Преобразование подобия
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют определение преобразования подобия, назовут его основные свойства и применят коэффициент подобия для решения не менее двух геометрических задач, включая задание экзаменационного типа.
- Познакомить учащихся с преобразованием подобия как преобразованием плоскости, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз.
- Научить находить коэффициент подобия по соответствующим отрезкам и использовать его для вычисления длин образов и прообразов.
- Развивать умение анализировать чертёж, выделять соответствующие элементы, работать в паре и аргументировать решение.
- Формировать уверенность при выполнении заданий геометрического содержания в формате ОГЭ и понимание практической ценности масштабирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают связь преобразования подобия с масштабом карт, чертежей, моделей и компьютерной графикой.
- Проявляют готовность к самостоятельному преодолению затруднения при решении геометрической задачи.
- Снижают тревожность перед экзаменационными заданиями за счёт понимания алгоритма действий.
- Развивают ответственное отношение к точности чертежа, записи решения и проверке результата.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель после выявления затруднения и планируют последовательность её достижения.
- Извлекают информацию из рисунка, текста задачи и таблицы соответствующих отрезков.
- Сравнивают исходную и преобразованную фигуры, выявляют инвариантность формы и постоянство отношения длин.
- Выполняют взаимопроверку решения по заданному алгоритму и корректируют ошибки.
- Используют математическую речь для объяснения выбора коэффициента подобия.
Предметные
- Знать определение преобразования подобия и смысл коэффициента подобия.
- Уметь находить образ точки и отрезка при заданном коэффициенте подобия.
- Уметь вычислять длину образа или прообраза по формуле $A'B'=k\cdot AB$.
- Уметь объяснять, почему при преобразовании подобия углы сохраняются, а длины изменяются в одинаковое число раз.
- Владеть алгоритмом решения задач на масштабирование и преобразование подобия.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость изучения преобразования подобия для решения задач ОГЭ и практических задач.
- Оценивают собственную готовность применять формулу коэффициента подобия.
- Проявляют настойчивость при поиске причины ошибки в чертеже или вычислениях.
- Осознают ценность точного математического моделирования реальных объектов.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют решение задачи через определение соответствующих элементов и вычисление коэффициента.
- Проверяют единицы измерения и разумность полученного результата.
- Осуществляют взаимопроверку и исправляют найденные неточности.
- Оценивают степень освоения алгоритма по итогам рефлексии.
Познавательные УУД
- Моделируют преобразование фигуры на координатной сетке.
- Выделяют существенные признаки подобия: сохранение формы и одинаковое изменение всех расстояний.
- Устанавливают зависимость между коэффициентом и длиной образа.
- Составляют краткую математическую модель текстовой задачи.
- Сравнивают решения и находят ошибку в неверно выбранном коэффициенте.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при выполнении задания.
- Формулируют вопросы о соответствии точек и отрезков.
- Аргументируют выбор коэффициента подобия.
- Слушают объяснение партнёра и дают корректную обратную связь.
- Согласовывают общий ответ и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями исходной и преобразованной фигур, координатной сеткой и проблемным вопросом.
- Распечатать карточки для парной работы двух уровней — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика и два резервных экземпляра.
- Вывести на доску памятку: «1. Найди соответствующие элементы. 2. Вычисли $k$. 3. Используй $A'B'=k\cdot AB$. 4. Проверь ответ».
- Подготовить цветные маркеры или магниты для обозначения соответствующих точек и отрезков.
- Подготовить линейки и карандаши для каждой пары.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для показа чертежей и решений.
- Заранее записать на доске тему урока и формулу преобразования подобия, оставив место для определения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость масштабирования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и черновика. Сегодня нам понадобится внимательная работа с чертежом и умение объяснять каждый шаг решения." | Проверяют готовность, раскладывают принадлежности, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране план помещения и его уменьшенную копию: "Посмотрите на два изображения. Форма помещения сохранилась, но размеры стали меньше. Где вы встречались с таким приёмом? Можно ли описать его математически? Сегодня мы разберём преобразование, которое лежит в основе масштаба карт, чертежей и многих заданий ОГЭ." | Называют примеры: "карта", "чертёж", "макет", "фотография"; формулируют предположение: "все длины изменяются в одно и то же число раз". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что изменение размеров может сохранять форму фигуры. Теперь проверим, какие знания о пропорциях и подобных фигурах помогут нам описать это преобразование."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия пропорции, подобных фигур и коэффициента подобия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, какие элементы у подобных фигур соответствуют друг другу и как связаны их длины. Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом." | Индивидуально записывают два признака подобных фигур, затем обсуждают их в парах. |
2 мин | Учитель показывает треугольники с парами сторон 3 см и 6 см, 4 см и 8 см: "Найдите отношение соответствующих сторон. Что общего у полученных отношений?" | Вычисляют отношения $6:3=2$ и $8:4=2$, формулируют: "Отношение соответствующих сторон постоянно и равно 2". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Если все расстояния увеличить в 2 раза, изменятся ли углы и форма фигуры? Как называется такое отношение?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Углы сохраняются, форма не меняется"; называют отношение коэффициентом подобия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что у подобных фигур существует постоянное отношение соответствующих сторон. Но пока не назвали само преобразование плоскости. Сейчас выясним, как оно действует на каждую точку и каждый отрезок."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает квадрат $ABCD$ и его увеличенную копию $A'B'C'D'$ с неизвестной длиной стороны: "Предположим, каждая точка фигуры переместилась так, что все расстояния увеличились в 1,5 раза. Как определить положение новой точки? Как найти длину нового отрезка?" | Называют известное: "Нужно умножить длину на 1,5"; фиксируют затруднение: "Не знаем точного определения преобразования и способа описать образ точки". |
2 мин | Учитель направляет беседу: "Сформулируйте, чему мы должны научиться сегодня, чтобы решить такую задачу. Какие действия войдут в наш план?" | Формулируют цель: "Узнать определение преобразования подобия, понять роль коэффициента и научиться находить длины образов". Записывают план: определение — свойства — применение. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: нам нужно описать преобразование не только для одной фигуры, но для любых точек и расстояний. Переходим к построению нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать определение преобразования подобия и вывести его основные свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на сетке отрезок $AB$ и его образ $A'B'$: "Рассмотрите рисунок. Каждая точка исходной фигуры переходит в соответствующую точку образа. Главное условие таково: расстояние между любыми двумя образами во столько же раз больше или меньше расстояния между исходными точками. Это постоянное число обозначим $k$ и назовём коэффициентом подобия." | Рассматривают рисунок, выделяют пары точек и отрезков, записывают обозначение $k$. |
3 мин | Учитель формулирует: "Преобразованием подобия называется преобразование плоскости, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Если $k>1$, фигура увеличивается; если $0<k<1$, фигура уменьшается; при $k=1$ расстояния не меняются." | Записывают определение и классификацию случаев для коэффициента $k$. |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Что произойдёт с углами? Почему форма фигуры сохранится? Что будет с периметром и площадью?" Учитель фиксирует на доске: $A'B'=k\cdot AB$. | Отвечают: "Углы сохраняются"; "все стороны изменяются одинаково, поэтому форма сохраняется"; предполагают: "периметр умножится на $k$, площадь — на $k^2$". |
2 мин | Учитель предлагает проверить вывод на примере: "Сторона квадрата равна 4 см, коэффициент подобия равен 1,5. Найдите сторону образа и сравните периметры." | Решают: $4\cdot1{,}5=6$ см; находят периметры 16 см и 24 см; делают вывод: периметр увеличился в 1,5 раза. |
Запись в тетрадях
Преобразование подобия — преобразование плоскости, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же число раз. Число $k$ называется коэффициентом подобия. Для соответствующих отрезков $A'B'=k\cdot AB$. Углы сохраняются; периметры изменяются в $k$ раз, площади — в $k^2$ раз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и формулу, связывающую отрезок с его образом. Теперь применим их сначала вместе, с проговариванием каждого шага, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм нахождения коэффициента и длины образа в сотрудничестве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "На рисунке отрезок $AB=8$ см переходит в отрезок $A'B'=12$ см. Найдите коэффициент подобия и длину образа отрезка $CD=5$ см. Проговорите решение по алгоритму на доске." | В парах выделяют соответствующие отрезки, записывают $k=12:8=1{,}5$, затем находят $C'D'=1{,}5\cdot5=7{,}5$ см. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Поменяйтесь черновиками с соседней парой. Проверьте наличие формулы, правильность коэффициента и единицы измерения. Если нашли ошибку, не исправляйте молча, а запишите короткий совет." | Проверяют решения по трём критериям, пишут совет: "Сначала нужно разделить длину образа на длину исходного отрезка" или подтверждают правильность. |
2 мин | Учитель предлагает два ответа на экране: $k=8:12$ и $k=12:8$. "Какой вариант соответствует переходу от исходной фигуры к образу? Обоснуйте." | Выбирают $k=12:8=1{,}5$, объясняют: "В числителе должна быть длина образа, потому что образ больше исходного отрезка". |
Эталон решения
1. Определяем исходный отрезок и его образ: $AB=8$ см, $A'B'=12$ см. 2. Находим коэффициент: $k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{12}{8}=1{,}5$. 3. Находим образ отрезка $CD$: $C'D'=k\cdot CD=1{,}5\cdot5=7{,}5$ см. 4. Ответ: $k=1{,}5$, $C'D'=7{,}5$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что главная ошибка возникает при неправильном выборе направления отношения. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно применить тот же алгоритм к новой ситуации."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и подготовить учащихся к заданию экзаменационного типа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Решите два задания самостоятельно. Задание 1: отрезок длиной 14 см при преобразовании подобия с коэффициентом $0{,}5$ переходит в образ. Найдите длину образа. Задание 2: образ отрезка имеет длину 18 см, а исходный отрезок — 12 см. Найдите коэффициент подобия." | Записывают краткую запись, формулы и решения: $14\cdot0{,}5=7$ см; $k=18:12=1{,}5$. |
2 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и способ. Отметьте зелёным полностью верное решение, жёлтым — решение с одной неточностью, красным — место, которое нужно разобрать." | Сверяют решения, выделяют место ошибки, исправляют вычисления или запись формулы. |
2 мин | Учитель предлагает усложнённое задание: "Периметр исходного треугольника равен 24 см, коэффициент подобия равен $1{,}25$. Найдите периметр образа и объясните, почему не нужно умножать его на $k^2$." | Находят $24\cdot1{,}25=30$ см; объясняют: "Периметр является суммой длин, поэтому изменяется в $k$ раз, а площадь — в $k^2$ раз". |
Эталон решения
Задание 1: $A'B'=k\cdot AB=0{,}5\cdot14=7$ см. Задание 2: $k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{18}{12}=1{,}5$. Задание 3: $P'=kP=1{,}25\cdot24=30$ см, поскольку каждая сторона увеличивается в $1{,}25$ раза и сумма сторон также увеличивается в это число раз.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили полный алгоритм на индивидуальных заданиях и увидели типичную ловушку: коэффициент для площади нельзя переносить на периметр. Осталось оценить, что именно стало понятным и что требует повторения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и зафиксировать направление домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если можете объяснить определение и найти длину образа; жёлтый — если понимаете идею, но путаетесь в коэффициенте; красный — если требуется разбор с учителем." | Поднимают стикеры, соотносят цвет с собственной уверенностью, называют конкретное затруднение. |
1 мин | Учитель просит завершить фразы: "Сегодня я понял...", "При решении задачи я сначала...", "Мне нужно повторить..." | Письменно завершают три фразы, два-три ученика зачитывают ответы. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; желающие выполняют повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: что показывает $k$, как найти образ отрезка, почему площадь связана с $k^2$?" | Записывают домашнее задание, устно отвечают: "$k$ показывает, во сколько раз изменились расстояния"; "$A'B'=k\cdot AB$"; "площадь зависит от произведения двух линейных размеров". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ математически описывать увеличение и уменьшение фигур. На следующем уроке мы продолжим применять преобразование подобия к треугольникам и задачам, где нужно находить неизвестные элементы по пропорции."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены оба обязательных задания и усложнённое задание, правильно записаны формулы, коэффициент выбран в нужном направлении, решение содержит единицы измерения и объяснение.
- «4» — верно выполнены два обязательных задания, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность в усложнённом задании.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно обязательное задание, определение коэффициента в целом понято, но требуется помощь при применении формулы.
- Ниже «3» — коэффициент выбран без обоснования или не установлено соответствие исходного отрезка и его образа; необходима индивидуальная коррекция алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает коэффициент подобия $k$? | Проверка понимания основного понятия и математического смысла коэффициента. |
Какой первый шаг нужно выполнить в задаче на длину образа? | Выявление понимания алгоритма и умения определить соответствующие элементы. |
Какая ошибка сегодня была для вас наиболее вероятной? | Диагностика индивидуальных затруднений при выборе отношения и формулы. |
Насколько уверенно вы справились бы с похожим заданием ОГЭ? | Субъективная оценка освоения темы и снижение экзаменационной тревожности через осознание конкретного алгоритма. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что преобразование подобия изменяет все расстояния в одно и то же число раз и сохраняет форму фигуры. Главная опора при решении задач — правильно определить исходный отрезок, его образ и записать $A'B'=k\cdot AB$. Не забывайте, что для периметра используется коэффициент $k$, а для площади — $k^2$. Такой алгоритм часто помогает спокойно и последовательно выполнять задания экзаменационного формата. На следующем уроке мы применим его к более сложным фигурам и пропорциям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение коэффициента подобия и длины образа или прообраза по формуле $A'B'=k\cdot AB$, включая случаи $k>1$ и $0<k<1$. | Закрепляет определение коэффициента и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на соответствие исходных и преобразованных отрезков. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на изменение периметра и площади фигуры при преобразовании подобия, используя коэффициенты $k$ и $k^2$, и кратко объяснить выбор формулы. | Формирует различение линейных и площадных величин; при проверке смотреть на обоснование, а не только на числовой ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о масштабе карты, чертежа или модели, где требуется найти коэффициент подобия и неизвестный размер. | Развивает создание математической модели и перенос знания в практический контекст; при проверке оценить корректность условия, решения и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называется преобразованием подобия?», «Как найти коэффициент, если известны длина исходного отрезка и длина его образа?», «Во сколько раз изменится площадь при коэффициенте $k=2$?». Ожидаемые ответы: «Расстояния изменяются в одно и то же число раз»; «$k=\frac{A'B'}{AB}$»; «в $4$ раза».
