Теорема об отрезках пересекающихся хорд
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют теорему об отрезках пересекающихся хорд и решат не менее четырёх из пяти практических задач на применение равенства произведений отрезков, включая одну задачу повышенной сложности.
- Сформировать умение распознавать ситуацию пересечения хорд внутри окружности и записывать соответствующее равенство произведений отрезков.
- Развивать умение доказывать теорему через подобие треугольников, выделять существенные элементы чертежа и проверять результат вычислением.
- Формировать навыки парного сотрудничества, математической аргументации, самопроверки и выбора задания по уровню сложности.
- Показать практическое значение теоремы в геометрических расчётах и снизить тревожность перед заданиями ОГЭ через работу по понятному алгоритму.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что геометрические теоремы помогают решать практические задачи на расстояния и длины, а не являются набором формальных правил.
- Проявляют ответственное отношение к совместной работе и принимают необходимость аккуратного чертежа как условия надёжного результата.
- Снижают эмоциональное напряжение перед экзаменационными задачами благодаря использованию пошагового алгоритма.
- Оценивают собственный прогресс и выбирают посильный, но развивающий уровень задания.
Метапредметные
- Выделяют данные и неизвестные величины на чертеже, преобразуют текст задачи в математическую модель.
- Планируют решение, контролируют правильность записи произведений и выполняют коррекцию найденной ошибки.
- Формулируют выводы, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор равенства.
- Используют смысловое чтение условия, таблицу данных и цифровое изображение чертежа для решения задачи.
Предметные
- Знать формулировку теоремы об отрезках пересекающихся хорд.
- Уметь распознавать пересекающиеся внутри окружности хорды и обозначать четыре получившихся отрезка.
- Уметь применять равенство $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ для нахождения неизвестного отрезка.
- Уметь обосновывать теорему через подобие треугольников и проверять ответ подстановкой.
- Владеть алгоритмом решения задач базового, повышенного и творческого уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют смыслообразование через понимание связи теоремы с практическими измерениями.
- Формируют готовность преодолевать затруднение при переходе от чертежа к формуле.
- Осознают личную ответственность за вклад в парную работу и достоверность общего ответа.
- Соотносят учебную задачу с подготовкой к ОГЭ и будущим профессиональным выбором.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, формулируют ожидаемый результат.
- Планируют решение по алгоритму: определить точку пересечения, записать произведения, составить уравнение, проверить ответ.
- Осуществляют самопроверку по эталону и исправляют ошибки в обозначениях или вычислениях.
- Оценивают результат с помощью листа самооценки и сигнала «Светофор».
Познавательные УУД
- Сравнивают пары треугольников, образованных хордами, и устанавливают признаки их подобия.
- Моделируют геометрическую ситуацию буквенной формулой.
- Анализируют, почему произведения отрезков оказываются равными.
- Работают с таблицей данных и находят ошибочную модель решения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, вычислитель и затем меняются ролями.
- Объясняют партнёру, почему множители в произведениях выбираются именно так.
- Задают вопросы по условию и корректно возражают при обнаружении ошибки.
- Представляют общий ответ кратко, используя математические термины и доказательство.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный чертёж окружности с двумя пересекающимися хордами $AB$ и $CD$, пересекающимися в точке $P$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые — по одной на каждого ученика, повышенные — по одной на пару, творческие — по одной на группу из четырёх человек.
- Распечатать лист самооценки и карточки «Светофор» — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить маршрутные листы игры «Геометрический детектив» с четырьмя полями: чертёж, формула, вычисления, проверка.
- Вывесить на доску памятку: «1. Найди точку пересечения. 2. Запиши произведения отрезков. 3. Составь уравнение. 4. Реши. 5. Проверь смысл ответа».
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, линейки, карандаши и черновые листы.
- Подготовить слайд с практическим контекстом: пересечение диагоналей круглой детали и измерение её элементов.
- Заранее разместить на доске формулировку проблемного вопроса: «Почему произведения отрезков двух хорд оказываются равными?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую задачу и создать положительную мотивацию к открытию теоремы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране круглый элемент конструкции с двумя пересекающимися внутри него отрезками: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать как геометрические детективы. Представьте, что нужно восстановить длину детали, которую нельзя измерить напрямую. Нам помогут только чертёж и несколько известных отрезков. Приготовьте линейки и тетради: сегодня будет больше практики, чем теории." | Проверяют готовность, рассматривают изображение, формулируют предположения: "Нужно использовать свойства окружности"; "Можно составить пропорцию или уравнение". |
2 мин | Учитель объявляет игровой приём «Геометрический детектив»: "За каждое правильно оформленное решение команда получает улику: название элемента чертежа, формулу, вычисление или проверку. В конце мы соберём полный алгоритм. Ошибка — не повод для штрафа, а подсказка для следующего шага." | Объединяются в пары, выбирают роли чертёжника и вычислителя, записывают название игры и дату. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую проблему — неизвестный отрезок внутри окружности. Сначала вспомним, какие знания помогут нам описать этот чертёж, а затем сами откроем новое правило."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства хорд, признаки подобия и навыки составления уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает окружность с хордами $AB$ и $CD$: "Назовите хорду. Где расположены её концы? Что образуется при пересечении хорд? Какие углы можно выделить около точки $P$?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности"; "Точка $P$ находится внутри окружности"; "Образуются вертикальные углы и четыре отрезка". Подписывают точки на чертеже. |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните треугольники $APC$ и $BPD$. Какие углы у них равны? Достаточно ли этого, чтобы доказать подобие?" | 30 секунд размышляют индивидуально, 1 минуту обсуждают в парах, затем формулируют: "$\angle APC=\angle BPD$ как вертикальные; углы при окружности могут быть равны как опирающиеся на одну дугу". |
2 мин | Учитель предлагает числовой пример: "На одном чертеже отрезки имеют длины 3 см, 8 см, 4 см и 6 см. Можно ли без нового правила понять, какая пара должна перемножаться? Запишите все разумные варианты и объясните сомнение." | Записывают варианты $3\cdot8$ и $4\cdot6$, замечают, что оба произведения равны 24, но пока не могут обосновать общий закон. Формулируют затруднение: "Нужно доказать, почему перемножаются именно отрезки одной хорды". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем видеть хорды, вертикальные углы и подобные треугольники, но пока не знаем общего правила для произведений отрезков. Значит, сейчас поставим цель и найдём доказательство."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: совместно сформулировать теорему и план её открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает класс к проблемному вопросу: "Почему произведения отрезков двух хорд оказываются равными? Сформулируйте гипотезу. Что нужно сделать, чтобы превратить наблюдение в теорему?" Учитель записывает предложения учащихся. | Формулируют гипотезы: "Нужно сравнить треугольники"; "Возможно, они подобны"; "Нужно получить пропорцию и преобразовать её в произведение". |
2 мин | Учитель направляет план: "Запишите в тетради три шага: построить или рассмотреть треугольники, доказать их подобие, получить равенство произведений. В конце проверим теорему на задачах разного уровня и создадим собственный чертёж." | Записывают цель: "Открыть и применять теорему об отрезках пересекающихся хорд" и план доказательства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не просто запомнить формулу, а понять её происхождение и научиться применять её в задаче. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания и доказательство (8 мин)
Цель этапа: вывести теорему через подобие треугольников и зафиксировать алгоритм применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает чертёж окружности с хордами $AB$ и $CD$, пересекающимися в точке $P$: "Рассмотрим треугольники $APC$ и $BPD$. Угол $APC$ равен углу $BPD$ как вертикальный. Угол $ACP$ равен углу $BDP$, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Значит, треугольники подобны по двум углам. Запишите это обоснование рядом с чертежом." | Находят пары равных углов, записывают: $\triangle APC\sim\triangle BPD$ по двум углам, проговаривают соответствие вершин. |
3 мин | Учитель выводит пропорцию: "Из подобия следует отношение соответствующих сторон: $\frac{AP}{PD}=\frac{PC}{PB}$. Перемножим крест-накрест. Что получим? Запишите полученное равенство и прочитайте его словами." | Записывают $AP\cdot PB=PC\cdot PD$, читают: "Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды". |
2 мин | Учитель выделяет рамкой формулировку: "Если две хорды окружности пересекаются внутри неё, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. При решении важно не перепутать отрезки: точка пересечения должна быть общей для обоих произведений." | Переносят формулировку в тетрадь, обводят точку пересечения и стрелками соединяют множители каждой хорды. |
Запись в тетрадях
Теорема: если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ внутри окружности, то $AP\cdot PB=CP\cdot PD$. Алгоритм: найти точку пересечения; определить два отрезка каждой хорды; записать равенство произведений; составить уравнение; решить и проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы доказали теорему не по памяти, а через подобие треугольников. Теперь проверим, умеем ли применять её к конкретному чертежу, сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Геометрический детектив» (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на задачах базового и среднего уровня в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку: "Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $AP=3$ см, $PB=8$ см, $CP=4$ см. Найдите $PD$. Сначала каждый молча обозначьте произведения, затем обсудите решение с партнёром. На маршрутном листе должны появиться чертёж, формула и уравнение." | Выполняют: $3\cdot8=4\cdot x$, составляют $x=6$ см, записывают проверку $3\cdot8=4\cdot6=24$. Одна пара объясняет решение классу. |
3 мин | Учитель предлагает задание среднего уровня: "Хорды пересекаются внутри окружности. Отрезки одной хорды равны $x$ см и $x+2$ см, отрезки другой — 3 см и 8 см. Найдите $x$, если длины положительны. Обратите внимание: получится квадратное уравнение, но можно подобрать корень проверкой." | Составляют $x(x+2)=24$, получают $x^2+2x-24=0$, раскладывают $(x-4)(x+6)=0$, выбирают $x=4$ как положительную длину. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выбрать множители; жёлтую — если нужна подсказка; красную — если пока не видите модель. Ошибка в выборе цвета не оценивается, она помогает подобрать следующую карточку." | Показывают карточку, называют затруднение: "Не перепутать пары отрезков"; при необходимости получают схему с выделенными хордами. |
Эталон решения
Для первой задачи: $AP\cdot PB=CP\cdot PD$; $3\cdot8=4\cdot PD$; $PD=24:4=6$ см. Проверка: $3\cdot8=4\cdot6=24$. Для второй задачи: $x(x+2)=3\cdot8=24$; $x^2+2x-24=0$; $(x-4)(x+6)=0$; поскольку длина положительна, $x=4$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас появились первые улики: точка пересечения, две пары отрезков, равенство произведений и проверка. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет пройти весь маршрут без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная дифференцированная работа (10 мин)
Цель этапа: индивидуально применить теорему на выбранном уровне и получить обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть три уровня. Базовый обязателен для всех, средний выбирают те, кто уверенно решил базовый, продвинутый — для тех, кто готов исследовать. Можно начать с любого уровня, но решение должно содержать формулу и проверку." | Выбирают карточку, подписывают уровень и знакомятся с критериями: формула — 1 балл, уравнение — 1 балл, вычисления — 1 балл, проверка — 1 балл. |
5 мин | Учитель контролирует работу и при необходимости задаёт направляющие вопросы: "Где находится точка пересечения? Какие два отрезка лежат на первой хорде? Какое произведение образует вторая хорда?" Карточка базового уровня: $AP=5$ см, $PB=6$ см, $CP=3$ см; найти $PD$. Карточка среднего уровня: $AP=x$, $PB=x+1$, $CP=4$ см, $PD=5$ см; найти положительное $x$. | Базовый уровень: составляют $5\cdot6=3x$, получают $x=10$ см. Средний уровень: $x(x+1)=20$, получают $x^2+x-20=0$, выбирают $x=4$ см. |
4 мин | Учитель предлагает продвинутым учащимся творческую задачу: "Создайте собственный чертёж двух пересекающихся хорд с целыми длинами отрезков, чтобы неизвестный отрезок был равен 7 см. Запишите четыре числа, равенство произведений и короткую задачу для одноклассника. Проверьте, что все длины положительны." Остальным предлагает взаимопроверку по эталону на экране. | Продвинутые ученики, например, выбирают $AP=7$, $PB=6$, $CP=3$, $PD=14$ и проверяют $7\cdot6=3\cdot14$. Формулируют задачу. Остальные сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки и исправляют их. |
Эталон решения
Базовый уровень: $AP\cdot PB=CP\cdot PD$; $5\cdot6=3\cdot PD$; $PD=10$ см; проверка: $30=30$. Средний уровень: $x(x+1)=4\cdot5=20$; $x^2+x-20=0$; $(x-4)(x+5)=0$; положительная длина $x=4$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы прошли маршрут на разных уровнях, но алгоритм у всех один и тот же. Сейчас свяжем теорему с практической областью и обсудим, где ещё нужна точная работа с длинами и чертежами."
Этап 7. Межпредметная связь и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: показать практическое применение теоремы и осмыслить собственный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему круглой металлической детали с двумя пересекающимися внутри неё направляющими: "В технологии, инженерной графике и физике часто приходится восстанавливать размеры детали по частичным измерениям. Пусть два измеренных отрезка одной направляющей равны 6 см и 8 см, а один отрезок второй — 4 см. Как найти второй без прямого измерения? Составьте модель и объясните, почему она работает." | Составляют $6\cdot8=4x$, находят $x=12$ см, объясняют: "Направляющие являются хордами круглой детали, а их точка пересечения находится внутри окружности". |
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Закончите три фразы: ‘Я понял, что…’; ‘При решении я должен проверить…’; ‘Мне нужна тренировка…’. Затем ответьте на вопрос: что было сложнее — увидеть хорды, составить произведение или решить уравнение?" | Заполняют лист, отмечают уровень освоения, формулируют ответы: "Я понял, что произведения равны"; "Нужно проверить положительность длины"; "Мне нужно потренироваться в чтении чертежа". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли теорему, доказали её через подобие и применили к задачам и практической модели. Важно не угадывать формулу, а видеть две хорды и общую точку пересечения."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены базовая и выбранная дополнительная задачи либо выполнена творческая задача; корректно записана теорема, составлены уравнения, приведены вычисления и проверка.
- «4» — верно решена базовая задача и частично выполнено задание среднего или продвинутого уровня; допущена не более одной вычислительной ошибки, логика применения теоремы сохранена.
- «3» — верно определена ситуация пересечения хорд и записано равенство произведений, но допущены ошибки в составлении или решении уравнения; требуется коррекция по алгоритму.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем исправляет выбор отрезков и повторяет решение по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о произведениях отрезков пересекающихся хорд? | Проверка осознания формулировки теоремы и её математического смысла. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным: чтение чертежа, запись произведения или решение уравнения? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли, что найденная длина подходит? | Формирование навыка самоконтроля и проверки равенства произведений. |
Какой уровень задания вы выбрали и что поможет перейти на следующий? | Осознание индивидуального прогресса и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами открыли теорему об отрезках пересекающихся хорд, доказали её через подобие треугольников и применили в задачах разной сложности. Типичная ошибка — перемножить отрезки, которые не лежат на одной хорде, поэтому всегда начинайте с точки пересечения и подписанного чертежа. Если результат вызывает сомнение, выполните проверку произведений и оцените, может ли длина быть отрицательной. На следующем уроке мы продолжим применять свойства окружности и потренируемся распознавать более сложные конфигурации в формате ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение неизвестного отрезка пересекающихся хорд по данным трём длинам. В каждой задаче выполнить чертёж, записать теорему, уравнение и проверку. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор пар отрезков и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых неизвестные отрезки обозначены выражениями вида $x$, $x+2$, $2x-1$, включая одну задачу с квадратным уравнением. | Развивает перевод геометрической модели в алгебраическое уравнение; проверить положительность найденных длин. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать собственную задачу о круглой детали или элементе конструкции: выполнить чертёж двух пересекающихся хорд, подобрать четыре длины, сформулировать вопрос и привести полное решение с доказательством применимости теоремы. | Формирует творческое моделирование и межпредметную связь; проверить непротиворечивость данных и корректность обратной проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «При каком расположении хорд применяется теорема?», «Какие отрезки входят в первое произведение?», «Как записывается равенство для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $P$?», «Зачем нужна проверка найденной длины?»
