Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать преобразование подобия и применять три метрические теоремы окружности — о произведении отрезков пересекающихся хорд, о произведении отрезков секущих и о квадрате касательной — при решении не менее трёх геометрических задач.
- Сформировать представление о преобразовании подобия как преобразовании, сохраняющем форму фигур и изменяющем их размеры с постоянным коэффициентом.
- Научиться устанавливать соответствие элементов подобных фигур и использовать равенство отношений соответствующих отрезков.
- Отработать выбор нужной метрической теоремы по рисунку и составление уравнения для нахождения неизвестного отрезка.
- Развивать уверенность при решении задач, связанных с типичными моделями ОГЭ, и умение проверять правдоподобие полученного ответа.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность геометрических моделей и связь точного рассуждения с успешным решением экзаменационных задач.
- Проявлять ответственное отношение к самостоятельной работе и самопроверке.
- Снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через освоение понятного алгоритма выбора теоремы.
- Формировать готовность аргументированно объяснять ход решения, а не только записывать ответ.
Метапредметные
- Выделять существенные данные на чертеже, переводить геометрическую ситуацию в математическую модель.
- Сравнивать несколько способов решения и выбирать наиболее рациональный.
- Планировать последовательность построения уравнения, вычисления и проверки ответа.
- Работать с визуальной и текстовой информацией, формулировать выводы и аргументировать их в паре.
- Использовать цифровой чертёж или изображение на экране для анализа взаимного положения фигур и отрезков.
Предметные
- Знать определение преобразования подобия и коэффициента подобия.
- Знать, что соответствующие углы подобных фигур равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
- Формулировать теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд, о произведении отрезков секущих и о квадрате касательной.
- Уметь распознавать на чертеже хорды, секущие и касательную.
- Уметь составлять и решать уравнения вида $ax=bc$, $ab=cd$ и $t^2=pa$ по условию геометрической задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно распознавать три модели задач с окружностью.
- Соотносят усилия и результат при выполнении самостоятельной работы.
- Осознают ценность аккуратного чертежа и доказательного рассуждения.
- Формируют позитивное отношение к исправлению ошибок как к способу обучения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока по проблемному вопросу.
- Планируют решение по алгоритму: определить модель, подписать отрезки, записать теорему, составить уравнение, проверить ответ.
- Осуществляют самоконтроль по эталону и находят место ошибки.
- Оценивают степень освоения каждой теоремы с помощью светофора и билета на выход.
- Корректируют решение после обсуждения с одноклассником.
Познавательные УУД
- Выделяют на чертеже пары пересекающихся хорд, две секущие и касательную с секущей.
- Устанавливают закономерности в произведениях отрезков и формулируют гипотезу.
- Моделируют геометрическую ситуацию с помощью буквенных обозначений и уравнений.
- Анализируют условия задач, сравнивают известные и неизвестные величины.
- Используют формулы и теоремы для решения практических и экзаменационных задач.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезы в паре по правилам приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулируют вопросы к решению одноклассника.
- Аргументируют выбор теоремы ссылкой на рисунок и условие.
- Согласовывают общее решение и корректно указывают на неточность.
- Представляют краткое доказательное объяснение у доски.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с тремя схемами: пересекающиеся хорды, две секущие из внешней точки, касательная и секущая.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся класса.
- Подготовить мини-лист «Теорема — рисунок — формула» для каждого ученика.
- Разместить на доске памятку: «1. Определи модель. 2. Подпиши отрезки. 3. Запиши теорему. 4. Составь уравнение. 5. Проверь ответ».
- Распечатать карточки светофора зелёного, жёлтого и красного цвета по одной на ученика.
- Подготовить линейки, карандаши и маркеры для групповой работы.
- Подготовить слайд с задачей в формате ОГЭ и слайд с эталоном решения, открываемый после самостоятельной работы.
- Подготовить выходной билет на каждого ученика с двумя вопросами: выбрать теорему по рисунку и записать одну формулу.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; заранее вывести изображения окружностей без подписей, чтобы ученики сами обозначили отрезки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую ценность темы для решения задач ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобятся тетради, линейки и внимательный взгляд на чертёж. Проверьте, чтобы на столе были ручка и карандаш. Мы будем не просто вспоминать теоремы, а учиться быстро узнавать модель задачи, как это требуется в экзаменационных заданиях." | Готовят тетради и инструменты, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране три рисунка без формул: пересекающиеся хорды, две секущие и касательная. "Посмотрите на рисунки. На каждом из них можно найти неизвестный отрезок, не измеряя его линейкой. Как вы думаете, что связывает эти схемы? Где такая работа может встретиться?" Учитель фиксирует ответы и отмечает связь с заданиями ОГЭ. | Рассматривают схемы, предполагают: "На рисунках есть окружность и отрезки", "Нужно использовать произведения", "Такие задачи бывают на ОГЭ". Формулируют предположение о существовании общих правил. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели три разные конфигурации, но во всех нужно установить связь между отрезками. Сейчас вспомним, какие фигуры и отношения помогают нам говорить о подобии, а затем сами выведем нужные метрические правила."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия подобия, соответствующих элементов и основных объектов окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, какие фигуры называют подобными. Сначала 30 секунд сформулируйте ответ самостоятельно, затем одну минуту обсудите его с соседом. В ответе должны прозвучать слова о соответствующих углах, сторонах и коэффициенте подобия." После обсуждения просит две пары озвучить формулировки. | Сначала записывают определение, затем обсуждают в парах и формулируют: "Подобные фигуры имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны"; "Коэффициент подобия показывает отношение соответствующих сторон". |
3 мин | Учитель показывает окружность и задаёт вопросы: "Как называется отрезок, соединяющий две точки окружности? Как называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку? А прямая, пересекающая окружность в двух точках?" Затем просит на трёх схемах подписать пары отрезков. | Называют: "Хорда", "касательная", "секущая". На схемах отмечают отрезки хорд, внешнюю и внутреннюю части секущей, отрезок касательной. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили язык сегодняшнего урока: соответствующие элементы, хорды, секущую и касательную. Теперь выясним, какие произведения отрезков сохраняются в каждой конфигурации."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу на экране: "В окружности хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно: PA = 3 см, PB = 8 см, PC = 4 см. Найдите PD." Учитель спрашивает: "Можно ли решить задачу только по свойствам равных хорд или по теореме Пифагора? Что нам пока неизвестно?" | Рассматривают чертёж, отвечают: "Нужна связь между четырьмя отрезками", "Известно произведение трёх величин, но правило не записано". |
2 мин | Учитель применяет «Снежный ком»: "Предложите гипотезу: какое равенство может связывать отрезки двух хорд? Запишите индивидуально, сравните с соседом, затем выберем формулировку класса." Учитель записывает на доске цель: вывести и применять три метрические теоремы окружности. | Предлагают гипотезу $PA\cdot PB=PC\cdot PD$, формулируют цель: "Научиться выбирать теорему и находить неизвестный отрезок в трёх типах задач". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение обнаружено: мы видим нужную связь, но должны обосновать её и научиться отличать одну модель от другой. Переходим к открытию нового знания через анализ трёх схем."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать три метрические теоремы окружности и связать их с соответствующими конфигурациями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает схему пересекающихся хорд: "Рассмотрим хорды AB и CD, пересекающиеся в точке P. Углы APD и CPB вертикальные, а вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Поэтому треугольники, образованные лучами хорд, подобны. Из подобия следует равенство отношений, а после перемножения — равенство произведений. Запишите формулу и проговорите её словами." | Записывают: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. Формулируют: "Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды". |
4 мин | Учитель показывает две секущие из внешней точки A: "Пусть из точки A проведены секущие AРB и AСD. Внешняя часть первой секущей — AP, вся секущая — AB; внешняя часть второй — AC, вся — AD. Теорема утверждает: произведение внешней части на всю секущую одинаково для обеих секущих. Запишите формулу." | Подписывают на рисунке внешние и полные отрезки, записывают $AP\cdot AB=AC\cdot AD$, проговаривают: "Внешняя часть секущей умножается на всю секущую". |
4 мин | Учитель показывает касательную AT и секущую APB из точки A: "Если из внешней точки проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую. Сравните эту формулу с предыдущей: какая величина повторяется дважды?" | Записывают $AT^2=AP\cdot AB$. Отвечают: "Длина касательной входит два раза, поэтому получается квадрат". Составляют в тетради таблицу «Схема — формула — ключевые слова». |
Запись в тетрадях
1. Пересекающиеся хорды: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. 2. Две секущие из внешней точки: $AP\cdot AB=AC\cdot AD$. 3. Касательная и секущая: $AT^2=AP\cdot AB$. Алгоритм: определить конфигурацию, обозначить отрезки, записать теорему, составить уравнение, проверить единицы и величину ответа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть не три разрозненные формулы, а три модели. Пересекаются хорды — перемножаем два отрезка каждой хорды; выходят две секущие — умножаем внешнюю часть на всю; есть касательная — возводим её в квадрат. Проверим эти правила на конкретных задачах."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: применить теоремы в задачах и связать математическую модель с измерениями и инженерными расчётами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с тремя короткими схемами и говорит: "Работаем в парах. Для каждой схемы сначала не считайте, а подпишите словами тип конфигурации и только затем выберите формулу. В первой задаче хорды пересекаются: PA = 2 см, PB = 12 см, PC = 3 см. Найдите PD. Во второй из точки A проведены секущие: AP = 4 см, AB = 16 см, AC = 8 см. Найдите AD. В третьей AT = 6 см, AP = 3 см. Найдите AB." | В парах подписывают модели, составляют уравнения $2\cdot12=3\cdot PD$, $4\cdot16=8\cdot AD$, $6^2=3\cdot AB$. Получают ответы $PD=8$ см, $AD=8$ см, $AB=12$ см. |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить выбор формулы, а другую — проверить вычисления. "Не называйте только ответ. Начните с признака на рисунке и закончите проверкой: длина всей секущей должна быть больше внешней части." | Представители пар объясняют: "В первой задаче две хорды пересекаются внутри окружности"; "Во второй из одной точки выходят две секущие"; "В третьей есть касательная, поэтому её квадрат равен произведению". Проверяют, что $16>4$ и $12>3$. |
2 мин | Учитель задаёт межпредметный вопрос: "В измерительной технике иногда недоступную длину находят по доступным отрезкам и пропорциям. Почему геометрическая формула полезнее прямого измерения? Где важны единицы длины и проверка результата?" | Формулируют: "Можно вычислить недоступный участок по измеренным данным"; "Единицы должны быть одинаковыми"; "Проверка выявляет невозможный результат". |
Эталон решения
Для первой задачи: по теореме о пересекающихся хордах $PA\cdot PB=PC\cdot PD$. Подставляем: $2\cdot12=3\cdot PD$, поэтому $24=3PD$, $PD=8$ см. Для второй: $AP\cdot AB=AC\cdot AD$, значит $4\cdot16=8\cdot AD$, $64=8AD$, $AD=8$ см. Для третьей: $AT^2=AP\cdot AB$, поэтому $6^2=3\cdot AB$, $36=3AB$, $AB=12$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что правильный выбор модели почти сразу приводит к уравнению. В следующем этапе каждый проверит, умеет ли он выполнить весь алгоритм самостоятельно, без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение теорем и сформировать навык самопроверки по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выполните обязательное задание и одно задание по выбору. В каждом решении должны быть чертёж или его обозначения, название теоремы, формула, вычисления и ответ с единицами. Если сомневаетесь, используйте памятку, но сначала определите модель самостоятельно." На карточке базового уровня: хорды пересекаются, $PA=5$, $PB=6$, $PC=3$; найти $PD$. На повышенном уровне: из точки A проведены секущие, $AP=6$, $AB=18$, $AC=9$; найти $AD$. Дополнительное: $AT=10$, $AP=5$; найти $AB$. | Индивидуально решают задания: $5\cdot6=3\cdot PD$, $PD=10$; $6\cdot18=9\cdot AD$, $AD=12$; $10^2=5\cdot AB$, $AB=20$. Записывают теорему и единицы измерения. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон и предлагает взаимопроверку: "Сверьте не только число, но и три позиции: правильно ли определена модель, записана ли формула, выполнена ли проверка. Поставьте рядом с решением знак плюс или вопрос, а соседу назовите одну сильную сторону и один совет." | Сверяют решения с эталоном, используют приём «Две звезды и пожелание», исправляют ошибки в обозначениях или вычислениях. |
1 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние: зелёный — могу выбрать теорему и решить; жёлтый — формулу знаю, но путаю отрезки; красный — нужна помощь." | Поднимают карточку светофора, фиксируют в тетради, какая модель требует повторения. |
Эталон решения
В задаче с хордами: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$, $5\cdot6=3\cdot PD$, $30=3PD$, $PD=10$. В задаче с секущими: $AP\cdot AB=AC\cdot AD$, $6\cdot18=9\cdot AD$, $108=9AD$, $AD=12$. В задаче с касательной: $AT^2=AP\cdot AB$, $10^2=5\cdot AB$, $100=5AB$, $AB=20$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формулы становятся рабочим инструментом только тогда, когда мы внимательно читаем рисунок. Осталось обобщить алгоритм, назвать типичные ошибки и проверить, какой вопрос вы уносите с собой с урока."
Этап 7. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить остаточные затруднения и дать разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса. Первое: какая формула соответствует касательной и секущей? Второе: по какому признаку отличить произведение отрезков хорд от произведения отрезков секущих? В конце допишите одно предложение: «Теперь я умею…»" | Записывают $AT^2=AP\cdot AB$, объясняют: "У хорд точка пересечения внутри окружности, у секущих общая точка находится вне окружности"; завершают предложение о своём результате. |
2 мин | Учитель подводит итог и сообщает домашнюю работу: "Сегодня вы прошли путь от рисунка к формуле и от формулы к уравнению. В домашней работе выберите уровень по своей цели: обязательный закрепляет алгоритм, повышающий добавляет анализ, дополнительный требует объяснить выбор теоремы." | Сдают выходные билеты, записывают домашнее задание и отмечают, какой уровень выбирают. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились распознавать три метрические модели окружности и применять их без прямого измерения. Проверьте себя по билету на выходе и не оставляйте неясным различие между внешней частью и всей секущей. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где эти соотношения будут сочетаться с подобием треугольников и другими свойствами окружности."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три предложенные задачи или обязательная и две выбранные задачи, правильно определены конфигурации, записаны теоремы, выполнены вычисления и указаны единицы измерения.
- «4» — верно решены две задачи из трёх, либо все ответы получены верно, но допущена одна неточность в обозначении или оформлении без ошибки в выборе теоремы.
- «3» — верно решена одна задача и правильно выбрана хотя бы одна метрическая теорема; в остальных решениях есть ошибки в составлении уравнения или вычислениях.
- Ниже «3» — модель окружности распознаётся непоследовательно, формулы выбираются без связи с рисунком, требуется индивидуальная отработка алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какую из трёх метрических теорем вы теперь узнаёте по рисунку сразу? | Выявление наиболее уверенно освоенной модели. |
Что труднее: определить тип конфигурации, записать формулу или решить уравнение? | Выявление конкретной точки затруднения в алгоритме. |
Почему в задаче с секущей нужно умножать внешнюю часть на всю секущую? | Проверка осознанности смысла теоремы, а не механического запоминания. |
Какой шаг памятки поможет вам не ошибиться в задаче ОГЭ? | Формирование стратегии самоконтроля и снижение экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за рисунком одну из трёх моделей: пересекающиеся хорды, две секущие или касательная и секущая. Самая частая ошибка — перепутать внешнюю часть секущей со всей секущей, поэтому всегда подписывайте оба отрезка до записи формулы. Вы уже умеете превращать геометрическое условие в уравнение и проверять, имеет ли ответ геометрический смысл. На следующем уроке мы усложним задачи и соединим метрические соотношения с подобием треугольников."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на пересекающиеся хорды, одну на две секущие и одну на касательную и секущую. В каждой задаче выписать теорему, формулу, вычисления и ответ с единицами. | Закрепить распознавание трёх моделей и последовательность алгоритма; при проверке смотреть на правильность выбора отрезков и формулы. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи в формате ОГЭ с буквенными или числовыми данными, включая задачу, где сначала требуется найти всю секущую как сумму внешней и внутренней частей. К каждому решению добавить краткое объяснение выбора теоремы. | Развить умение переводить текст и чертёж в уравнение; при проверке обратить внимание на различение внешней части и всей секущей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на каждую из трёх теорем, подобрать целые данные, решить её и объяснить, почему полученный ответ геометрически возможен. | Развить математическое моделирование и создание собственных условий; при проверке оценить корректность схемы, согласованность данных и доказательность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое равенство записывают для двух пересекающихся хорд?», «Что является внешней частью секущей?», «Какая величина возводится в квадрат в теореме о касательной?», «Какой первый шаг алгоритма решения задачи с окружностью?»
