Формула Герона. Площадь треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей

Формула Герона. Площадь треугольника через радиусы окружностей

Цели и задачи

• Цель по SMART: к концу урока научиться находить площадь треугольника по трём сторонам с помощью формулы Герона, а также применять формулы $S=pr$ и $S=\frac{abc}{4R}$ в заданиях экзаменационного типа, выполняя не менее 3 из 4 заданий без существенных ошибок.
• Сформировать представление о полупериметре треугольника и формуле Герона как способе вычисления площади по трём сторонам.
• Научиться выбирать подходящую формулу площади треугольника в зависимости от условия задачи и выполнять вычисления с корнями.
• Развивать умение анализировать условие, планировать решение, проверять результат и объяснять выбор формулы.
• Формировать уверенность при решении геометрических задач ОГЭ и понимание практической ценности изучаемых формул.

Планируемые результаты

Личностные

• Осознают значение геометрических методов для решения практических и экзаменационных задач.
• Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе и проверке вычислений.
• Снижают тревожность перед ОГЭ через освоение понятного алгоритма решения.
• Развивают готовность доводить решение до результата даже при наличии иррациональных выражений.

Метапредметные

• Анализируют условие задачи и выделяют известные величины: стороны, полупериметр, радиус.
• Планируют последовательность решения и выбирают формулу на основании данных условия.
• Используют математическую запись, таблицу величин и пошаговую проверку результата.
• Сотрудничают в парах, аргументируют выбор способа решения и корректно оценивают работу.

Предметные

• Знать формулу Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p=\frac{a+b+c}{2}$.
• Знать формулы площади треугольника через радиусы окружностей: $S=pr$ и $S=\frac{abc}{4R}$.
• Уметь находить полупериметр и площадь треугольника по трём сторонам.
• Уметь применять формулы $S=pr$ и $S=\frac{abc}{4R}$ в задачах экзаменационного типа.
• Уметь проверять правдоподобие ответа по единицам измерения и оценке величины площади.

Универсальные учебные действия (УУД)

Личностные УУД

• Определяют личный уровень готовности к решению задач на площадь треугольника.
• Осознают необходимость аккуратной записи формул и промежуточных вычислений.
• Формируют позитивное отношение к преодолению затруднений в математике.

Регулятивные УУД

• Формулируют цель урока и составляют алгоритм решения задачи по условию.
• Контролируют вычисление полупериметра, подстановку в формулу и преобразование корней.
• Сопоставляют полученный ответ с эталоном, находят и исправляют ошибки.
• Оценивают степень освоения материала по результатам самостоятельной работы.

Познавательные УУД

• Сравнивают несколько формул площади треугольника и классифицируют их по известным данным.
• Моделируют решение задачи в виде последовательности формул.
• Преобразуют выражения с квадратными корнями и выделяют полный квадрат.
• Извлекают информацию из условия задачи и применяют её в новом контексте.

Коммуникативные УУД

• Формулируют объяснение выбора формулы и задают уточняющие вопросы.
• Работают в парах, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
• Аргументированно сравнивают решения и корректно указывают на ошибку.
• Представляют краткое решение с использованием математической терминологии.

Подготовка учителя к уроку

• Подготовить презентацию или запись на доске с тремя формулами площади треугольника: $S=\frac12 ah$, $S=pr$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, а также с формулой $S=\frac{abc}{4R}$.
• Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, 3 варианта с задачами на формулу Герона и радиусы окружностей.
• Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы: по одному на каждого ученика, два задания базового уровня и одно повышенного.
• Подготовить лист самопроверки с эталонными ответами и алгоритмом: стороны → полупериметр → подстановка → преобразование → ответ.
• Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и «Билет на выход».
• Вывести на доску проблемный вопрос: «Как найти площадь треугольника, если известны только три его стороны?»
• Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, линейку и калькулятор для демонстрации проверки вычислений.
• Разместить на доске памятку: «Единицы площади — квадратные; полупериметр не равен периметру; сначала вычисли $p$».

Ход урока

Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)