Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся объяснят, как преобразование подобия сохраняет форму фигур и изменяет их размеры, выведут и применят метрические соотношения в окружности при решении не менее двух задач формата ОГЭ.
- Сформировать представление о преобразовании подобия как композиции гомотетии и движения, а также о коэффициенте подобия.
- Вывести соотношения для пересекающихся хорд и для произведений отрезков двух секущих, опираясь на подобие треугольников.
- Развивать умение строить рассуждение по чертежу, выделять подобные треугольники и проверять решение по критериям ОГЭ.
- Воспитывать математическую аккуратность, ответственность за результат и уверенность при работе с геометрическими задачами экзаменационного типа.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают практическую ценность геометрического моделирования для инженерии, архитектуры и технических профессий.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через анализ чертежа и последовательное применение теорем.
- Снижают тревожность перед ОГЭ благодаря пониманию алгоритма решения задач с окружностью.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают нормы математической дискуссии.
Метапредметные
- Извлекают информацию из чертежа, интерактивной модели и условия задачи, преобразуют её в математическую запись.
- Планируют решение по алгоритму: определить конфигурацию, найти подобные треугольники, записать пропорцию или произведение отрезков, вычислить неизвестное.
- Аргументируют выбор признака подобия и проверяют правдоподобие полученного ответа.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли и используют цифровую модель для проверки гипотезы.
Предметные
- Знать, что преобразование подобия сохраняет величины углов и изменяет длины в одно и то же число раз.
- Уметь находить коэффициент подобия и применять его к длинам соответствующих отрезков.
- Знать метрическое соотношение для пересекающихся хорд: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.
- Уметь применять соотношение для двух секущих из одной точки: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$, где первые множители — внешние отрезки, а вторые — полные секущие.
- Уметь оформлять решение задачи с окружностью с пояснением подобия треугольников и выполнять самопроверку.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения метрических соотношений как инструмента решения практических и экзаменационных задач.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску доказательства.
- Соотносят результат урока с личной целью подготовки к ОГЭ.
- Проявляют настойчивость при исправлении ошибки в чертеже или вычислениях.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют действия при решении задачи на окружность.
- Контролируют соответствие записанной пропорции геометрической конфигурации.
- Оценивают результат по критериям и корректируют ошибочный шаг.
- Фиксируют индивидуальное затруднение в листе самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют на чертеже соответствующие углы и стороны.
- Устанавливают связь между преобразованием подобия и подобием треугольников.
- Моделируют геометрическую ситуацию в динамической цифровой среде.
- Сравнивают конфигурации пересекающихся хорд и секущих.
- Выводят формулу из пропорции, а не используют её механически.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник и докладчик, затем меняются ролями.
- Формулируют вопрос к партнёру о выборе подобия.
- Аргументированно защищают запись пропорции.
- Сверяют решения без подмены рассуждения готовым ответом.
- Корректно принимают замечания и уточняют математические формулировки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображением преобразования подобия, окружности с пересекающимися хордами и двух секущих из внешней точки.
- Создать динамическую модель окружности с подвижной точкой пересечения хорд в геометрической программе; заранее проверить её работу.
- Распечатать по одному листу самооценки и одной карточке на каждого ученика: базовый, повышенный и дополнительный уровни.
- Распечатать по одной парной карточке на каждую парту с двумя чертежами и вопросами о подобных треугольниках.
- Подготовить на доске или отдельном слайде алгоритм: «чертёж — конфигурация — подобные треугольники — пропорция — вычисление — проверка».
- Подготовить цветные маркеры, линейки, карандаши, стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета.
- Организовать проектор, ноутбук, интерактивную доску и доступ к заранее открытой динамической модели.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной работы и карточки с заданиями для физкультминутки.
- Вывести на экран таблицу соответствий: хорды — произведение отрезков; секущие — произведение внешнего и полного отрезка.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и связать тему с практикой и подготовкой к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, линейка, ручка и карточка самооценки должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а выяснять, почему они работают. Это особенно важно для задач ОГЭ, где правильный чертёж часто уже подсказывает половину решения." | Проверяют рабочее место, записывают дату, готовят инструменты. |
2 мин | Учитель показывает на экране изображение двух одинаковых по форме окружностных конфигураций разного масштаба и спрашивает: "Почему архитектор может увеличить чертёж здания, не меняя его форму? Что сохраняется при таком изменении? А где в окружности можно встретить подобные треугольники?" | Формулируют предположения: "Сохраняются углы и пропорции сторон"; "Подобные треугольники возникают при пересечении хорд или секущих". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что изменение масштаба не разрушает форму. Теперь вспомним признаки подобия и найдём место, где без них нельзя вывести новое соотношение."
Этап 2. Актуализация знаний в парах (5 мин)
Цель этапа: восстановить признаки подобия и понятие коэффициента подобия, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парные карточки и говорит: "Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый самостоятельно отметьте на двух чертежах пары равных углов. Затем обсудите с соседом, по какому признаку треугольники подобны. На работу — две минуты." | Индивидуально отмечают углы дугами, затем в парах называют признак подобия и записывают его. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что означает коэффициент подобия? Как связаны соответствующие стороны? Если коэффициент равен $3$, во сколько раз изменится длина стороны?" | Отвечают: "Коэффициент показывает отношение соответствующих сторон"; "Длины увеличатся в три раза"; записывают $\frac{AB}{A_1B_1}=k$. |
1 мин | Учитель просит две пары озвучить ответы и фиксирует на доске признаки подобия и свойство соответствующих сторон. | Сравнивают ответы, исправляют неточности, формулируют вывод о сохранении углов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что подобие связывает равные углы и пропорциональные стороны. Теперь проверим, можно ли обнаружить такую связь внутри одной окружности."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать учебную задачу.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран чертёж: хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, известны $PA=3$, $PB=8$, $PC=4$. Учитель спрашивает: "Не измеряя неизвестный отрезок $PD$ линейкой, можно ли его найти? Какие данные на чертеже могут связать эти отрезки?" | Рассматривают чертёж, предлагают: "Нужно использовать подобие треугольников"; составляют предположение $3\cdot8=4\cdot PD$. |
2 мин | Учитель уточняет: "Мы пока назвали соотношение, но не доказали его. Какую цель поставим? Сначала найдём подобные треугольники, затем выведем правило и применим его к задаче экзаменационного типа." | Формулируют цель: "Доказать метрическое соотношение и научиться распознавать, когда его применять"; записывают план. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит не в вычислении, а в правильном распознавании конфигурации и обосновании формулы. Переходим к открытию соотношения через подобие."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести соотношения для пересекающихся хорд и двух секущих через подобие треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает динамическую модель двух пересекающихся хорд и говорит: "Посмотрите на треугольники $APC$ и $DPB$. Угол при точке $P$ вертикальный. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, треугольники подобны по двум углам. Запишем соответствие: $\triangle APC\sim\triangle DPB$. Из подобия получаем $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$. Преобразуйте равенство." | Наблюдают изменение точки $P$, называют вертикальные и вписанные углы, записывают подобие и преобразуют пропорцию в $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. |
3 мин | Учитель обращается к классу: "Теперь рассмотрим две секущие из внешней точки $P$. Пусть первая пересекает окружность в $A$ и $B$, вторая — в $C$ и $D$. Какие треугольники можно рассмотреть? Какую длину нужно брать в произведении: только внешнюю или всю секущую?" Учитель показывает на экране обозначение внешнего и полного отрезков. | Обсуждают в парах, отвечают: "В произведении участвуют внешний отрезок и вся секущая"; записывают $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. |
2 мин | Учитель фиксирует «Шпаргалку-напоминание»: "Пересекающиеся хорды внутри окружности: внутренний отрезок умножаем на второй внутренний. Две секущие из внешней точки: внешний отрезок умножаем на всю секущую. Не смешивайте эти конфигурации." | Переносят схему в тетрадь, выделяют цветом внешние и полные отрезки, задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
Преобразование подобия сохраняет углы, а все длины изменяются в одно и то же число раз. Для пересекающихся хорд: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. Для двух секущих из точки $P$: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$, где $PA$ и $PC$ — внешние отрезки, а $PB$ и $PD$ — полные секущие.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два внешне похожих по записи, но разных по чертежу соотношения. Сейчас проверим их на конкретной задаче и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление и физкультминутка (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор метрического соотношения и поддержать работоспособность класса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает задачу: "Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $PA=6$, $PB=4$, $PC=3$. Найдите $PD$. Сначала подпишите на чертеже данные, затем назовите конфигурацию, запишите соотношение и только после этого выполните вычисление." Учитель просит одну пару объяснить решение. | Подписывают данные, отвечают: "Это пересекающиеся хорды"; записывают $6\cdot4=3\cdot PD$, находят $PD=8$, объясняют ход решения. |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте. Если я называю хорды, руки скрестили перед собой; если секущие — вытянули руки вперёд. При словах «подобие» потянулись вверх, при словах «пропорция» сделали наклон вправо и влево." | Выполняют движения по сигналу, проговаривают: "хорды — произведение отрезков", "секущие — внешний на полный". |
1 мин | Учитель показывает два мини-чертежа и спрашивает: "На каком рисунке нельзя сразу применять правило двух секущих? Почему?" | Выбирают рисунок с пересекающимися хордами и объясняют различие конфигураций. |
Эталон решения
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются внутри окружности, поэтому $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. Подставляем данные: $6\cdot4=3\cdot PD$. Получаем $24=3PD$, откуда $PD=8$. Ответ: $8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились отличать конфигурации и не подменять внешний отрезок полной секущей. Теперь каждый проверит, может ли самостоятельно пройти весь алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение новых соотношений и организовать дифференциацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Затем можно выбрать повышенный или дополнительный. Перед началом прочитайте критерии: важны не только ответ, но и указание конфигурации и формулы." | Выбирают уровень, записывают номер карточки и план решения. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовое: "Из точки $P$ проведены две секущие. Внешний отрезок первой равен $3$, полный — $12$, внешний отрезок второй равен $4$. Найдите полный отрезок второй." Повышенное: "Хорды пересекаются: $PA=2$, $PB=15$, $PC=5$. Найдите $PD$ и объясните, почему применимо соотношение хорд." | Индивидуально выполняют выбранное задание. В базовом получают $3\cdot12=4\cdot PD$, $PD=9$. В повышенном получают $2\cdot15=5\cdot PD$, $PD=6$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране и говорит: "Сверьте решение по трём пунктам: правильно ли определена конфигурация, записано ли соотношение, выполнены ли вычисления. Ошибку не стирайте: подчеркните её и рядом запишите исправленный шаг." | Проверяют работу по эталону, отмечают причину ошибки, ставят зелёный, жёлтый или красный знак самооценки. |
Эталон решения
Для двух секущих: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. Подстановка: $3\cdot12=4\cdot PD$. Тогда $36=4PD$, $PD=9$. Для пересекающихся хорд: $2\cdot15=5\cdot PD$, поэтому $30=5PD$, $PD=6$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула становится надёжным инструментом только вместе с анализом чертежа. Осталось связать новое правило с преобразованием подобия и проверить, что каждый понимает смысл результата."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: показать связь геометрического подобия с масштабированием в картографии, проектировании и цифровой графике, а также осознать результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает фрагмент технического чертежа и говорит: "В инженерной графике объект часто представляют в масштабе. Если все длины умножены на один коэффициент, форма сохраняется. В геодезии и картографии по подобным моделям находят недоступные расстояния. Как метрические соотношения помогают восстановить длину без прямого измерения?" | Формулируют связь: "По известным отрезкам можно вычислить недоступный, если конфигурация сохраняет соотношение"; приводят примеры карты, чертежа, компьютерной графики. |
3 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите три коротких ответа: 1) Что сохраняет преобразование подобия? 2) Какое соотношение применяют для пересекающихся хорд? 3) Как отличить внешнюю секущую от полной? Затем отметьте в листе самооценки: «могу объяснить», «могу решить с подсказкой», «нужна помощь»." | Заполняют билет на выход и лист самооценки. Формулируют ответы: "углы и форму"; "$PA\cdot PB=PC\cdot PD$"; "внешний отрезок начинается от точки вне окружности, полный заканчивается на дальней точке окружности". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы прошли путь от преобразования подобия к конкретному метрическому правилу и применили его в задачах. Дома закрепим алгоритм, чтобы на следующем уроке быстрее решать более сложные конфигурации."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все предложенные задания, правильно определены конфигурации, записаны соотношения, приведены вычисления и краткое обоснование через подобие.
- «4» — решены оба обязательных задания, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на выбор соотношения.
- «3» — правильно определена хотя бы одна конфигурация и получен верный ответ в обязательной задаче при наличии основной записи формулы.
- Ниже базового уровня — ученик верно воспроизводит формулу с помощью схемы, но нуждается в повторной отработке выбора между хордами и секущими.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи преобразования подобия и окружности? | Выявление осознания теоретической основы метрических соотношений. |
Как по чертежу отличить пересекающиеся хорды от двух секущих? | Проверка смыслового распознавания конфигурации. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: чертёж, формула или вычисление. |
Какое задание формата ОГЭ вы теперь сможете решить увереннее? | Фиксация субъективной оценки готовности и снижение тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что метрическое соотношение в окружности не является формулой, которую нужно запоминать без объяснения: оно возникает из подобия треугольников. Самая частая ошибка — перепутать внешний отрезок секущей с полной секущей, поэтому всегда начинайте с анализа чертежа. Вы уже умеете выстроить решение по шагам и проверить его по эталону. На следующем уроке мы продолжим решать задачи с окружностью и будем выбирать наиболее короткое доказательство."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на метрическое соотношение для пересекающихся хорд и двух секущих: по две задачи каждого типа, с обязательным чертежом и записью формулы. | Закрепляет распознавание конфигурации и вычисление неизвестного отрезка; проверять наличие чертежа и правильный выбор множителей. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи экзаменационного типа, в которых сначала требуется выразить неизвестный отрезок из произведения, а затем выполнить проверку результата; одну задачу оформить с пояснением подобия треугольников. | Развивает перенос алгоритма на изменённые условия; проверять обоснование и единообразие обозначений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу с двумя секущими или пересекающимися хордами, подобрать целые длины, решить её и кратко объяснить, почему полученная конфигурация связана с подобием. | Формирует умение создавать математическую модель и контролировать взаимосвязь данных; проверять корректность условия, чертежа и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой отрезок умножается на полный отрезок секущей?», «Почему в доказательстве появляются подобные треугольники?», «Какую первую запись вы сделаете, увидев задачу с пересекающимися хордами?»
