Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют правило разложения вектора по двум неколлинеарным векторам и решат не менее четырёх практических заданий на представление вектора в виде суммы двух коллинеарных данным векторов.
- Сформировать понимание того, что любые два неколлинеарных вектора на плоскости задают направление, а произвольный вектор можно представить через них.
- Научить выполнять разложение вектора по двум неколлинеарным векторам графическим способом и записывать результат в виде равенства.
- Развивать умение анализировать рисунок, выбирать коэффициенты разложения и проверять полученный результат.
- Показать связь темы с заданиями ОГЭ и сформировать уверенность в пошаговом решении векторных задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность векторного метода для решения геометрических задач и подготовки к ОГЭ.
- Проявляют готовность проверять результат и спокойно исправлять ошибку, воспринимая затруднение как часть учебной работы.
- Формируют ответственное отношение к точности чертежа, записи коэффициентов и математической аргументации.
- Развивают познавательный интерес к способам описания направления и движения на плоскости.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа и текста задания, переводят геометрическую ситуацию в векторную запись.
- Планируют последовательность построения и проверяют соответствие полученного разложения исходному вектору.
- Сотрудничают в парах, формулируют и аргументируют вывод о единственности разложения.
- Используют самопроверку по эталону и корректируют решение после обнаружения ошибки.
Предметные
- Знать понятия коллинеарных и неколлинеарных векторов, коэффициента и разложения вектора.
- Понимать, что для любых неколлинеарных векторов $\vec a$ и $\vec b$ и любого вектора $\vec c$ существуют числа $x$ и $y$, такие что $\vec c=x\vec a+y\vec b$.
- Уметь выполнять графическое разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
- Уметь читать и составлять запись разложения, определять коэффициенты по чертежу.
- Уметь применять правило при решении типовых задач, близких к заданиям ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения темы через её применение к заданиям ОГЭ.
- Осознают необходимость аккуратной записи и проверки результата.
- Оценивают собственную готовность применять векторный способ решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют построение разложения по заданным векторам.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по алгоритму.
- Сравнивают своё решение с эталоном и вносят исправления.
Познавательные УУД
- Различают коллинеарные и неколлинеарные векторы по рисунку.
- Моделируют векторную сумму параллелограммами и последовательным откладыванием векторов.
- Анализируют направление и длину составляющих векторов.
- Обобщают результаты нескольких построений в правило разложения.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают построение в паре и договариваются о единой записи.
- Задают уточняющие вопросы о направлении и коэффициентах.
- Аргументируют, почему выбранные векторы являются неколлинеарными.
- Корректно сообщают партнёру об ошибке и предлагают способ проверки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображение с двумя неколлинеарными векторами $\vec a$ и $\vec b$, исходным вектором $\vec c$ и несколькими вариантами построений.
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые задания на чтение коэффициентов, стандартные задания на построение и повышенное задание в формате ОГЭ.
- Распечатать карточки по одной на каждого ученика и дополнительные экземпляры для работы в парах; подготовить листы самопроверки по одному на пару.
- Подготовить линейки, карандаши, ластики и цветные маркеры или карандаши двух цветов для каждой пары.
- Вывести на доску краткую памятку: «коллинеарные направления», «параллельный перенос», «сумма векторов», «коэффициент».
- Подготовить фрагмент учебника с определением и рисунком по теме; номера страниц и упражнений учитель выбирает по используемому изданию.
- Заранее записать на доске обозначения $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ и заготовку равенства $\vec c=x\vec a+y\vec b$.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для практических заданий и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски; при отсутствии оборудования подготовить крупный чертёж на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую работу и показать применимость темы к экзаменационным задачам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетрадь, линейка, карандаш и внимательный взгляд на чертёж. Проверьте, всё ли лежит на парте. Работать будем в основном руками: строить, переносить и проверять векторы, а теорию сформулируем после практики." | Проверяют оборудование, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске рисунок с двумя направлениями и спрашивает: "Представьте, что первый вектор задаёт движение вправо, а второй — движение вверх. Можно ли описать любое перемещение по плоскости комбинацией этих двух движений? Где подобная идея может встретиться на экзамене? Сегодня мы проверим это не на словах, а построением." | Рассматривают рисунок, предполагают: "Можно двигаться сначала в одном направлении, потом в другом"; называют геометрические задачи и ОГЭ как возможную область применения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что два направления могут служить своеобразной системой координат для перемещения. Теперь вспомним, какие свойства векторов позволят нам выполнить такое построение."
Этап 2. Актуализация знаний и практическая разминка (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия вектора, коллинеарности, равенства и суммы векторов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три пары стрелок: "Определите, какие пары векторов коллинеарны. Напомните, что должно совпадать у равных векторов. Не называйте только длину: направление также имеет значение." | Поднимают карточки с ответами, объясняют: "Коллинеарные векторы лежат на параллельных или одной прямой"; "Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление". |
2 мин | Учитель записывает на доске $\vec a+\vec b$ и строит первый вектор: "Как получить сумму двух векторов геометрически? Назовите два равноправных способа. Сейчас один из способов применим к короткому чертежу." | В парах называют правило треугольника и правило параллелограмма, достраивают параллелограмм по двум векторам. |
2 мин | Учитель раздаёт мини-карточку: "За две минуты выполните два пункта: 1) отметьте, какие векторы коллинеарны; 2) изобразите сумму векторов по правилу треугольника. Обсудите ответ с соседом, но каждый чертит в своей тетради." | Выполняют два пункта, сравнивают чертежи, формулируют: "Второй вектор откладывается от конца первого, сумма соединяет начало первого с концом второго". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем переносить вектор параллельно самому себе и строить сумму. Но пока неясно, как из двух заданных направлений получить произвольный вектор и как записать это символически. Зафиксируем затруднение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость нового способа записи и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует рисунок: "Перед вами неколлинеарные векторы $\vec a$ и $\vec b$ и вектор $\vec c$. Попробуйте построить $\vec c$ как сумму части, направленной вдоль $\vec a$, и части, направленной вдоль $\vec b$. Можно ли просто написать $\vec c=\vec a+\vec b$? Почему это не всегда верно?" | Рассматривают рисунок, отвечают: "Не всегда, потому что длины могут быть другими"; предлагают использовать несколько одинаковых отрезков или часть вектора. |
2 мин | Учитель записывает незаполненную модель: $\vec c=x\vec a+y\vec b$ и обращается к классу: "Какие числа здесь нужно научиться находить? Что должно быть известно, чтобы проверить ответ? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют: "Нужно находить коэффициенты $x$ и $y$"; "Нужно проверить, что сумма составляющих даёт исходный вектор"; записывают цель: "Научиться раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно заменить один вектор двумя составляющими и записать коэффициенты. Сейчас обратимся к материалу учебника, а затем сразу проверим правило на собственных чертежах."
Этап 4. Открытие нового знания по учебнику (8 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести и зафиксировать правило разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает работу с учебником: "Откройте раздел, в котором вводится разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Прочитайте определение и рассмотрите рисунок. При чтении поставьте знак плюс рядом с новым, вопрос рядом с непонятным и галочку рядом с уже знакомым. Особое внимание обратите на роль коэффициентов." | Читают определение и рассматривают рисунок, делают пометки, выделяют слова «не斜еллиарные», «коэффициенты», «сумма». |
3 мин | Учитель организует беседу: "Сравним текст и рисунок. Как построена первая составляющая? Как построена вторая? Что означает положительный коэффициент, а что может означать отрицательный? Почему исходный вектор получается именно суммой?" Учитель на доске цветом показывает $x\vec a$ и $y\vec b$. | Отвечают: "Составляющие направлены вдоль данных векторов"; "Коэффициент показывает, во сколько раз изменяется длина, а знак — направление"; объясняют соединение составляющих правилом треугольника. |
2 мин | Учитель формулирует вывод: "Запишите определение и алгоритм. Любой вектор $\vec c$ можно представить в виде $\vec c=x\vec a+y\vec b$, если $\vec a$ и $\vec b$ неколлинеарны. Разложение состоит из нахождения двух коэффициентов и проверки построением." | Записывают определение и алгоритм: выбрать направления; построить составляющие; определить коэффициенты; записать сумму; проверить направлением и длиной. |
Запись в тетрадях
Разложением вектора $\vec c$ по двум неколлинеарным векторам $\vec a$ и $\vec b$ называется представление вида $\vec c=x\vec a+y\vec b$, где $x$ и $y$ — числа. Алгоритм: 1) определить составляющую вдоль $\vec a$; 2) определить составляющую вдоль $\vec b$; 3) записать коэффициенты; 4) проверить сумму $x\vec a+y\vec b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не только рисунок, но и математическая модель. Проверим её на простом чертеже: сначала вместе, затем вы выполните похожее задание самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление: построение в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм разложения через последовательное построение и проговаривание действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку с заданием: "На рисунке даны неколлинеарные векторы $\vec a$ и $\vec b$. Вектор $\vec c$ направлен так, что его можно получить, отложив два раза вектор $\vec a$ и один раз вектор $\vec b$. Постройте $\vec c$ и запишите разложение. Работайте в паре: один ученик строит составляющую по $\vec a$, второй — по $\vec b$, затем вместе проверяете сумму." | Строят $2\vec a$ и $\vec b$, соединяют начало первой составляющей с концом второй, записывают $\vec c=2\vec a+\vec b$, проговаривают порядок построения. |
3 мин | Учитель предлагает второе задание: "Теперь изменим направление первой составляющей: отложите $-\vec a$ и два раза $\vec b$. Как записать результат? Проверьте, что стрелка $-\vec a$ направлена противоположно $\vec a$." Учитель наблюдает за парами и задаёт вопросы: "Где начало суммы? Как вы убедились, что коэффициент отрицательный?" | Строят $-\vec a$ и $2\vec b$, записывают $\vec c=-\vec a+2\vec b$, объясняют: "Минус означает противоположное направление". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три пункта: не перепутаны ли направления, верно ли указаны коэффициенты, совпадает ли итоговый вектор с заданным. Запишите партнёрам одну сильную сторону и один совет." | Проверяют работы по трём критериям, пишут «две звезды и пожелание», исправляют неточности. |
Эталон решения
Для первого задания: отложить от общей точки два последовательных вектора $\vec a$, затем от конца второго отложить $\vec b$. Вектор, соединяющий начало первого и конец последнего, равен $2\vec a+\vec b$. Поэтому $\vec c=2\vec a+\vec b$. Для второго задания: построить вектор, противоположный $\vec a$, затем два последовательных вектора $\vec b$. Получаем $\vec c=-\vec a+2\vec b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что коэффициент можно читать прямо по чертежу, а знак показывает направление. Теперь каждый проверит, умеет ли выполнять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой: формат ОГЭ (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом на заданиях трёх уровней сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: "Обязательный минимум выполняют все. Если справились уверенно, переходите к повышенному заданию. Ошибка сейчас — не повод для тревоги: она показывает, какой шаг алгоритма нужно проверить. Перед началом подчеркните в условии направление каждого вектора." | Выбирают карточку, читают условие, отмечают исходные и противоположные направления. |
5 мин | Учитель предлагает задания. Базовый уровень: по рисунку определить коэффициенты в записи $\vec c=x\vec a+y\vec b$. Средний уровень: построить вектор $\vec c=3\vec a-2\vec b$. Повышенный уровень: если $\vec p=2\vec a+\vec b$ и $\vec q=-\vec a+3\vec b$, выразить $\vec p+\vec q$ через $\vec a$ и $\vec b$. Учитель напоминает: "Сначала работайте самостоятельно и записывайте промежуточные действия." | Решают индивидуально. Для повышенного задания преобразуют: $\vec p+\vec q=(2\vec a+\vec b)+(-\vec a+3\vec b)=\vec a+4\vec b$. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске: "Проверьте решение по шагам: коэффициенты при одинаковых векторах объединяются, знак сохраняется. Отметьте зелёным верное, жёлтым — требующее исправления, красным — непонятное. Исправьте одну ошибку письменно." | Сверяют решение, исправляют запись, поднимают карточку светофора, фиксируют вопрос при затруднении. |
Эталон решения
Для задания на преобразование: $\vec p+\vec q=(2\vec a+\vec b)+(-\vec a+3\vec b)$. Группируем слагаемые по направлениям: $2\vec a-\vec a+\vec b+3\vec b$. Получаем $(2-1)\vec a+(1+3)\vec b=\vec a+4\vec b$. Типичная ошибка — потеря знака перед $\vec a$ или сложение коэффициентов при разных векторах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность обычно связана не с самим правилом, а со знаком коэффициента и внимательным чтением чертежа. В конце проверим, какие шаги стали понятными каждому и что нужно повторить."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и задать дифференцированную практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает заполнить билет на выход: "Закончите три фразы: «Разложить вектор — значит…»; «Знак минус перед коэффициентом означает…»; «Чтобы проверить разложение, нужно…». Пишите коротко, но математически точно." | Пишут: "представить его суммой двух составляющих"; "противоположное направление"; "построить сумму и сравнить её с исходным вектором". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Можно ли описать перемещение по плоскости двумя неколлинеарными направлениями? Как записывается общее правило? Поднимите зелёную карточку, если можете решить базовое задание без помощи, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется повторное объяснение." | Отвечают: "Да, вектор представляется как $x\vec a+y\vec b$"; показывают карточки самооценки. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Важно не количество рисунков, а правильность направления, коэффициентов и проверки. На следующем уроке начнём с разбора типичных ошибок." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билеты на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились представлять вектор через два неколлинеарных направления и переводить рисунок в формулу. Это один из способов сделать сложную геометрическую ситуацию управляемой: выделить составляющие, записать коэффициенты и проверить сумму. Сохраните алгоритм — на следующем уроке применим его к задачам с координатами и геометрическими фигурами."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены базовое и среднее задания, в повышенном задании получено корректное разложение; направления, коэффициенты и знак записаны без ошибок, присутствует проверка.
- «4» — верно выполнены базовое и среднее задания, допущена одна неточность в построении или записи коэффициента, исправленная при самопроверке.
- «3» — правильно определена хотя бы одна составляющая и записана часть разложения, но допущены ошибки в знаке, направлении или объединении коэффициентов, требующие помощи учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $\vec c=x\vec a+y\vec b$? | Проверить понимание смысла разложения, а не только запоминание формулы. |
Как определить знак коэффициента по чертежу? | Выявить понимание связи между знаком и направлением вектора. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение? | Определить конкретную точку затруднения для последующей коррекции. |
Какое задание, похожее на сегодняшнее, вы теперь сможете решить самостоятельно? | Оценить перенос знания в практическую и экзаменационную ситуацию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам и увидели, что коэффициенты описывают длину и направление составляющих. Самая частая ошибка — потерять знак минус или сложить коэффициенты при разных направлениях, поэтому всегда проверяйте рисунок и группируйте одинаковые векторы. Вы уже умеете решать базовые задачи этого типа и можете постепенно переходить к более сложным. На следующем уроке применим разложение к преобразованию сумм векторов и задачам с координатами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по готовым рисункам: для каждого определить коэффициенты и записать разложение вектора по двум неколлинеарным векторам; в двух заданиях один коэффициент должен быть отрицательным. | Закрепляет чтение направления и коэффициентов по чертежу; при проверке смотреть на знак, порядок векторов и соответствие записи рисунку. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на построение: изобразить векторы $2\vec a+\vec b$, $-\vec a+3\vec b$ и $2\vec a-2\vec b$, используя правило треугольника или параллелограмма, и подписать итоговые векторы. | Формирует практический навык построения суммы и разности; при проверке смотреть на последовательность откладывания и направление противоположного вектора. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задания на преобразование выражений: даны два вектора через $\vec a$ и $\vec b$, требуется найти их сумму или разность и представить результат в виде $x\vec a+y\vec b$; одно задание оформить с подробным объяснением группировки. | Развивает анализ выражений и подготовку к нестандартным заданиям; при проверке обращать внимание на раскрытие скобок, сохранение знаков и объединение коэффициентов при одинаковых векторах. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие векторы называют неколлинеарными?», «Что показывает коэффициент при векторе?», «Как записать разложение произвольного вектора по двум неколлинеарным векторам?», «Что означает отрицательный коэффициент?», «Как проверить правильность построенного разложения?»
