Практическое применение теорем синусов и косинусов
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять теорему синусов или теорему косинусов для решения практических задач на нахождение сторон и углов треугольника, оформить решение с чертежом и проверить результат.
- Закрепить формулировки теорем синусов и косинусов и условия их выбора при решении задач.
- Научиться моделировать реальную ситуацию треугольником, выделять известные величины и составлять математическую модель.
- Развивать умение работать в паре, аргументировать выбор формулы, выполнять самопроверку и оценивать достоверность результата.
- Снизить тревожность перед ОГЭ через разбор задания экзаменационного типа и показать практическую ценность геометрических методов.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую значимость геометрии для строительства, навигации, измерений и технических профессий.
- Проявлять уверенность при решении задач экзаменационного типа и воспринимать ошибку как источник для коррекции.
- Осуществлять профессиональное самоопределение через знакомство с применением геометрических расчётов.
- Соблюдать ответственность за точность вычислений и корректность совместного результата.
Метапредметные
- Моделировать текстовую ситуацию с помощью чертежа треугольника и обозначать известные данные.
- Выбирать способ решения, сравнивать полученный результат с условием и оценивать его правдоподобие.
- Извлекать информацию из текста, схемы, таблицы и цифрового изображения.
- Планировать работу в паре, распределять роли, формулировать и защищать математическое рассуждение.
Предметные
- Знать теорему синусов $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ и теорему косинусов $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
- Уметь выбирать теорему по набору известных элементов треугольника.
- Уметь находить неизвестную сторону или угол, используя таблицу значений синуса и косинуса либо калькулятор.
- Уметь оформлять решение практической задачи с чертежом, формулой, вычислениями и ответом с единицами измерения.
- Уметь проверять ответ по смыслу и округлять результат в соответствии с условием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться решать практические задачи и увереннее выполнять задания ОГЭ.
- Осознают связь точности математического решения с безопасностью и качеством реальных измерений.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и уважение к иному способу рассуждения.
- Оценивают собственный прогресс по листу самооценки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность: чертёж — известные данные — выбор теоремы — вычисление — проверка.
- Контролируют единицы измерения, округление и соответствие ответа условию.
- Исправляют ошибки по эталону и оценивают степень освоения алгоритма.
Познавательные УУД
- Выделяют условие и требование задачи, переводят текст в геометрическую модель.
- Сравнивают признаки применения теорем синусов и косинусов.
- Выполняют вычисления, используют цифровой калькулятор и проверяют результат обратным рассуждением.
- Строят логическое доказательство выбора формулы и анализируют типичную ошибку.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: аналитик условия и вычислитель с последующей сменой ролей.
- Задают уточняющие вопросы и объясняют партнёру выбор теоремы.
- Сверяют решения по критериям и дают обратную связь по формуле «две сильные стороны и один совет».
- Представляют решение классу, корректно реагируя на замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с фотографией недоступного для прямого измерения объекта, схемой треугольника и краткой памяткой выбора теорем.
- Распечатать карточки практических задач трёх уровней: по одной на каждого ученика и по одной на каждую пару.
- Подготовить лист самооценки и мини-лист «Алгоритм решения» по одному экземпляру на ученика.
- Вывести на доску формулы теорем синусов и косинусов, обозначения сторон и углов, правила округления.
- Подготовить проектор, ноутбук, интерактивную доску и калькулятор на компьютере или телефоне с разрешённым режимом.
- Разложить цветные маркеры и стикеры: по два набора на парту.
- Подготовить карточку с заданием ОГЭ-подобного формата и эталон решения для самопроверки.
- Освободить участок класса для короткой физкультминутки, связанной с изменением положения и направления.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую ценность темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте готовность: тетрадь, ручка, линейка и калькулятор должны лежать на столе. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а решать задачу инженера: как определить расстояние до объекта, если подойти к нему нельзя». | Проверяют принадлежности, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране фотографию противоположного берега реки и схему с двумя точками наблюдения. «Можно ли измерить расстояние рулеткой? Какие данные реально получить на месте? Как здесь может помочь треугольник? В конце урока мы вернёмся к этой ситуации». | Предполагают: «Нужно построить треугольник», «можно измерить одну сторону и углы», формулируют практический интерес. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что треугольник позволяет заменить недоступное измерение расчётом. Сначала проверим, какие знания уже готовы к применению». Забегая вперёд, отмечу: подобный выбор метода помогает и в заданиях ОГЭ.
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить формулы, обозначения и базовые тригонометрические значения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Работаем приёмом “Подумай — обсуди в паре — поделись”. За 30 секунд каждый восстановите формулы теорем синусов и косинусов. Затем сравните записи с соседом. На доске пока закрыты два ключевых фрагмента». | Индивидуально записывают формулы, затем в парах сравнивают их и исправляют обозначения. |
2 мин | Учитель открывает формулы: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ и $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. «Какая теорема удобна, если известны две стороны и угол между ними? А если известна сторона и противолежащий угол?» | Отвечают: «При двух сторонах и угле между ними — теорема косинусов; при стороне и противолежащем угле — теорема синусов». |
1 мин | «Назовите значения $\sin 30^\circ$, $\cos 60^\circ$, $\sin 90^\circ$. Почему перед вычислением важно проверить, какой угол является противолежащим?» | Называют: «$\sin 30^\circ=0{,}5$, $\cos 60^\circ=0{,}5$, $\sin 90^\circ=1$»; показывают на чертеже пары «сторона — противолежащий угол». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Формулы мы восстановили, но выбор теоремы пока требует внимательности. Сейчас специально создадим ситуацию, в которой без анализа условия нельзя сразу начать вычисления».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм выбора теоремы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку: «В треугольнике известны стороны 7 см и 9 см, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите третью сторону». Затем задаёт вопрос: «Какую формулу можно применить? Почему теорема синусов здесь не является первым выбором?» | Строят схему, выделяют две стороны и угол между ними, формулируют: «Нужно применить теорему косинусов, потому что известны две стороны и угол между ними». |
2 мин | «Сформулируйте цель урока одним предложением. Какой алгоритм поможет не потеряться? Запишем его после открытия нового знания». Учитель фиксирует ответы на доске. | Формулируют цель: «Научиться выбирать теорему и решать практические задачи». Предлагают шаги алгоритма: чертёж, данные, формула, вычисления, проверка. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло не в самой формуле, а в выборе подходящего инструмента. Теперь выведем общий способ действия на двух практических ситуациях».
Этап 4. Открытие нового знания. Практическая модель (9 мин)
Цель этапа: открыть и применить алгоритм выбора теорем через решение задач в парах и использование ИКТ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Рассмотрим задачу об измерении расстояния. Наблюдатель прошёл по берегу 40 м. Угол между направлением движения и направлением на башню в первой точке равен $52^\circ$, во второй — $68^\circ$. Найдите расстояние от второй точки до башни, если угол при башне равен $60^\circ$. На экране показана схема треугольника. Какие стороны и углы известны? Какая теорема подходит?» | В парах обозначают треугольник, выделяют сторону 40 м и углы $52^\circ$, $68^\circ$, находят третий угол: $60^\circ$. Выбирают теорему синусов и объясняют: «Известна сторона и противолежащий угол». |
3 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске: «Сначала найдём угол, противолежащий известной стороне, затем составим отношение. Используйте калькулятор только после записи формулы. Округлите ответ до десятых». | Записывают формулу $\frac{x}{\sin 52^\circ}=\frac{40}{\sin 60^\circ}$, вычисляют $x\approx36{,}1$ м, сверяют единицы измерения. |
2 мин | «Сравним с задачей: стороны 7 м и 9 м образуют угол $60^\circ$. Найдите третью сторону. Что изменилось в наборе данных?» Учитель выводит вычисления на экран. | Записывают $x^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cos60^\circ$, получают $x^2=67$, $x\approx8{,}2$ м; формулируют: «При двух сторонах и угле между ними удобнее теорема косинусов». |
Запись в тетрадях
- Алгоритм: 1) построить и подписать чертёж; 2) выписать известные величины; 3) определить набор данных; 4) выбрать теорему; 5) вычислить и округлить; 6) проверить ответ.
- Теорема синусов — если известны сторона и противолежащий угол либо требуется связать пары «сторона — противолежащий угол».
- Теорема косинусов — если известны две стороны и угол между ними либо известны три стороны.
Эталон решения
Для задачи с двумя сторонами: $x^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cdot\cos60^\circ=49+81-126\cdot0{,}5=67$. Следовательно, $x=\sqrt{67}\approx8{,}2$ м. Ответ: примерно $8{,}2$ м. Для первой задачи: третий угол равен $180^\circ-52^\circ-68^\circ=60^\circ$; $\frac{x}{\sin52^\circ}=\frac{40}{\sin60^\circ}$, поэтому $x=\frac{40\sin52^\circ}{\sin60^\circ}\approx36{,}1$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели: теорема выбирается не по памяти, а по набору известных элементов. Сейчас проверим этот алгоритм на коротких заданиях, где важно проговаривать каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание типа задачи и последовательность решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Каждая пара получает две карточки. На первой задаче нужно только назвать теорему и объяснить выбор, на второй — выполнить решение. Роли распределите: аналитик читает условие и строит модель, вычислитель записывает формулу; через три минуты поменяйтесь». | Читают карточки, строят схемы, называют теорему и распределяют роли. |
3 мин | Учитель предлагает задачу: «В треугольнике $ABС$ известны $AB=10$ см, $AC=7$ см, угол $A=120^\circ$. Найдите $BC$. Запишите решение по алгоритму». Обходит пары и задаёт вопросы: «Где угол между известными сторонами? Какая сторона ему противолежит?» | Применяют теорему косинусов: $BC^2=10^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cos120^\circ=100+49+70=219$, получают $BC\approx14{,}8$ см. |
1 мин | «Проведём взаимопроверку по приёму “Две звезды и пожелание”: отметьте правильный чертёж и формулу, а в пожелании укажите один шаг, который можно уточнить». | Сверяют решения с парой-соседом, записывают две сильные стороны и один совет. |
Эталон решения
$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A=10^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot\cos120^\circ=149-140\cdot(-0{,}5)=219$. Поэтому $BC=\sqrt{219}\approx14{,}8$ см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы проверили не только ответ, но и ход рассуждения. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он выбрать теорему без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма на заданиях ОГЭ-подобного формата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Работаем самостоятельно. Выберите базовую или повышенную карточку. На чертеже обязательно подпишите известные стороны и углы, а в ответе укажите единицы измерения. Это не контрольная, а тренировка, поэтому после выполнения будет возможность исправить ошибку». | Выбирают уровень, читают критерии и готовят чертёж. |
5 мин | Базовая задача: «В треугольнике две стороны равны 6 см и 8 см, угол между ними равен $60^\circ$. Найдите третью сторону». Повышенная задача: «В треугольнике $ABС$ $AB=12$ см, $\angle A=45^\circ$, $\angle B=60^\circ$. Найдите сторону $BC$, округлив ответ до десятых». Учитель напоминает: «Сначала определите третий угол, затем обоснуйте выбор теоремы». | Индивидуально решают выбранную задачу. Для базовой получают $\sqrt{76}\approx8{,}7$ см; для повышенной находят $\angle C=75^\circ$ и используют теорему синусов: $\frac{BC}{\sin45^\circ}=\frac{12}{\sin75^\circ}$, $BC\approx8{,}8$ см. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране и просит выполнить самопроверку: «Поставьте плюс за правильный чертёж, формулу и вычисление. Ошибку не стирайте: обведите её и рядом запишите исправленный шаг». | Сверяют решение, отмечают ошибки и исправляют один конкретный шаг в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает. Частая ошибка — перепутать угол между сторонами с противолежащим углом; перед финалом ещё раз проверим это на движении и короткой рефлексии».
Этап 7. Физкультминутка и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение и связать геометрическую модель с физикой, географией и инженерными измерениями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте рядом с партой. По моей команде повернитесь на 45°, затем на 60°, затем на 90°. Представьте, что вы меняете направление движения наблюдателя. Поворот выполняем спокойно, без резких движений». Учитель связывает движение с понятием угла и направлением вектора. | Выполняют повороты, проговаривают значения углов и сохраняют безопасную дистанцию. |
1 мин | «Где ещё нужны такие расчёты? В геодезии — для определения расстояний, в физике — при разложении направлений, в навигации — для определения положения объекта. Назовите одну профессию, где это может пригодиться». | Называют: «геодезист», «архитектор», «инженер», «спасатель», «навигатор»; формулируют связь с точными измерениями. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теоремы синусов и косинусов работают не только в тетради: они помогают измерять то, до чего нельзя дотянуться напрямую. Осталось зафиксировать личный результат и домашнюю тренировку».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный способ действия, выявить затруднения и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Заполните лист самооценки: “Я могу определить тип данных”, “Я могу выбрать теорему”, “Я могу проверить ответ”. Затем выполните билет на выход: объясните одним предложением, почему в задаче с двумя сторонами и углом между ними применяют теорему косинусов». | Ставят отметки в листе самооценки и пишут ответ: «Потому что теорема косинусов связывает две стороны и угол между ними с третьей стороной». |
1 мин | «Поднимите зелёную карточку, если можете решить аналогичную задачу самостоятельно, жёлтую — если нужна подсказка, красную — если нужно ещё раз разобрать выбор теоремы». Учитель фиксирует результаты. | Показывают карточку и формулируют, какая помощь нужна. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите уровень по готовности, а не по желанию получить более лёгкую работу. В каждом решении обязательны чертёж, формула, вычисления и проверка». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились превращать практическую ситуацию в треугольник и выбирать нужную теорему. Не бойтесь задач ОГЭ: сначала разберите данные, и формула станет понятным инструментом».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, построен и подписан чертёж, обоснован выбор теоремы, вычисления записаны последовательно, ответ округлён и содержит единицы измерения.
- «4» — способ решения выбран правильно, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — распознана геометрическая модель и записана подходящая теорема, но допущены ошибки в подстановке, вычислениях или округлении; требуется коррекция по эталону.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о выборе теоремы? | Выявление осознания связи между набором данных и способом решения. |
Какое действие алгоритма оказалось самым сложным? | Выявление точки затруднения: чертёж, выбор формулы или вычисления. |
Как вы проверяли правдоподобие ответа? | Диагностика навыка самоконтроля и оценки результата. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и регулятивных УУД. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что теоремы синусов и косинусов помогают решать реальные задачи, когда прямое измерение невозможно. Главная ошибка — сразу подставлять числа, не разобрав чертёж и набор известных элементов. Если вы сначала построите модель и назовёте причину выбора теоремы, решение станет надёжнее. На следующем уроке мы продолжим решать задачи повышенной сложности и потренируемся распознавать их формат по условию».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на применение теоремы косинусов: две стороны и угол между ними; в одной задаче найти третью сторону, в двух других — проверить возможность полученного ответа. | Закрепляет распознавание набора данных и вычислительный алгоритм; проверять чертёж, формулу и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на теорему синусов и косинусов: две задачи на нахождение стороны, одну на нахождение угла и одну практическую задачу об измерении расстояния по двум углам. | Формирует гибкий выбор теоремы и навык округления; проверять обоснование выбора метода и последовательность решения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о навигации, строительстве или измерении расстояния, используя одну из теорем, и подготовить краткое объяснение, почему выбран именно этот метод. | Развивает моделирование и создание математического текста; проверять реалистичность данных, корректность чертежа и проверку результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие данные подсказывают выбор теоремы косинусов? Какие элементы должны быть сопоставлены в теореме синусов? Зачем выполнять чертёж до записи формулы? Как проверить, что полученное расстояние реалистично?»
