Определение подобия фигур
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать подобные фигуры по пропорциональности соответствующих элементов, записывать коэффициент подобия и применять определение при решении не менее трёх учебных задач.
- Сформировать представление о подобных фигурах как о фигурах одинаковой формы, соответствующие стороны которых пропорциональны, а соответствующие углы равны.
- Научить устанавливать соответствие между сторонами и углами фигур, составлять пропорции и находить коэффициент подобия.
- Развивать умение анализировать геометрические чертежи, объяснять ход рассуждений и проверять правильность решения по критериям.
- Показать связь темы с заданиями ОГЭ и сформировать спокойное отношение к экзаменационной практике через пошаговую проверку решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость определения подобия для работы с чертежами, картами, планами и измерениями.
- Проявляют уверенность при выполнении задания экзаменационного типа благодаря использованию понятного алгоритма.
- Понимают ценность аккуратности, доказательности и взаимопроверки в математической деятельности.
- Формируют ответственное отношение к результату собственной работы и готовность исправлять ошибки.
Метапредметные
- Выделяют из условия задачи соответствующие элементы фигур и структурируют информацию в таблице.
- Составляют план решения, контролируют промежуточные действия и оценивают полученный ответ.
- Работают в паре, формулируют вопросы, аргументируют выбор коэффициента подобия.
- Используют математическую речь и символическую запись для объяснения пропорциональности сторон.
- Применяют формирующее оценивание: соотносят решение с критериями и формулируют конкретное улучшение.
Предметные
- Знают определение подобных фигур и обозначение коэффициента подобия.
- Умеют устанавливать соответствие между вершинами, углами и сторонами подобных фигур.
- Умеют проверять подобие фигур по равенству соответствующих углов и пропорциональности соответствующих сторон в пределах изученного определения.
- Умеют находить неизвестную сторону по коэффициенту подобия.
- Умеют решать типовые задачи, близкие к заданиям ОГЭ, с записью обоснования.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться распознавать подобные фигуры и не теряться в задаче с чертежом.
- Осмысливают значение геометрического рассуждения для будущей учебной и профессиональной деятельности.
- Сравнивают собственный результат с критериями без снижения самооценки при обнаружении ошибки.
- Проявляют готовность принимать помощь одноклассника и оказывать её в парной работе.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель и последовательность действий при проверке подобия фигур.
- Планируют решение по алгоритму: определить соответствие, сравнить углы, составить отношение сторон, сделать вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят место возникновения ошибки.
- Корректируют решение после взаимной проверки и оценивают степень достижения цели урока.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки подобных фигур и отделяют их от внешнего сходства чертежей.
- Сравнивают пары фигур, классифицируют их как подобные или неподобные.
- Моделируют ситуацию подобия с помощью чертежа, таблицы соответствий и пропорции.
- Извлекают информацию из рисунка и текста условия, преобразуют её в математическую запись.
- Анализируют ошибочное решение и объясняют, почему нарушена пропорциональность соответствующих сторон.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один устанавливает соответствие элементов, другой проверяет вычисления.
- Формулируют полный ответ с использованием слов «соответствующие стороны», «пропорциональны», «коэффициент подобия».
- Задают уточняющие вопросы к чертежу и объяснению партнёра.
- Аргументированно принимают или отклоняют предложенное решение.
- Используют взаимопроверку по критериям и дают корректную рекомендацию партнёру.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения четырёх пар фигур: две пары подобных и две пары неподобных, включая изображения прямоугольников и треугольников.
- Распечатать карточки для парной работы — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе; включить задания на установление соответствий и поиск ошибки.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика.
- Подготовить лист формирующего оценивания с критериями: соответствие вершин, проверка углов, пропорция сторон, вывод.
- Вывесить на доску алгоритм: «1. Установить соответствие. 2. Сравнить соответствующие углы. 3. Сравнить соответствующие стороны. 4. Сделать вывод».
- Подготовить слайд с определением: «Подобные фигуры имеют соответственно равные углы, а соответствующие стороны пропорциональны».
- Подготовить маркеры, линейки, карандаши, стикеры трёх цветов и листы для взаимопроверки.
- Подготовить проектор или интерактивную доску; заранее проверить отображение математических формул и чертежей.
- Отметить на доске связь с ОГЭ: «В задачах важно читать соответствие элементов, а не оценивать фигуры только по внешнему виду».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две пары изображений: увеличенный чертёж и его уменьшенную копию. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём тему, которая помогает работать с планами, чертежами, картами и встречается в экзаменационных заданиях. Посмотрите на изображения: почему одни фигуры можно назвать одной формы, хотя размеры у них разные?» | Рассматривают изображения, называют признаки: «Форма сохраняется», «Углы похожи», «Стороны увеличены в одинаковое число раз». |
2 мин | Учитель организует приём «Проблемный вопрос». «Можно ли уверенно сказать, что две фигуры подобны, только посмотрев на рисунок? Как это доказать математически? Запишите короткую гипотезу на стикере и прикрепите её к доске». | Индивидуально записывают гипотезу, затем прикрепляют стикеры; формулируют ответы: «Нужно сравнить углы и отношения соответствующих сторон»; «Внешнего сходства недостаточно». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одинаковая форма может сочетаться с разными размерами. Сегодня узнаем точное определение подобия и научимся доказывать его по данным чертежа».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о равенстве углов, пропорции и соответствующих элементах фигур.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку. «Вспомним, что значит равенство углов. Как записывается пропорция? Что называют отношением двух величин? Если стороны двух треугольников равны 3, 4, 5 и 6, 8, 10, какие отношения вы получите?» | Отвечают: «Равные углы имеют одинаковую градусную меру»; «Пропорция — равенство двух отношений»; записывают $3/6=4/8=5/10=1/2$. |
3 мин | Учитель демонстрирует на доске два треугольника с вершинами $A,B,C$ и $A_1,B_1,C_1$. «Определите, какие вершины будем считать соответствующими, если угол $A$ равен углу $A_1$, угол $B$ — углу $B_1$. Как запишем соответствующие стороны?» | В парах проговаривают соответствия: «$A$ соответствует $A_1$, $B$ — $B_1$, $C$ — $C_1$». Записывают пары сторон: $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили равенство углов, отношения и соответствие элементов. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы сформулировать новое определение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две пары прямоугольников: у первой длины сторон 4 и 6, 8 и 12; у второй — 4 и 6, 8 и 10. «В обеих парах углы равны. Можно ли обе пары назвать подобными? Какое дополнительное условие нужно проверить? Не торопитесь, сравните отношения сторон». | Сравнивают: $4/8=6/12=1/2$; во второй паре $4/8=1/2$, но $6/10=3/5$. Формулируют: «Нужно проверить пропорциональность всех соответствующих сторон». |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске. «Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги помогут её достичь? Обратите внимание: такой алгоритм пригодится в заданиях ОГЭ, где лишняя уверенность по одному рисунку приводит к ошибке». | Формулируют цель: «Узнать определение подобия фигур и научиться проверять подобие по углам и отношениям сторон». Предлагают шаги алгоритма. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: одного равенства углов недостаточно, если не проверены соответствующие стороны. Сейчас сами построим точное определение и алгоритм».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение подобных фигур и научиться находить коэффициент подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует работу в парах «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Рассмотрите карточку с двумя фигурами. Сначала 30 секунд работайте самостоятельно: отметьте соответствующие вершины. Затем одну минуту обсудите в паре, какие углы равны и какие отношения сторон нужно сравнить. После этого одна-две пары предложат классу формулировку». | Отмечают соответствующие вершины, обсуждают в паре, записывают равенства углов и отношения сторон. Представляют вывод: «У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны». |
3 мин | Учитель формулирует определение и записывает его на доске. «Запишите: подобные фигуры — это фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия обозначим $k$. Если первой фигуре соответствует вторая, то $k=\frac{A_1B_1}{AB}$ при выбранных соответствующих сторонах. Почему важно не менять порядок фигур внутри разных отношений?» | Записывают определение и формулу. Объясняют: «Если в одном отношении берём сторону второй фигуры к стороне первой, то так же нужно записывать остальные отношения». |
3 мин | Учитель разбирает задачу на экране. «Даны прямоугольники со сторонами 3 см и 5 см, 6 см и 10 см. Определите, подобны ли они, и найдите коэффициент подобия большей фигуры к меньшей. Сначала назовите план, затем выполните запись». | Называют план: «Сравнить углы, затем отношения соответствующих сторон». Записывают $6/3=2$, $10/5=2$, делают вывод: «Углы равны, стороны пропорциональны, фигуры подобны, $k=2$». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Подобные фигуры имеют соответственно равные углы, а соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон второй и первой фигуры. Алгоритм: установить соответствие; сравнить углы; составить отношения сторон; сделать вывод».
Эталон решения
1. У прямоугольников соответствующие углы равны и равны $90^\circ$. 2. Сравним стороны: $6/3=2$ и $10/5=2$. 3. Отношения равны, поэтому соответствующие стороны пропорциональны. 4. Прямоугольники подобны. Коэффициент подобия большей фигуры к меньшей равен $k=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели определение, договорились о соответствии элементов и нашли коэффициент подобия. Теперь проверим алгоритм на коротких заданиях, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: применить определение подобия при анализе чертежей и получить взаимную обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет критерии. «Выполните два задания в паре. Один участник устанавливает соответствие вершин и углов, второй составляет отношения сторон. Затем поменяйтесь ролями и вместе сформулируйте вывод. В листе проверки отметьте четыре пункта: соответствие, углы, пропорция, вывод». | Распределяют роли, читают критерии, подготавливают черновую таблицу соответствий. |
4 мин | Учитель сопровождает работу и задаёт вопросы: «В первой задаче стороны фигур равны 4 см, 6 см, 8 см и 8 см, 12 см, 16 см. Какой коэффициент получится? Во второй задаче стороны равны 3 см, 5 см, 7 см и 6 см, 10 см, 15 см. Какие отношения совпадают, а какое нарушается?» | Решают: в первой задаче получают $k=2$ и вывод «фигуры подобны»; во второй находят $6/3=2$, $10/5=2$, $15/7\ne2$, делают вывод «фигуры не подобны». |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку. «Передайте карточку соседней паре. Проверьте решение по четырём критериям и поставьте две отметки: что выполнено верно и что нужно уточнить. Формулировка должна быть конкретной: например, “верно установлено соответствие, но не записан вывод”». | Проверяют работу другой пары, отмечают два сильных момента и одну рекомендацию, возвращают карточку авторам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что пропорциональность должна выполняться для всех соответствующих сторон. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять определение без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и подготовить учащихся к заданиям экзаменационного типа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. «Выберите уровень по своей уверенности. Базовый уровень обязателен для всех; повышенный можно выбрать, если базовое задание выполняется уверенно. Работайте самостоятельно, записывайте не только ответ, но и обоснование». | Выбирают уровень, записывают дату и тему, читают условие и планируют решение. |
6 мин | Учитель предлагает задания. «Базовый уровень: стороны первой фигуры 5 см и 7 см, соответствующие стороны второй — 10 см и 14 см; определите, могут ли фигуры быть подобными, если соответствующие углы равны. Средний уровень: у подобных фигур соответствующие стороны 4 см и 10 см; найдите сторону второй фигуры, соответствующую стороне первой длиной 6 см. Продвинутый уровень: объясните ошибку ученика, который утверждает, что фигуры подобны, потому что одна соответствующая сторона увеличена в два раза». | Решают индивидуально. Базовый ответ: $10/5=14/7=2$, фигуры подобны. Средний ответ: $k=10/4=2,5$, искомая сторона $6\cdot2,5=15$ см. В продвинутом задании пишут: «Одной стороны недостаточно; необходимо проверить все соответствующие отношения и равенство углов». |
3 мин | Учитель выводит эталон и организует самопроверку. «Сверьте решение построчно: установлено ли соответствие, записаны ли отношения, сделан ли вывод, указаны ли единицы измерения. Поставьте себе отметку по критериям и обведите место, которое нужно исправить». | Сверяют записи с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, заполняют лист самооценки: «Я могу определить соответствие», «Я могу составить пропорцию», «Мне нужно повторить...». |
Эталон решения
Для задания со сторонами 5 см, 7 см и 10 см, 14 см: $10/5=2$, $14/7=2$. Так как соответствующие углы равны, а отношения соответствующих сторон одинаковы, фигуры подобны, коэффициент подобия равен $2$. Для нахождения стороны: $k=10/4=2,5$, поэтому $x=6\cdot2,5=15$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже помогает решать задачи без угадывания по рисунку. Осталось связать новое определение с общей системой геометрических знаний и проверить личный результат».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, зафиксировать результат и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор». «Поднимите зелёную карточку, если можете по алгоритму проверить подобие; жёлтую — если понимаете идею, но иногда путаете соответствующие стороны; красную — если нужна совместная консультация. Назовите один шаг, который сегодня стал понятен». | Поднимают карточки, формулируют: «Нужно одинаково направлять отношения сторон», «Одной стороны недостаточно», «Сначала устанавливаем соответствие вершин». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход. «Ответьте письменно на два вопроса: какие два признака входят в определение подобных фигур и что проверяют первым при решении задачи по чертежу? Сдайте билет при выходе». | Записывают ответы: «Равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон»; «Сначала устанавливают соответствие элементов». |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание. «Выберите обязательный уровень, а затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении обязательно записывайте соответствие, отношения сторон и вывод». | Записывают выбранный уровень домашнего задания и уточняют критерии проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились отличать подобие от внешнего сходства и получили алгоритм, который можно применять в задачах ОГЭ. Дома закрепите именно последовательность рассуждений, а не только вычисление коэффициента».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, установлено соответствие элементов, корректно записаны отношения сторон, сделаны обоснованные выводы и исправлена ошибка при самопроверке.
- «4» — правильно выполнено основное задание и составлена пропорция, но допущена одна неточность в обозначениях, формулировке вывода или оформлении единиц измерения.
- «3» — определён общий способ решения и выполнено не менее одного задания, но допущены ошибки в соответствии сторон, вычислении коэффициента или обосновании подобия.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие два условия входят в определение подобных фигур? | Проверка осознания ключевого содержания темы. |
Как вы устанавливаете соответствие сторон и вершин на чертеже? | Выявление затруднений в чтении геометрической информации. |
Почему одной пропорции недостаточно для доказательства подобия фигур? | Проверка понимания необходимости полного обоснования. |
Какой шаг алгоритма вы готовы выполнять самостоятельно, а какой нужно повторить? | Формирование навыка самооценки и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что подобие — это не просто внешнее сходство фигур, а равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон. Главная типичная ошибка — сравнивать случайные стороны или делать вывод по одной паре элементов. Используйте алгоритм последовательно: соответствие, углы, отношения, вывод. На следующем уроке мы продолжим применять подобие к треугольникам и решать более сложные задачи, в том числе близкие к формату ОГЭ».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на определение подобия фигур по равенству соответствующих углов и пропорциональности сторон; в двух задачах найти коэффициент подобия. | Закрепляет определение и алгоритм; при проверке смотреть на соответствие элементов, равенство отношений и полный вывод. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение неизвестной стороны подобных фигур по известному коэффициенту и одной соответствующей стороне, включая одну задачу в формате ОГЭ. | Формирует навык применения коэффициента подобия; при проверке обращать внимание на направление отношения и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на подобие двух фигур с целым коэффициентом и решить её двумя способами: через коэффициент и через пропорцию. | Развивает умение создавать математическую модель и объяснять эквивалентность способов решения; при проверке оценивать корректность условия и обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает коэффициент подобия? Какие элементы нужно сопоставить прежде всего? Как доказать, что фигуры не подобны? Почему нельзя делать вывод только по внешнему виду чертежа?»
