Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить координаты вектора по координатам его начала и конца, раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам и применять алгоритм при решении практических и экзаменационных задач.
- Закрепить формулу координат вектора и алгоритм разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, выполнять вычисления и проверять результат.
- Формировать навыки парного сотрудничества, аргументированного ответа и самоконтроля при работе с координатами.
- Показать практическую ценность векторного метода для решения геометрических задач и подготовки к ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение координатного метода для решения геометрических задач и подготовки к ОГЭ.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и записи решения.
- Оценивают собственную готовность применять формулы в новой ситуации.
- Снижают тревожность перед экзаменационными заданиями через пошаговую проверку решения.
Метапредметные
- Формулируют цель работы и планируют последовательность действий по алгоритму.
- Извлекают информацию из чертежа, условия задачи, таблицы и цифровой модели.
- Сравнивают решения, находят вычислительные ошибки и аргументируют выбор способа.
- Используют интерактивную координатную плоскость для проверки результата.
- Работают в паре, распределяют действия и представляют общий вывод.
Предметные
- Знать формулу координат вектора $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.
- Уметь находить координаты вектора по координатам его начала и конца.
- Уметь выражать вектор через два заданных неколлинеарных вектора.
- Уметь составлять и решать систему уравнений для нахождения коэффициентов разложения.
- Уметь проверять полученное разложение сложением координат векторов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы и выбирают посильный уровень задания.
- Понимают, что аккуратная запись формул помогает контролировать решение.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки и исправлении решения.
Регулятивные УУД
- Ставят цель: найти координаты или коэффициенты разложения.
- Планируют решение по шагам: записать формулу, подставить данные, вычислить, проверить.
- Осуществляют самопроверку по эталону и цифровой модели.
- Корректируют решение после обсуждения с партнёром.
Познавательные УУД
- Выделяют координаты начала и конца вектора.
- Моделируют вектор на координатной плоскости.
- Преобразуют векторное равенство в систему уравнений.
- Устанавливают связь между геометрическим представлением и координатной записью.
- Анализируют типичные ошибки: перестановку координат и неверные знаки.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг решения.
- Задают уточняющие вопросы по условию и записи формулы.
- Сравнивают решения без критики личности и формулируют корректное замечание.
- Представляют классу общий ответ пары.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с координатной плоскостью, двумя точками, формулами и заданиями трёх уровней сложности.
- Открыть на компьютере интерактивную координатную плоскость для построения точек и векторов.
- Распечатать карточки для пар: по одной карточке базового и одной повышенной сложности на каждую пару.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы: по одному на каждого ученика, два варианта.
- Подготовить карточку с алгоритмом: «1. Найди начало и конец. 2. Вычти координаты начала из координат конца. 3. Запиши разложение. 4. Проверь».
- Вывести на доску формулы $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ и $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$.
- Подготовить маркеры, линейки, тетради, стикеры зелёного и жёлтого цвета.
- Организовать проектор, ноутбук и доступ к интерактивной модели координатной плоскости.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Как описать вектор только числами?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую ценность координатного описания вектора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карточки для работы в паре. Сегодня мы будем не столько слушать теорию, сколько строить, вычислять и проверять решения. В конце урока каждый сможет оценить, готов ли он к подобному заданию в формате ОГЭ." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает на экране координатную плоскость с точками $A(2;1)$ и $B(6;4)$ и спрашивает: "Как описать направленный отрезок $AB$ двумя числами, не измеряя его линейкой? Что изменится, если передвинуть обе точки на одинаковый вектор? Подумайте 30 секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь выводом." Учитель называет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Определяют приращение по координатам, обсуждают в паре и формулируют: «Нужно узнать, на сколько изменились абсцисса и ордината: на 4 и на 3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что вектор можно описать изменением двух координат. Теперь выясним, как записывать эти изменения точно и как выражать один вектор через два других."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатах точек, равенстве и сложении векторов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три вопроса: "Как называются координаты точки на плоскости? Как найти координаты суммы двух векторов? Что означает равенство двух векторов? Запишите короткие ответы, затем сравните их с ответами партнёра." | Записывают ответы: «Абсцисса и ордината»; «Координаты складываются»; «Совпадают длина и направление, а в координатах — соответствующие координаты». |
4 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Найдите координаты вектора $\overrightarrow{CD}$, если $C(-3;2)$ и $D(1;-4)$. Не называйте только ответ — объясните порядок действий. Какая ошибка наиболее вероятна?" | Выполняют вычисление: $\overrightarrow{CD}=(1-(-3);-4-2)=(4;-6)$. Объясняют, что сначала берут координаты конца, затем вычитают координаты начала. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что координаты вектора получают вычитанием координат начала из координат конца. Теперь проверим, достаточно ли этого правила для решения новой задачи о разложении вектора."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $\vec{a}=(1;2)$, $\vec{b}=(2;-1)$, $\vec{c}=(7;1)$ и спрашивает: "Предположим, что $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$. Как найти числа $m$ и $n$? Попробуйте составить равенство координат. Где возникает затруднение?" | Предполагают: «Нужно найти два неизвестных коэффициента»; составляют $m(1;2)+n(2;-1)=(7;1)$. |
2 мин | Учитель уточняет: "Координаты равных векторов равны. Значит, одно векторное равенство превращается в систему. Сформулируйте цель урока своими словами." | Формулируют цель: «Научиться находить координаты вектора и раскладывать его по двум неколлинеарным векторам через систему уравнений». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: нужно перейти от векторной записи к двум числовым уравнениям. Сейчас мы построим этот алгоритм и сразу применим его к заданиям."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу координат вектора и алгоритм разложения по двум неколлинеарным векторам через практическое исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на интерактивной координатной плоскости точки $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$, перемещает точку $B$ и говорит: "Следите только за изменениями координат. Чтобы попасть из $A$ в $B$, по оси $Ox$ нужно изменить координату на $x_2-x_1$, а по оси $Oy$ — на $y_2-y_1$. Поэтому запишем формулу: $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1)$." | Наблюдают за изменением координат, записывают формулу и объясняют её на примере $A(2;1)$, $B(6;4)$: $(4;3)$. |
3 мин | Учитель возвращается к векторам $\vec{a}=(1;2)$, $\vec{b}=(2;-1)$ и $\vec{c}=(7;1)$: "Запишем $m\vec{a}+n\vec{b}=\vec{c}$. После умножения получаем $(m+2n;2m-n)=(7;1)$. Приравняйте координаты и решите систему." | В парах составляют систему $\begin{cases}m+2n=7\\2m-n=1\end{cases}$, получают $m=\frac{9}{5}$, $n=\frac{13}{5}$. |
3 мин | Учитель показывает проверку на интерактивной модели: "Подставим коэффициенты обратно: $\frac95(1;2)+\frac{13}5(2;-1)$. Сложим координаты. Если получили $(7;1)$, разложение верно. Обратите внимание: неколлинеарность векторов позволяет однозначно определить коэффициенты." | Проверяют: $\left(\frac95+\frac{26}5;\frac{18}5-\frac{13}5\right)=(7;1)$. Формулируют вывод: «Коэффициенты находятся из системы, а результат проверяется обратной подстановкой». |
Запись в тетрадях
Записать: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$. Если $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$, то после приравнивания соответствующих координат получают систему на $m$ и $n$. Алгоритм: раскрыть координаты; составить систему; решить её; выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть два рабочих инструмента: формула координат вектора и алгоритм разложения. Переходим к заданиям, где сначала решим вместе, а затем вы будете выбирать уровень самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы на заданиях базового и повышенного уровня с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданиями: «1) Найдите координаты $\overrightarrow{MN}$, если $M(-2;5)$, $N(4;-1)$. 2) Разложите $\vec{p}=(5;4)$ по векторам $\vec{a}=(1;1)$ и $\vec{b}=(2;-1)$.» Инструкция: "Один ученик выполняет первый пункт, второй — второй, затем обменяйтесь тетрадями и проверьте ход решения по алгоритму." | Распределяют задания, записывают решения, через 2 минуты меняются тетрадями. |
3 мин | Учитель задаёт направляющие вопросы: "В первом задании из каких координат вычитаете? Во втором — какие два уравнения получаются? Не забывайте проверять найденные коэффициенты." | Находят $\overrightarrow{MN}=(6;-6)$. Для второго задания составляют $m+2n=5$, $m-n=4$, получают $m=\frac{13}{3}$, $n=\frac13$, проверяют разложение. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Поставьте рядом с решением знак плюс, если формула и проверка выполнены верно, или запишите одно конкретное пожелание. Обсудите расхождения спокойно и исправьте ошибку другим цветом." | Проверяют решения партнёра, называют ошибки: «Перепутаны начало и конец» или «Не выполнена проверка». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже применили оба алгоритма и увидели, что основная трудность — не в сложных вычислениях, а в точной записи координат и знаков. Теперь каждый выполнит самостоятельную работу с выбором уровня."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение материала и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На листе три уровня. Обязательное задание выполняют все. Затем выберите базовый или повышенный уровень. Работайте самостоятельно, но пользуйтесь алгоритмом на доске. Время — семь минут." | Выбирают уровень, записывают номер варианта и начинают работу. |
6 мин | Учитель выдаёт задания. Обязательное: «Найдите координаты $\overrightarrow{AB}$, если $A(3;-2)$, $B(-1;5)$». Базовое: «Разложите $\vec{q}=(1;7)$ по векторам $\vec{u}=(1;2)$ и $\vec{v}=(2;-1)$». Повышенное: «Дано $\vec{s}=(8;-1)$ и $\vec{a}=(2;1)$, $\vec{b}=(1;-2)$. Найдите $m,n$, если $\vec{s}=m\vec{a}+n\vec{b}$, и объясните единственность разложения». | Решают индивидуально. Для обязательного задания получают $(-4;7)$. В базовом составляют $m+2n=1$, $2m-n=7$ и находят $m=3$, $n=-1$. Повышенное задание решают через систему и записывают объяснение. |
2 мин | Учитель выводит эталон на экран: "Сначала сравните только формулу, затем вычисления, затем проверку. Исправление ошибки обозначьте стрелкой, а рядом кратко напишите её причину." | Сверяют решение с эталоном, исправляют ошибки, отмечают уровень самостоятельности стикером: зелёный — «могу сам», жёлтый — «нужен ещё один пример». |
Эталон решения
Для $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB}=(-1-3;5-(-2))=(-4;7)$. Для разложения $\vec{q}=m\vec{u}+n\vec{v}$: $(1;7)=m(1;2)+n(2;-1)=(m+2n;2m-n)$. Поэтому $\begin{cases}m+2n=1\\2m-n=7\end{cases}$. Из первого $m=1-2n$. Подстановка во второе: $2-4n-n=7$, $-5n=5$, $n=-1$, $m=3$. Проверка: $3(1;2)-(2;-1)=(3;6)+(-2;1)=(1;7)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете переходить от точек к координатам вектора и от векторного равенства к системе. Осталось связать новый материал с уже изученными действиями над векторами и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, выявить затруднения и зафиксировать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает составить на доске мини-кластер: "В центре запишите «Координаты вектора». Какие две ветви добавим? Какие действия выполняем в каждой?" | Называют ветви «по двум точкам» и «разложение по двум векторам», дополняют: «вычесть», «составить систему», «проверить». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти координаты вектора; жёлтую — если нужен пример; красную — если затрудняетесь составить систему. Назовите одну причину выбора." | Поднимают карточки, называют причину: «Путаю порядок вычитания», «Не забываю приравнивать координаты», «Нужно потренироваться решать систему». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "За одну минуту ответьте: 1) Как найти $\overrightarrow{AB}$? 2) Что сделать после записи $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$? 3) Как проверить ответ?" | Пишут три кратких ответа и сдают билет при выходе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились описывать вектор числами и выражать его через два направления. Эти действия являются частью общего координатного метода, который помогает уверенно решать экзаменационные задачи."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены координаты вектора, составлена и решена система для разложения, выполнена проверка; решение записано последовательно.
- «4» — все основные действия выполнены верно, но допущена одна вычислительная неточность или отсутствует подробная проверка.
- «3» — правильно применена формула координат в одном задании и начато составление системы, но допущены ошибки в решении или знаках.
- Ниже уровня «3» — не определён порядок вычисления координат или не установлена связь между векторным равенством и системой уравнений.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о координатах вектора? | Проверить осознание формулы и её смысла. |
На каком шаге разложения по двум векторам возникло затруднение? | Выявить точку затруднения в алгоритме. |
Как вы проверяли правильность найденных коэффициентов? | Проверить сформированность навыка самоконтроля. |
Какой уровень задания готовы выполнить самостоятельно на следующем уроке? | Определить субъективную оценку освоения темы и потребность в дифференциации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить координаты вектора по его началу и концу и раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам. Самая частая ошибка — вычесть координаты конца из координат начала или потерять знак при составлении системы. Поэтому всегда записывайте формулу, решайте систему по координатам и выполняйте обратную проверку. На следующем уроке мы продолжим применять координатный метод к геометрическим задачам и потренируем задания экзаменационного формата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на нахождение координат вектора по координатам начала и конца, включая случаи с отрицательными координатами. | Закрепить формулу и порядок вычитания; при проверке обратить внимание на знаки и запись координат парами. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задачи на разложение заданного вектора по двум неколлинеарным векторам с целыми коэффициентами и обязательной проверкой. | Отработать переход от векторного равенства к системе двух уравнений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 собственные задачи: задать два неколлинеарных вектора и коэффициенты, получить результирующий вектор, а затем восстановить коэффициенты разложения. | Развить умение конструировать математическую модель и проверять обратимость решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как вычисляются координаты $\overrightarrow{AB}$? Почему при разложении появляются два уравнения? Как проверить найденные коэффициенты? Что означает неколлинеарность двух векторов?»
