Уравнение окружности
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выводить и применять уравнение окружности с заданными центром и радиусом, а также проверять принадлежность точки окружности по её координатам.
- Сформировать представление о связи геометрического определения окружности с её уравнением на координатной плоскости.
- Научить составлять уравнение окружности по координатам центра и длине радиуса и находить недостающие параметры по готовому уравнению.
- Развивать умение анализировать условие, строить математическую модель и проверять результат подстановкой.
- Показать практическое применение координатного метода в математике, информатике и навигации; снизить тревожность перед заданиями ОГЭ через пошаговый алгоритм решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность координатного метода и связи геометрии с цифровыми технологиями.
- Проявляют ответственное отношение к проверке собственных вычислений и исправлению ошибок.
- Понимают, что задание формата ОГЭ можно выполнить по понятному алгоритму, а не только интуитивно.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и аргументированному обсуждению решений.
Метапредметные
- Извлекают информацию из рисунка, формулы, таблицы и динамической модели на экране.
- Планируют решение по алгоритму: определить центр и радиус, записать формулу, подставить данные, выполнить проверку.
- Сравнивают геометрическое условие и его алгебраическую запись, выявляют соответствия между ними.
- Используют цифровую модель для проверки гипотезы и формулируют вывод на основе наблюдения.
- Аргументированно представляют решение и корректно обсуждают ошибки одноклассников.
Предметные
- Знать определение окружности как множества точек, равноудалённых от центра.
- Знать уравнение окружности с центром в точке $C(a;b)$ и радиусом $R$: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.
- Уметь составлять уравнение окружности по координатам центра и радиусу.
- Уметь находить центр и радиус окружности по её уравнению.
- Уметь проверять, принадлежит ли заданная точка окружности, подстановкой её координат в уравнение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают значение точности вычислений для получения достоверного геометрического результата.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному преодолению затруднений.
- Соотносят изучаемый способ решения с будущим профессиональным и экзаменационным выбором.
- Оценивают собственную готовность применять формулу в новой задаче.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Составляют последовательность действий для получения уравнения окружности.
- Проверяют вычисления и соответствие результата условию.
- Находят и исправляют ошибки в знаках координат и преобразовании выражений.
- Оценивают результат по критериям и определяют шаг для дальнейшей тренировки.
Познавательные УУД
- Применяют формулу расстояния между двумя точками для вывода уравнения.
- Преобразуют геометрическую информацию в алгебраическую модель.
- Выделяют существенные признаки окружности в записи уравнения.
- Строят логическую цепочку от определения окружности к формуле.
- Используют цифровую модель для проверки зависимости положения точки от значения выражения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о смысле параметров $a$, $b$ и $R$.
- Обсуждают решение в паре и объясняют назначение каждого шага.
- Аргументируют согласие или несогласие с предложенным решением.
- Распределяют роли при совместной проверке цифровой модели.
- Дают однокласснику корректную обратную связь по принципу «две сильные стороны и один совет».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, окружностями с разными центрами и таблицей соответствия «центр — радиус — уравнение».
- Подготовить динамическую модель в GeoGebra или другом доступном графическом сервисе: окружность, центр, радиус и точка $M(x;y)$ с изменяемыми координатами.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на парту, всего 15–16 экземпляров.
- Распечатать индивидуальные листы самопроверки — по одному на каждого ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску или первый слайд проблемный вопрос: «Как записать условие принадлежности точки окружности одной формулой?»
- Заранее записать на доске обозначения $C(a;b)$, $R$ и формулу расстояния между точками.
- Подготовить проектор, ноутбук, интерактивную доску и доступ к цифровой модели.
- Подготовить задания прикладного характера о зоне действия датчика и координатах объекта.
- Разместить на доске памятку алгоритма: определить центр; определить радиус; подставить в формулу; раскрыть скобки при необходимости; проверить точку.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка должны быть на столе. Сегодня нам понадобится ещё внимательность к координатам и знакам. Ошибка в одном знаке может изменить всю окружность, поэтому мы будем не только решать, но и обязательно проверять результат." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране координатную плоскость и отмечает точку центра датчика $C(2;-1)$ с радиусом действия $3$ единицы: "Представьте, что это зона действия датчика на плане помещения. Как описать все точки, которые находятся ровно на границе зоны? Можно ли сделать это одной формулой, чтобы компьютер проверял координаты автоматически? Сегодня мы найдём такой способ." | Рассматривают модель, предполагают: "Нужно измерить расстояние от точки до центра"; формулируют проблемный вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что геометрическое условие можно перевести на язык координат и формул. Теперь вспомним, как вычислять расстояние между точками, потому что именно оно станет основой нового знания."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулу расстояния между двумя точками и подготовить её применение к окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Вспомним формулу расстояния между точками $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$. Назовите её и объясните, откуда берутся разности координат. Почему затем выражение возводится в квадрат?" Учитель фиксирует на доске формулу $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. | Вспоминают теорему Пифагора, отвечают: "Разности координат являются катетами прямоугольного треугольника"; записывают формулу. |
3 мин | Учитель предлагает мини-задание: "Найдите расстояние от точки $C(2;-1)$ до точки $M(5;3)$. Работайте в парах одну минуту, затем сравните ответы. Следите особенно за вычислением разности ординат." Учитель просит одну пару объяснить решение у доски. | Решают: $CM=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{9+16}=5$. Объясняют, что $3-(-1)=4$, сверяют запись с решением у доски. |
Эталон решения
$CM=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить расстояние от произвольной точки до заданного центра. Теперь поставим это расстояние равным радиусу и получим условие, которому должны удовлетворять все точки окружности."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: вывести учащихся на необходимость нового уравнения и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает окружность с центром $C(a;b)$ и произвольную точку $M(x;y)$: "По определению окружности расстояние от любой её точки до центра одинаково и равно радиусу. Запишите это условие через формулу расстояния. Что подставим вместо координат первой точки? Что вместо расстояния?" | Предлагают: "Вместо первой точки подставим центр $C(a;b)$, вместо второй — точку $M(x;y)$, а расстояние заменим радиусом $R$". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как избавиться от квадратного корня? Какой вид формулы ожидаем получить? Сформулируйте цель урока одним предложением. Вспомните, что подобные формулы часто встречаются в заданиях на координатную плоскость и в экзаменационных задачах." | Формулируют цель: "Вывести и научиться применять уравнение окружности"; предлагают план: вывести формулу, составить уравнение, проверить принадлежность точки. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена, план действий определён. Сейчас мы самостоятельно откроем формулу, а затем проверим её на конкретных окружностях и цифровой модели."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (10 мин)
Цель этапа: вывести уравнение окружности и осмыслить роль каждого параметра в формуле.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель ведёт эвристическую беседу: "Пусть $M(x;y)$ — произвольная точка окружности, а центр имеет координаты $C(a;b)$. Тогда расстояние $CM$ равно $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$. По определению окружности $CM=R$. Запишите равенство и возведите обе части в квадрат. Что получилось?" Учитель постепенно фиксирует на доске: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. | Записывают вывод по шагам, отвечают: "Получилось уравнение окружности"; проговаривают, что $a$ и $b$ задают центр, а $R$ — радиус. |
3 мин | Учитель показывает на интерактивной доске цифровую модель: "Посмотрите, я изменяю координату $a$. Что происходит с окружностью? Теперь изменяю $b$, затем $R$. Не меняя формулу, объясните, какой параметр отвечает за сдвиг по горизонтали, какой — по вертикали и какой — за размер окружности." | Наблюдают изменение модели, формулируют вывод: изменение $a$ сдвигает окружность вдоль оси $x$, изменение $b$ — вдоль оси $y$, изменение $R$ меняет радиус. |
3 мин | Учитель предлагает пример: "Составим уравнение окружности с центром $C(-2;3)$ и радиусом $4$. Внимательно подставляйте координаты: в формуле стоит $(x-a)$, поэтому при $a=-2$ получится $(x+2)$. Почему знак изменился?" Учитель подчёркивает типичную ошибку ОГЭ — потерю скобок и неверный знак. | Составляют: $(x+2)^2+(y-3)^2=16$. Объясняют: $x-(-2)=x+2$; сверяют запись с цифровой моделью. |
Запись в тетрадях
Окружность с центром $C(a;b)$ и радиусом $R$ задаётся уравнением $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Алгоритм: 1) определить координаты центра; 2) определить радиус; 3) подставить их в формулу; 4) при необходимости раскрыть скобки; 5) выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу не по аналогии, а из определения окружности и формулы расстояния. Теперь применим её сначала вместе, а затем каждый самостоятельно, как это требуется в заданиях экзаменационного формата."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научить составлять уравнение окружности и проверять принадлежность точки по алгоритму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки парам: "В первой задаче составьте уравнение окружности с центром $C(3;-2)$ и радиусом $5$. Во второй проверьте, принадлежит ли точка $M(6;2)$ этой окружности. Работайте по памятке, один ученик выполняет вычисления, второй контролирует знаки, затем поменяйтесь ролями." | Составляют $(x-3)^2+(y+2)^2=25$. Проверяют: $(6-3)^2+(2+2)^2=9+16=25$, делают вывод: точка принадлежит окружности. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Отметьте две сильные стороны решения и один совет. Проверьте центр, радиус, знак в скобках и итог подстановки. Если нашли ошибку, не исправляйте молча — укажите место и объясните причину." | Проверяют решение по четырём критериям, записывают обратную связь: например, "верно определён радиус", "аккуратно выполнена проверка", "нужно внимательнее раскрыть скобки". |
Эталон решения
Для $C(3;-2)$ и $R=5$: $(x-3)^2+(y-(-2))^2=5^2$, поэтому $(x-3)^2+(y+2)^2=25$. Для точки $M(6;2)$: $(6-3)^2+(2+2)^2=3^2+4^2=25$. Полученное значение равно $R^2$, следовательно, точка принадлежит окружности.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сейчас мы убедились, что формула работает и для построения окружности, и для проверки точки. Следующий шаг — выполнить задания самостоятельно, чтобы понять, какой элемент алгоритма уже получается уверенно, а какой требует тренировки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и закрепить материал в заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт индивидуальный лист: "Выполните обязательное задание: составьте уравнение окружности с центром $C(-1;4)$ и радиусом $3$. Затем определите, принадлежит ли точка $P(1;6)$ этой окружности. Записывайте все подстановки, а не только ответ." | Индивидуально записывают $(x+1)^2+(y-4)^2=9$ и проверяют точку. |
4 мин | Учитель предлагает базовое задание: "По уравнению $(x-2)^2+(y+5)^2=49$ назовите центр и радиус. Затем составьте уравнение окружности с центром $O(0;0)$, проходящей через точку $A(4;-3)$." Учитель контролирует работу, адресно помогает вопросами, не сообщая ответ. | Находят $C(2;-5)$ и $R=7$; вычисляют $R=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$ и записывают $x^2+y^2=25$. |
4 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Проверьте решение по шагам. Если ошибка есть, зачеркните только неверный переход, рядом запишите исправление и причину. Отметьте в листе самооценки: «могу сам», «нужна тренировка», «нужна помощь»." | Сверяют решения, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки и выставляют себе количество верных заданий. |
Эталон решения
Для $C(-1;4)$ и $R=3$: $(x+1)^2+(y-4)^2=9$. Для $P(1;6)$: $(1+1)^2+(6-4)^2=4+4=8$, а $8\ne9$, поэтому точка окружности не принадлежит. В уравнении $(x-2)^2+(y+5)^2=49$ центр $C(2;-5)$, радиус $R=7$. Для $A(4;-3)$: $R=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$, поэтому уравнение окружности с центром в начале координат: $x^2+y^2=25$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство ошибок сегодня связано не с самой формулой, а со знаками координат и невнимательной подстановкой. Мы исправили эти ошибки по эталону. Осталось связать новый способ с практической задачей и проверить, можем ли мы объяснить смысл результата."
Этап 7. Межпредметная практическая задача и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить уравнение окружности в контексте информатики и пространственного планирования, осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему на экране: "В компьютерной игре зона действия маяка имеет центр $C(4;1)$ и радиус $6$ условных единиц. Запишите уравнение её границы и определите, находится ли объект $Q(8;4)$ ровно на границе зоны. Обсудите в парах 30 секунд и объясните, что означал бы результат меньше или больше $36$." | Записывают $(x-4)^2+(y-1)^2=36$. Проверяют: $(8-4)^2+(4-1)^2=16+9=25$, поэтому объект не на границе; значение меньше $36$ означало бы нахождение внутри зоны, больше $36$ — вне зоны. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно составить уравнение; жёлтую — если формулу знаете, но иногда ошибаетесь в знаках; красную — если нужен разбор ещё одного примера. Запишите на стикере продолжение фразы: «Сегодня я понял…»" | Поднимают карточки, записывают: "центр задаёт числа в скобках", "радиус нужно возводить в квадрат", "точку проверяем подстановкой". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от расстояния между точками до уравнения окружности и применили его к задаче о зоне действия маяка. На следующем уроке мы продолжим работать с координатными уравнениями и научимся исследовать взаимное расположение окружностей и прямых."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно составлено уравнение окружности, правильно определены центр и радиус по готовому уравнению, без ошибок выполнены обе проверки принадлежности точки; все преобразования записаны последовательно.
- «4» — выполнены верно не менее трёх из четырёх основных действий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, не нарушившая понимание алгоритма.
- «3» — верно записана основная формула и выполнено хотя бы одно задание на подстановку, но допущены ошибки в определении центра, радиуса или арифметических вычислениях.
- Ниже базового уровня — формула записана частично или решение не доведено до вывода; ученик получает индивидуальное задание на повторение подстановки параметров.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как из определения окружности получается формула $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$? | Проверка осознания связи между геометрическим определением и алгебраической моделью. |
Как определить центр и радиус по уравнению окружности? | Выявление понимания роли параметров и типичных ошибок со знаками. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня ошибались или сомневались? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Можете ли вы объяснить, что означает сравнение значения выражения с $R^2$? | Проверка переноса знания в задачу о положении точки относительно окружности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы вывели уравнение окружности из формулы расстояния между точками и научились применять его по чёткому алгоритму. Запомните: координаты центра записываются внутри скобок с противоположными знаками, а радиус обязательно возводится в квадрат. Проверка подстановкой помогает быстро обнаружить ошибку и снижает риск потери баллов в задании экзаменационного формата. На следующем уроке мы продолжим исследовать координатные модели и научимся использовать их для решения более сложных задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: составить уравнение окружности по заданным центру и радиусу; определить центр и радиус по готовым уравнениям; проверить принадлежность двух заданных точек окружности. | Закрепляет формулу и базовый алгоритм. При проверке обратить внимание на знаки координат центра и запись $R^2$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи экзаменационного типа: составить уравнение окружности по центру и точке на окружности; определить, находится ли точка внутри, на границе или вне окружности; восстановить радиус по уравнению. | Развивает применение формулы в изменённых условиях и умение интерпретировать сравнение расстояния с радиусом. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о зоне действия датчика или маяка на координатной плоскости, записать уравнение окружности, подобрать три точки и классифицировать их положение относительно окружности. | Формирует умение создавать математическую модель и объяснять геометрический смысл результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается уравнение окружности с центром $C(a;b)$ и радиусом $R$?», «Почему для центра $C(-2;3)$ в формуле появляются скобки $(x+2)^2+(y-3)^2$?», «Как по подстановке определить, принадлежит ли точка окружности?»
