, найдите внешние отрезки. | Решают: базовая задача — $3\cdot12=4x$, $x=9$ см; повышающая — $8^2=4x$, $x=16$ см; продвинутая — составляют $a\cdot10=(a+2)\cdot8$, находят $a=8$ см и $a+2=10$ см. |
3 мин | Учитель предлагает самопроверку: "Сверьте не только ответ, но и три позиции: правильность конфигурации, запись теоремы, единицы измерения. Ошибку не стирайте сразу — подчеркните место, где возникло затруднение." | Сверяют решения с эталоном на листе, отмечают ошибку условным знаком, исправляют решение и ставят себе уровень выполнения. |
Эталон решения
Базовая задача: $3\cdot12=4x$, поэтому $x=9$ см. Повышающая задача: $8^2=4x$, поэтому $64=4x$ и $x=16$ см. Продвинутая задача: пусть внешний отрезок первой секущей равен $a$, тогда второй равен $a+2$. По теореме $10a=8(a+2)$; $10a=8a+16$; $2a=16$; $a=8$ см, второй внешний отрезок равен $10$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула начинает работать только после внимательного чтения чертежа. Осталось проверить себя и сформулировать, что именно помогает не ошибаться."
Этап 6. Разбор ошибок и включение в систему знаний (7 мин)
Цель этапа: выявить типичные ошибки, связать две теоремы и закрепить навык аргументированного выбора формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает три ошибочные записи: $PA\cdot AB=PC\cdot CD$, $PT=PA\cdot PB$, $PA\cdot PB=PC+PD$. "Работаем в парах. Найдите ошибку, исправьте запись и объясните, почему она неверна." | Исправляют записи: используют полный отрезок вместо внутреннего; заменяют $PT$ на $PT^2$; заменяют сумму произведением. Формулируют правила. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Что общего у двух теорем? Чем они отличаются? Составьте короткое сравнение по схеме: конфигурация — формула — главный риск ошибки." | Заполняют сравнительную таблицу: две секущие — два произведения; касательная и секущая — квадрат касательной и произведение. |
2 мин | Учитель проводит быстрый приём «Светофор»: "Зелёная карточка — уверенно выбираю формулу, жёлтая — иногда путаю отрезки, красная — нужна дополнительная тренировка. Поднимите карточку и назовите один шаг, который будете контролировать." | Поднимают карточку, называют шаг самоконтроля: "Проверю полный отрезок", "не забуду квадрат касательной", "сначала определю конфигурацию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не только формулы, но и защита от типичных ошибок. Завершим урок короткой рефлексией и зафиксируем домашнюю тренировку."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, зафиксировать затруднения и объяснить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт мини-лист самооценки: "Закончите три фразы: ‘Я умею…’, ‘Мне нужно потренировать…’, ‘Перед записью формулы я сначала…’. Пишите конкретно, например ‘нахожу полный отрезок сложением’." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат урока. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как понять, какое равенство записать?" | Отвечают: "По конфигурации: две секущие дают равенство произведений, касательная и секущая — квадрат касательной равен произведению". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, по готовности, следующий. В каждой задаче сначала сделайте небольшой чертёж, затем подпишите внешний и полный отрезки и только после этого записывайте формулу." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто повторили формулы, а выстроили рабочий алгоритм решения. Используйте его на каждой задаче: конфигурация, формула, вычисление, проверка."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены базовая и повышающая задачи либо продвинутая задача с полным обоснованием; правильно определены внешние и полные отрезки, формулы записаны без ошибок, вычисления проверены.
- «4» — решены две задачи, но допущена одна неточность в оформлении или вычислении, не повлиявшая на понимание теоремы; ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — верно решена базовая задача и записана соответствующая теорема, но допущены ошибки в определении полного отрезка или вычислениях повышающей задачи.
- «2» — не выполнена базовая задача или выбранная формула не соответствует изображённой конфигурации.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по чертежу отличить задачу на две секущие от задачи на касательную и секущую? | Проверка осознанного выбора теоремы. |
Какой отрезок называют полным и как его найти, если известны внешний и внутренний? | Выявление риска подмены полного отрезка внутренним. |
В каком месте самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика индивидуальных точек затруднения. |
Какой шаг алгоритма вы будете обязательно выполнять перед подстановкой чисел? | Формирование навыка самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы обобщили две важные теоремы и увидели, что успех зависит прежде всего от чтения чертежа. Типичная ошибка — умножить не внешний и полный отрезки или забыть квадрат касательной. Если вы будете действовать по алгоритму и проверять результат, задания ОГЭ станут более предсказуемыми. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на окружность и уделим внимание комбинированным чертежам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на произведение отрезков двух секущих и две на квадрат касательной; в каждой задаче выполнить схематический чертёж, выделить внешний и полный отрезки, записать формулу и ответ. | Закрепляет распознавание двух основных конфигураций и правильную подстановку данных; при проверке смотреть на соответствие формулы рисунку. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач смешанного типа, включая задачи, где полный отрезок нужно получить сложением внешнего и внутреннего; одну задачу оформить с подробным пояснением выбора теоремы. | Развивает анализ условия и перенос алгоритма на новые чертежи; при проверке обратить внимание на порядок рассуждений и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на одну из теорем, выполнить к ней чертёж, решить её двумя способами проверки или составить задачу с параметром и объяснить область допустимых значений. | Формирует умение создавать математическую модель и аргументировать решение; при проверке оценить корректность условия, чертежа и полного обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какая формула применяется для двух секущих?», «Что означает полный отрезок секущей?», «Почему в теореме о касательной появляется $PT^2$?», «Какой первый шаг алгоритма нужно выполнить перед вычислениями?»
