Декартовы координаты точек на плоскости. Метод координат при решении геометрических и практических задач
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить координаты точек на координатной плоскости, строить точки по заданным координатам и применять формулу расстояния между точками при решении геометрической и практической задачи.
- Научиться определять абсциссу и ординату точки, правильно записывать координаты с учётом знаков и четверти координатной плоскости.
- Освоить алгоритм применения метода координат: выбрать систему координат, обозначить точки, записать их координаты, перевести геометрическое условие на язык формул и проверить результат.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать рациональный способ решения, аргументировать ход рассуждений и выполнять самопроверку.
- Формировать уверенность при решении заданий, близких к заданиям ОГЭ, и понимание практической ценности координатного метода.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение координат как универсального языка описания положения объектов в математике, географии, информатике и инженерных профессиях.
- Проявляют ответственное отношение к записи решения и проверке знаков координат.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ через освоение понятного пошагового алгоритма.
- Развивают мотивацию к самостоятельному поиску рационального способа решения геометрической задачи.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия задачи, рисунка координатной плоскости и таблицы координат.
- Планируют последовательность решения и контролируют соответствие результата условию.
- Сравнивают геометрическое и координатное описание ситуации, формулируют выводы.
- Работают в паре, аргументируют выбор формулы и корректно обсуждают возможную ошибку.
- Применяют математические модели в практической задаче о расстоянии между объектами на плане.
Предметные
- Знать определения абсциссы и ординаты точки, правила записи координат точки и расположение четвертей координатной плоскости.
- Уметь строить точку по заданным координатам и определять координаты точки по рисунку.
- Уметь находить расстояние между точками по формуле $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
- Уметь применять метод координат для проверки принадлежности точки фигуре и решения практической задачи.
- Уметь оформлять решение с пояснением выбранных обозначений и единиц измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за точность вычислений и математическую запись.
- Соотносят изучаемый материал с подготовкой к ОГЭ и будущим профессиональным обучением.
- Формируют смыслообразование через понимание практического применения координат.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель урока на основе возникшего затруднения.
- Планируют решение задачи по алгоритму метода координат.
- Проверяют знаки координат, вычисления и соответствие ответа условию.
- Исправляют ошибки после сверки с эталоном и оценивают степень освоения материала.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки координатной плоскости и координат точки.
- Устанавливают связь между разностью координат и длиной горизонтального или вертикального отрезка.
- Моделируют геометрическую ситуацию на координатной плоскости.
- Применяют формулу расстояния и преобразуют геометрическую задачу в вычислительную.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы по условию и уточняют обозначения в паре.
- Объясняют партнёру порядок построения точки и выбора формулы.
- Аргументированно представляют решение у доски.
- Сверяют решения по критериям и корректно предлагают исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить координатную плоскость на доске или интерактивном экране с отмеченными осями, началом координат, единичными отрезками и номерами четвертей.
- Подготовить презентацию или один экран с изображениями точек $A(3;2)$, $B(-2;4)$, $C(-3;-1)$, $D(4;-2)$ для актуализации.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые задания на чтение координат, задания на расстояние между точками и практическую задачу; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить по одному листу с алгоритмом метода координат на парту.
- Заранее записать на доске формулу расстояния между точками и оставить место для общего алгоритма.
- Подготовить листы для взаимопроверки и мини-билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Подготовить линейки, карандаши, тетради, ручки и цветные маркеры для выделения абсциссы и ординаты.
- Определить в учебнике фрагмент, где вводятся координаты точек и метод координат; учащиеся работают с ним без указания номеров страниц.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность координат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и учебник должны лежать перед вами. Сегодня мы будем решать задачи способом, который встречается в заданиях ОГЭ и используется при создании карт, компьютерных игр и планов помещений." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят координатную плоскость в тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране план небольшого парка с двумя объектами и говорит: "Представьте, что диспетчеру нужно определить расстояние между входом и пунктом помощи. Как можно точно описать положение каждого объекта? Достаточно ли слов «слева» и «выше»?" Учитель принимает версии и фиксирует ключевое слово «координаты». | Предполагают: "Нужно выбрать начало отсчёта и направления"; "Нужно указать расстояние по горизонтали и вертикали". Формулируют связь координат с планом местности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что координаты позволяют однозначно описать положение объекта. Теперь вспомним, как устроена координатная плоскость и какие числа нужно записывать первыми."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатных осях, четвертях и порядке записи координат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную плоскость и задаёт вопросы: "Как называются горизонтальная и вертикальная оси? Где находится начало координат? Какие координаты имеет начало? Напомните порядок записи координат точки." | Отвечают: "Горизонтальная ось — ось абсцисс, вертикальная — ось ординат, начало — точка O(0;0)"; "Сначала записывают абсциссу, затем ординату: A(x;y)". |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно определяете четверть точки, жёлтую — если иногда путаете знаки. На экране точки A(3;2), B(-2;4), C(-3;-1), D(4;-2). Назовите четверть каждой точки и объясните знаки координат." | Поднимают карточки, затем определяют: A — первая четверть, B — вторая, C — третья, D — четвёртая. Объясняют: "В первой четверти обе координаты положительны". |
1 мин | Учитель предлагает короткую проверку: "Какая точка лежит на оси ординат: M(0;5) или N(5;0)? Какая — на оси абсцисс?" | Записывают ответы: M лежит на оси ординат, N — на оси абсцисс, потому что одна из координат равна нулю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили названия осей, порядок записи и правила знаков. Если координаты заданы, точку построить можно, но сегодня нам предстоит научиться использовать их не только для рисунка, а для решения геометрической задачи."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске задачу: "На координатной плоскости даны точки A(1;2) и B(5;5). Найдите длину отрезка AB." Учитель спрашивает: "Можно ли решить задачу только подсчётом клеток? Что изменится, если точки будут не на одной горизонтали или вертикали?" | Пробуют определить горизонтальную и вертикальную разности: "По горизонтали 4, по вертикали 3". Предполагают применение теоремы Пифагора, но замечают, что нужен общий алгоритм. |
2 мин | Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд сформулируйте затруднение самостоятельно, затем обсудите его с соседом. После этого одна-две пары предложат цель урока." | Формулируют: "Нужно научиться находить расстояние между произвольными точками по их координатам"; "Нужно переводить геометрическую задачу в вычисления". Записывают цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наше затруднение связано не с построением точек, а с переходом от координат к длине отрезка. Откроем учебник на материале этой темы и проверим, как координатный метод помогает выполнить такой переход."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу расстояния между двумя точками и зафиксировать алгоритм метода координат на основе материала учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит открыть учебник на теме урока и обращается к классу: "Найдите фрагмент, где объясняется расстояние между двумя точками. Изучите рисунок и текст в течение минуты. Обратите внимание, как образуется прямоугольный треугольник с вершинами в данных точках." Затем задаёт вопросы: "Чему равен горизонтальный катет? Чему равен вертикальный катет?" | Читают фрагмент учебника, рассматривают рисунок, формулируют: "Горизонтальный катет равен модулю разности абсцисс, вертикальный — модулю разности ординат". |
3 мин | Учитель строит на доске точки A(x_1;y_1) и B(x_2;y_2), проводит вспомогательные горизонтальный и вертикальный отрезки и говорит: "По теореме Пифагора квадрат расстояния равен сумме квадратов катетов. Поэтому получаем формулу $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Почему знаки разностей не опасны?" | Записывают формулу, отвечают: "Разности возводятся в квадрат, поэтому знак не влияет на результат". Отмечают соответствие первой координаты горизонтальному направлению, второй — вертикальному. |
3 мин | Учитель предлагает применить формулу к точкам A(1;2) и B(5;5): "Сначала выпишите координаты, затем найдите разности, подставьте их в формулу и только после этого вычислите корень. Не пропускайте шаги — так легче проверить решение на ОГЭ." | Записывают: $AB=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Делают вывод: "Расстояние между точками равно 5 единицам". |
Запись в тетрадях
- Координаты точки записывают в порядке «абсцисса; ордината»: $A(x;y)$.
- Алгоритм метода координат: выбрать систему координат; обозначить точки; записать координаты; перевести условие в формулу; вычислить и проверить результат.
- Формула расстояния между точками: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Эталон решения: $A(1;2)$, $B(5;5)$. Разности координат: $5-1=4$, $5-2=3$. Тогда $AB=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Ответ: $5$ единиц.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили общий инструмент: расстояние между точками можно найти без измерения рисунка. Теперь применим формулу сначала вместе, а затем проверим, насколько уверенно каждый из вас использует алгоритм."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение координат и применение формулы расстояния с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Даны точки P(-1;2), Q(3;2), R(3;-1). Постройте их в тетради. Найдите длины PQ и QR. Какая фигура может получиться, если соединить точки P, Q и R?" Учитель напоминает: "Сначала определите, какие координаты совпадают." | Строят точки, замечают, что у P и Q одинаковые ординаты, у Q и R одинаковые абсциссы. Вычисляют: $PQ=4$, $QR=3$. Предполагают: "При добавлении точки S(-1;-1) получится прямоугольник". |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить решение: "Почему для этих отрезков не обязательно использовать полную формулу расстояния? Как можно проверить результат?" | Объясняют: "Если точки имеют одинаковую ординату, длина горизонтального отрезка равна модулю разности абсцисс"; проверяют по клеткам и формуле. |
2 мин | Учитель предлагает задание формата ОГЭ: "Точка A имеет координаты (-2;4), точка B — (1;8). Найдите квадрат расстояния AB." Учитель подчёркивает: "Найдите именно квадрат расстояния, поэтому извлекать корень не нужно." | Записывают $AB^2=(1-(-2))^2+(8-4)^2=3^2+4^2=25$. Отвечают: "25". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В типовых заданиях важно внимательно читать, что требуется найти: расстояние или квадрат расстояния. Сейчас каждый выполнит аналогичное задание самостоятельно и проверит себя по эталону."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и применить координатный метод в практической ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выполните обязательное задание, затем выберите одно из двух дополнительных. Работайте самостоятельно, решение оформляйте по шагам. Базовое задание: определите координаты точек по рисунку и укажите четверть каждой точки. Повышенное: найдите расстояние между M(-3;1) и N(1;4)." | Индивидуально определяют координаты и четверти, решают задачу: $MN=\sqrt{(1+3)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5$. |
3 мин | Учитель предлагает практическую задачу: "На плане кабинета начало координат находится у двери. Координаты стола учителя A(2;1), а шкафа B(8;5), единица соответствует одному метру. Найдите расстояние между столом и шкафом. Округлите до десятых, если это необходимо." | Записывают модель, вычисляют $AB=\sqrt{(8-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx7,2$ м. Формулируют ответ с единицей измерения. |
3 мин | Учитель выводит эталон и организует самопроверку: "Сверьте не только ответ, но и три позиции: правильно ли переписаны координаты, верно ли расставлены скобки и указаны ли единицы измерения. Поставьте рядом с каждым заданием знак «+», «? » или «−»." | Сверяют решения, отмечают ошибки, исправляют их другим цветом, записывают вопрос, который остался непонятным. |
Эталон решения
Для $M(-3;1)$ и $N(1;4)$: $MN=\sqrt{(1-(-3))^2+(4-1)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$. Для практической задачи: $AB=\sqrt{(8-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx7,2$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что основная трудность обычно возникает при раскрытии скобок с отрицательными координатами или при чтении условия. Осталось обобщить алгоритм и убедиться, что каждый может объяснить его своими словами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить способ решения, выявить затруднения и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "За одну минуту запишите продолжение трёх фраз: «Координаты точки записывают…», «Расстояние между точками нахожу…», «Сегодня мне нужно ещё потренироваться…»." | Записывают три завершённые фразы, выделяют один уверенно освоенный шаг и один требующий тренировки. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что показывает первая координата? Почему в формуле расстояния разности возводятся в квадрат? Какой первый шаг метода координат? Что обязательно указать в практическом ответе?" | Отвечают: "Первая координата — абсцисса"; "квадрат устраняет влияние знака"; "нужно выбрать систему координат и обозначить точки"; "числовой результат и единицы измерения". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень с учётом сегодняшней самопроверки. В каждом решении записывайте координаты, формулу, вычисления и ответ. Ошибка — это сигнал для повторной проверки, а не повод отказываться от задачи." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют непонятные требования. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть за геометрическим рисунком систему чисел и превращать координаты в длину отрезка. Этот алгоритм поможет и в практических задачах, и в заданиях ОГЭ. На следующем уроке мы продолжим использовать координаты для исследования геометрических фигур."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно определены координаты и четверти, без ошибок применена формула расстояния, решены практическая задача и дополнительное задание, ответ записан с единицами измерения и приведено пояснение.
- «4» — выполнены все обязательные задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, которая не нарушает общий алгоритм решения.
- «3» — правильно выполнено базовое задание и начато решение задачи на расстояние, но допущены ошибки в знаках, подстановке или оформлении ответа.
- Ниже отметки «3» — алгоритм не освоен: неверно определены координаты или отсутствует связь между координатами и формулой расстояния; требуется индивидуальная коррекция.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о координатах точек и расстоянии между ними? | Выявление осознания предметного результата урока. |
Какой шаг алгоритма метода координат выполняется первым? | Проверка понимания последовательности действий. |
Где возникло затруднение: в чтении координат, знаках, формуле или вычислениях? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Сможете ли вы объяснить практический смысл координат человеку, который не изучал эту тему? | Оценка функциональной грамотности и глубины понимания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что координаты — это не просто две числа в скобках, а способ описать положение объекта и решить геометрическую задачу вычислением. Главные ошибки возникают при нарушении порядка координат и при невнимательной работе со знаками. Используйте алгоритм по шагам и обязательно проверяйте, что именно требуется найти: расстояние или его квадрат. На следующем уроке мы применим координатный метод к исследованию геометрических фигур и их свойств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на построение точек по координатам и определение координат точек по координатной плоскости; указать четверть или принадлежность оси. | Закрепляет чтение координат и правила знаков; при проверке обратить внимание на порядок «абсцисса — ордината». |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение расстояния между двумя точками, включая точки с отрицательными координатами, и одну задачу на нахождение квадрата расстояния. | Закрепляет подстановку в формулу и работу со скобками; проверить наличие всех промежуточных вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о расстоянии между двумя объектами на плане координатной сетки; выбрать начало координат, задать координаты объектов, вычислить расстояние и объяснить смысл результата. | Развивает применение метода координат и математическое моделирование; проверить обоснованность системы координат, единицы измерения и реалистичность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется первая координата точки?», «Как записать расстояние между точками с координатами $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$?», «Что нужно сделать, если в условии требуется квадрат расстояния?», «Какие единицы измерения у ответа практической задачи?»
