Понятие о преобразовании подобия
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать преобразование подобия, объяснять его свойства и применять коэффициент подобия для нахождения длин соответствующих отрезков в учебных и практико-ориентированных задачах.
- Сформировать представление о преобразовании подобия как преобразовании, сохраняющем форму фигур и изменяющем их размеры в одном и том же отношении.
- Научить определять коэффициент подобия и использовать его для решения задач базового уровня, в том числе в формате ОГЭ.
- Развивать умение анализировать рисунок, устанавливать соответствие элементов фигур, аргументировать решение и проверять результат.
- Воспитывать ответственное отношение к математической записи, уверенность при решении экзаменационных задач и готовность корректировать ошибочные рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность преобразований подобия при работе с картами, чертежами, фотографиями и измерениями недоступных объектов.
- Понимают, что последовательная проверка решения снижает риск ошибки на экзамене и в практической деятельности.
- Проявляют готовность к сотрудничеству, взаимопроверке и спокойному отношению к заданиям повышенной сложности.
- Формируют положительную учебную мотивацию через связь новой темы с заданиями ОГЭ и будущим профессиональным самоопределением.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему, планируют последовательность действий и оценивают достижение цели урока.
- Извлекают информацию из рисунка, таблицы и условия задачи, устанавливают соответствие между элементами фигур.
- Аргументируют выводы в устной и письменной форме, участвуют в работе пары и осуществляют взаимопроверку.
- Используют самоконтроль: сопоставляют ответ с эталоном, находят причину ошибки и исправляют решение.
Предметные
- Знать определение преобразования подобия и смысл коэффициента подобия.
- Понимать, что при преобразовании подобия расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, а углы сохраняются.
- Уметь распознавать подобные фигуры и находить коэффициент подобия по соответствующим сторонам.
- Уметь применять равенство отношений соответствующих отрезков для решения задач на нахождение неизвестной длины.
- Владеть алгоритмом решения базовой задачи на преобразование подобия и выполнять проверку полученного результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно распознавать и применять преобразование подобия.
- Осознают значение точной геометрической модели для решения задач, связанных с реальными измерениями.
- Формируют адекватную самооценку и воспринимают ошибку как основание для коррекции способа действия.
- Проявляют интерес к применению геометрии в архитектуре, картографии, инженерии и дизайне.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную задачу, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют решение: устанавливают соответствие сторон, находят коэффициент, составляют отношение и вычисляют неизвестное.
- Контролируют единообразие порядка соответствующих элементов и проверяют разумность ответа.
- Оценивают собственную работу по критериям и намечают способ исправления выявленной ошибки.
Познавательные УУД
- Сравнивают исходную и полученную фигуры, выделяют неизменные и изменяющиеся характеристики.
- Строят математическую модель ситуации с помощью схемы и отношений соответствующих отрезков.
- Анализируют условие, классифицируют преобразования и устанавливают причинно-следственную связь между коэффициентом и длиной отрезка.
- Применяют знаково-символические средства: буквенные обозначения, пропорции и формулу $A'B'=k\cdot AB$.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о соответствии точек и отрезков на рисунке.
- Объясняют партнёру ход решения, используя математические термины и полные высказывания.
- Осуществляют взаимопроверку по заданным критериям и корректно формулируют замечания.
- Согласуют общий вывод группы и аргументируют его перед классом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения двух одинаковых по форме, но разных по размеру треугольников, фотографии с изменением масштаба и фрагмент карты.
- Подготовить карточки для актуализации: определения перемещения, поворота, симметрии и увеличения изображения — по одной на каждого ученика.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, с вариантами 1 и 2.
- Подготовить листы взаимопроверки с алгоритмом: установить соответствие, найти коэффициент, составить отношение, записать ответ.
- Вывести на доску или экран проблемный вопрос: «Что общего у фотографии и её увеличенной копии?»
- Заранее записать на доске обозначения фигур $ABC$ и $A'B'C'$, а также место для определения и свойств преобразования подобия.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные стрелки для обозначения соответствующих вершин и сторон.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Подготовить слайд с эталоном решения и слайд с рефлексивной шкалой «могу объяснить — могу применить с помощью — пока затрудняюсь».
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска, раздаточные листы, линейки и ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и карточка для работы должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только вычислительный навык, но и умение внимательно читать рисунок. Это особенно важно в заданиях ОГЭ, где правильная идея часто ценнее длинных вычислений." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране фотографию и её увеличенную копию: "Посмотрите на два изображения. Размеры разные, но человек на фотографии не стал шире или выше непропорционально. Что сохранилось? Как можно увеличить изображение так, чтобы оно не исказилось? Запишите одну гипотезу и обсудите её с соседом приёмом «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально формулируют гипотезу, обсуждают её в парах и предлагают ответы: "Сохранилась форма", "Все размеры изменились в одно и то же число раз". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже назвали главное свойство: форма сохраняется, а размеры меняются согласованно. Сегодня мы переведём это наблюдение на язык геометрии и проверим, как оно помогает решать задачи ОГЭ."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о движениях и отношениях отрезков, необходимые для открытия нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с четырьмя утверждениями: «При перемещении сохраняются расстояния», «При повороте сохраняются углы», «При симметрии фигура может перейти в равную ей фигуру», «При увеличении изображения все длины обязательно изменяются в одно и то же число раз». Учитель говорит: "Отметьте верные утверждения и рядом напишите короткое объяснение. Не угадывайте: опирайтесь на свойства уже известных преобразований." | Отмечают верные утверждения, исправляют последнее: "При увеличении с сохранением формы длины изменяются в одном и том же отношении". Сверяют ответы в парах. |
3 мин | Учитель чертит два отрезка $AB=4$ см и $A'B'=10$ см: "Сравните длины. Во сколько раз второй отрезок больше первого? А если бы такая зависимость выполнялась для всех соответствующих отрезков фигуры, что можно было бы сказать о фигурах?" Учитель фиксирует на доске отношение $\frac{A'B'}{AB}=\frac{10}{4}=2{,}5$. | Вычисляют отношение, отвечают: "В 2,5 раза"; предполагают: "Фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры". Формулируют, что один отрезок соответствует другому. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили движения и научились сравнивать длины через отношение. Теперь выясним, достаточно ли одного увеличения отрезка, чтобы говорить о новом геометрическом преобразовании, и какие условия должны выполняться для всей фигуры."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два четырёхугольника: первый получен растяжением только по горизонтали, второй — равномерным увеличением. Реплика: "Обе фигуры стали больше. Но можно ли обе назвать результатом одного и того же преобразования? Сравните углы и отношения соответствующих сторон. В чём проблема?" | Сравнивают рисунки, обсуждают в парах, формулируют затруднение: "Нужно, чтобы изменялись все соответствующие длины в одном отношении и форма сохранялась". |
2 мин | Учитель направляет целеполагание: "Сформулируйте, чему нам нужно научиться. Какие действия понадобятся при решении задачи? Запишем план: распознать преобразование, установить соответствие, найти коэффициент, применить его и проверить ответ." | Формулируют цель: "Научиться распознавать преобразование подобия и находить неизвестные длины через коэффициент подобия". Записывают план действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: простое увеличение не всегда сохраняет форму. Сейчас вы сами выведете признаки преобразования подобия и запишете их как рабочий инструмент."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать определение преобразования подобия, понятие коэффициента подобия и его основные свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на доске треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ с соответствиями $A\leftrightarrow A'$, $B\leftrightarrow B'$, $C\leftrightarrow C'$. Реплика: "Представим, что каждой точке исходной фигуры поставлена в соответствие точка новой фигуры. Расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и то же число раз. Это число называют коэффициентом подобия и обозначают $k$. Если $k>1$, фигура увеличивается; если $0<k<1$, уменьшается. Запишите определение." | Записывают определение: "Преобразование подобия — преобразование, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же положительное число раз, равное коэффициенту подобия $k$". Отвечают: "$k>1$ — увеличение, $0<k<1$ — уменьшение". |
3 мин | Учитель показывает таблицу соответствующих сторон: $AB=4$ см, $BC=6$ см, $CA=5$ см; $A'B'=10$ см, $B'C'=15$ см, $C'A'=12{,}5$ см. Спрашивает: "Проверьте, одинаковы ли отношения соответствующих сторон. Что происходит с углами?" | Вычисляют отношения $10:4$, $15:6$, $12{,}5:5$, получают $2{,}5$. Формулируют вывод: "Все соответствующие стороны изменились в 2,5 раза; форма и углы сохраняются". |
3 мин | Учитель формулирует свойства: "Первое свойство — соответствующие расстояния умножаются на $k$. Второе — углы сохраняются. Третье — прямые переходят в прямые, а отрезки — в соответствующие отрезки. На доске запишем рабочую формулу: $A'B'=k\cdot AB$. Если неизвестен исходный отрезок, как его найти?" | Записывают свойства и формулу. Отвечают: "$AB=\frac{A'B'}{k}$, если $k\ne0$". |
Запись в тетрадях
Преобразование подобия изменяет расстояния между любыми двумя точками в одно и то же положительное число раз $k$. При $k>1$ происходит увеличение, при $0<k<1$ — уменьшение. Основная зависимость: $A'B'=k\cdot AB$. Соответствующие углы сохраняются, соответствующие стороны пропорциональны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и формулу. Теперь проверим, умеем ли мы не просто повторить их, а использовать в конкретной геометрической ситуации."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм применения коэффициента подобия с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задачу: "Треугольник $A'B'C'$ получен из треугольника $ABC$ преобразованием подобия с коэффициентом $k=1{,}5$. Найдите $A'B'$, если $AB=8$ см. Объясните решение по алгоритму: соответствие, формула, вычисление, ответ." Учитель просит одного ученика проговорить решение, другого — записать его на доске. | Определяют соответствие $AB\leftrightarrow A'B'$, записывают $A'B'=k\cdot AB$, вычисляют $1{,}5\cdot8=12$ см, отвечают: "$A'B'=12$ см". |
3 мин | Учитель даёт парное задание: "Фигура $F'$ получена из фигуры $F$ подобием. Отрезок длиной 18 см перешёл в отрезок длиной 12 см. Найдите коэффициент подобия и длину образа отрезка 7 см. Сначала обсудите порядок действий, затем один партнёр решает, второй проверяет запись." | Находят $k=\frac{12}{18}=\frac23$, затем вычисляют $\frac23\cdot7=\frac{14}{3}$ см. Сверяют решение по алгоритму и формулируют вывод: "Фигура уменьшилась". |
Эталон решения
1. Коэффициент подобия равен отношению образа к исходному отрезку: $k=\frac{12}{18}=\frac23$. 2. Для отрезка длиной 7 см используем формулу $A'B'=k\cdot AB$. 3. Получаем $A'B'=\frac23\cdot7=\frac{14}{3}$ см. 4. Так как $0<k<1$, преобразование является уменьшением.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает и при увеличении, и при уменьшении. На следующем этапе каждый выполнит короткую самостоятельную работу в формате, близком к базовым заданиям ОГЭ, а затем проверит себя по эталону."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание определения, свойств и алгоритма решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт варианты. Инструкция: "Работаем самостоятельно. В каждом задании обязательно записывайте отношение или формулу, а не только ответ. Вариант 1: 1) укажите, является ли преобразованием подобия равномерное увеличение рисунка в 3 раза; 2) найдите образ отрезка 9 см при $k=\frac43$; 3) исходный отрезок 15 см перешёл в отрезок 10 см, найдите $k$. Вариант 2 содержит аналогичные задания с числами 2, 12 и 18; 14 и 7. На работу 6 минут." | Решают индивидуально: распознают равномерное увеличение как преобразование подобия, применяют формулу $A'B'=k\cdot AB$, находят коэффициент отношением образа к исходному отрезку. |
4 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только число, но и порядок записи. За каждое задание поставьте плюс, если совпали формула, вычисление и единица измерения. Если есть ошибка, подчеркните место, где она возникла: соответствие, коэффициент или вычисление." | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки и исправляют их. Заполняют лист самооценки: «Я могу определить преобразование», «Я могу найти $k$», «Я могу найти неизвестную длину». |
Эталон решения
Для варианта 1: 1) равномерное увеличение рисунка в 3 раза является преобразованием подобия, $k=3$; 2) $A'B'=\frac43\cdot9=12$ см; 3) $k=\frac{10}{15}=\frac23$. Для варианта 2: 1) равномерное увеличение в 2 раза является преобразованием подобия, $k=2$; 2) $A'B'=\frac{18}{7}$ см при исходной длине 12 см; 3) $k=\frac{7}{14}=\frac12$. При проверке необходимо учитывать правильное соответствие исходного отрезка и его образа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя по трём ключевым действиям: распознать преобразование, найти коэффициент и применить формулу. Ошибка в любом из них исправляется одним способом — возвращаемся к соответствию исходной фигуры и образа. Теперь сформулируем общий вывод и свяжем его с практикой."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить его освоение и определить дальнейшую учебную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемной фотографии: "Теперь ответьте на начальный вопрос. Почему увеличенная фотография не исказилась? Как это связано с преобразованием подобия? Назовите три шага решения задачи на коэффициент подобия." | Формулируют вывод: "Все соответствующие расстояния изменились в одно и то же число раз, углы и форма сохранились". Называют алгоритм: "Установить соответствие, найти $k$, применить формулу и проверить ответ". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Зелёная карточка означает: могу объяснить и решить самостоятельно; жёлтая — понимаю определение, но иногда путаю соответствие; красная — нужна помощь. Поднимите карточку и запишите один вопрос или один уверенно выполненный шаг." | Поднимают карточки, записывают личный результат и формулируют вопрос при затруднении. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный можно выбрать для тренировки перед ОГЭ." | Записывают домашнее задание выбранного уровня, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли понятие преобразования подобия и увидели, что коэффициент связывает все соответствующие длины фигуры. Вы научились переводить рисунок в отношение и формулу. На следующем уроке мы рассмотрим связь преобразований подобия с подобием треугольников и решим более сложные задачи."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы; правильно установлено соответствие, найден коэффициент, записана формула и указаны единицы измерения.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх либо допущена одна вычислительная ошибка при правильной формуле и корректном выборе соответствующих отрезков.
- «3» — верно выполнено одно задание и частично применён алгоритм: установлено соответствие или записана формула, но допущена ошибка в вычислении коэффициента.
- Ниже базового уровня — решение не показывает устойчивого понимания соответствия исходной фигуры и образа; требуется повторить определение и выполнить тренировочный пример с опорой на алгоритм.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое преобразование подобия и что обозначает коэффициент $k$? | Проверка осознания нового определения и смысла коэффициента. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: установление соответствия, нахождение $k$ или вычисление длины? | Выявление точки затруднения в способе решения. |
Как понять по значению $k$, произошло увеличение или уменьшение? | Проверка понимания границ $k>1$ и $0<k<1$. |
Готов ли я решить базовую задачу ОГЭ на коэффициент подобия самостоятельно? Что поможет мне проверить себя? | Формирование самооценки и навыка самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за разными по размеру фигурами одно и то же преобразование — преобразование подобия. Главное правило состоит в том, что все соответствующие расстояния изменяются в одно и то же число раз, а коэффициент нужно составлять в правильном порядке: образ к исходному объекту. Типичная ошибка — перепутать соответствующие отрезки или использовать обратное отношение. На следующем уроке мы свяжем это преобразование с признаками подобия треугольников и продолжим тренировку заданий, встречающихся на ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на распознавание преобразования подобия, нахождение коэффициента и неизвестной длины соответствующего отрезка; в каждой задаче записать формулу и единицы измерения. | Закрепляет определение и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильное соответствие исходного отрезка и его образа. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4–5 задач, в которых коэффициент меньше 1 или задан через две соответствующие длины; составить отношения и объяснить, произошло увеличение или уменьшение. | Формирует гибкость применения формулы и предупреждает ошибку с обратным коэффициентом; проверять обоснование каждого отношения. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 практико-ориентированные задачи: по масштабу найти реальное расстояние или размер объекта и по увеличенному изображению восстановить исходный размер; записать краткое объяснение модели подобия. | Развивает функциональную математическую грамотность и перенос знания в реальную ситуацию; проверять корректность масштаба, единиц и разумность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что изменяется при преобразовании подобия?», «Что сохраняется?», «Как найти коэффициент по двум соответствующим отрезкам?», «Как определить по коэффициенту, произошло увеличение или уменьшение?»
