Тема: Квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения
Цели и задачи
- Цель: вывести формулу корней полного квадратного уравнения через дискриминант и научиться применять её для решения уравнений.
- Образовательная задача: сформировать навык нахождения дискриминанта и определения количества корней уравнения.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать математические структуры и выстраивать логические цепочки вывода формул.
- Воспитательная задача: способствовать развитию критического мышления и автономии в выборе уровня сложности заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками в процессе групповой работы.
- Осознание ценности математического знания как инструмента решения практических задач.
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Развитие навыков смыслового чтения научно-учебных текстов.
- Умение создавать обобщения, устанавливать аналогии и классифицировать объекты.
Предметные
- Знать определение дискриминанта и формулу корней квадратного уравнения.
- Уметь вычислять дискриминант и определять количество корней.
- Владеть алгоритмом решения полных квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
Познавательные УУД
- Логические: построение логической цепи рассуждений при выводе формулы.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 30 шт.
- Подготовить презентацию со слайдами: 1) Цели урока, 2) Алгоритм вывода формулы, 3) Эталон решения.
- Проверить работу проектора и ноутбука.
- Подготовить на доске сетку для записи коэффициентов уравнений.
- Учебник: Алгебра 8 класс (Макарычев Ю.Н. и др.), открыть на стр. 116.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (2 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учащихся к восприятию новой темы через проблемный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы продолжаем погружение в мир квадратных уравнений. Знаете ли вы, что еще 4 тысячи лет назад вавилонские ученые умели решать такие задачи? Но они не использовали формул, которые мы изучим сегодня. Как вы думаете, что дает нам формула в математике? Она дает универсальный ключ. Сегодня вы сами станете авторами этого ключа. Проверьте, всё ли у вас на столах: учебник, тетрадь, ручка и боевой настрой." | Ученики приветствуют учителя, проверяют готовность. Отвечают на вопрос: "Формула позволяет решать задачи быстрее", "Она подходит для всех случаев". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, ключ нам действительно нужен. Но чтобы его выковать, нужно вспомнить, из чего он состоит."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить определение квадратного уравнения и способы решения неполных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "На доске записаны уравнения. Назовите те из них, которые являются квадратными. Для каждого квадратного уравнения назовите коэффициенты $a$, $b$ и $c$. | Ученики по очереди называют уравнения: 1) $2x^2 - 3x + 1 = 0$, 2) $x^2 - 4 = 0$, 3) $5x^2 + 2x = 0$. Определяют коэффициенты: "В первом $a=2, b=-3, c=1$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем решать неполные уравнения и выделять квадрат. Но что, если коэффициенты будут 'неудобными'? Нам нужен общий метод."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать проблему невозможности быстрого решения полного квадратного уравнения известными методами.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Попробуйте решить уравнение $3x^2 + 5x + 1 = 0$ методом выделения полного квадрата. Засекаю 1 минуту. Что вызывает трудности?" | Ученики пытаются решить. Отвечают: "Коэффициент 3 мешает сразу выделить квадрат", "Получаются дробные числа, легко запутаться", "Это слишком долго". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Значит, нам нужен алгоритм, который сработает для любого $a, b, c$. Запишите тему урока: 'Формула корней квадратного уравнения'."
Этап 4. Построение проекта выхода и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу корней в общем виде через дискриминант.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Давайте выведем формулу вместе. Запишем общее уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Чтобы выделить квадрат, умножим обе части на $4a$. Почему именно на $4a$? Чтобы первый член стал $(2ax)^2$. Записываем: $4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$. Теперь добавим $b^2$ к обеим частям... Какое выражение мы получили слева?" | Записывают вывод в тетрадь. Отвечают: "$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac$". Учитель вводит понятие: "Выражение $b^2 - 4ac$ называют дискриминантом и обозначают буквой $D$." |
5 мин | "Теперь проанализируем: от чего зависит наличие корней? Если $D > 0$, что мы можем сказать о правой части? А если $D < 0$? Давайте оформим это в виде схемы." | Ученики рассуждают: "Если $D$ отрицательный, то квадрата быть не может — корней нет". Совместно с учителем рисуют схему ветвления для $D > 0, D = 0, D < 0$. |
Запись в тетрадях
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
1) $D > 0 \Rightarrow$ 2 корня.
2) $D = 0 \Rightarrow$ 1 корень ($x = -b/2a$).
3) $D < 0 \Rightarrow$ корней нет.
Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
1) $D > 0 \Rightarrow$ 2 корня.
2) $D = 0 \Rightarrow$ 1 корень ($x = -b/2a$).
3) $D < 0 \Rightarrow$ корней нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула готова. Теперь проверим, как этот 'ключ' открывает наши уравнения."
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм применения формулы на конкретных примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Решим уравнение $2x^2 + 3x - 5 = 0$. Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Работаем по шагам: 1) Коэффициенты, 2) Дискриминант, 3) Корни. Проговаривайте каждый шаг вслух." | Ученик у доски: "$a=2, b=3, c=-5$. Нахожу $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. $D > 0$, значит 2 корня. $x = (-3 \pm 7) / 4$. $x_1 = 1, x_2 = -2.5$". Класс сверяет решение. |
Эталон решения
$2x^2 + 3x - 5 = 0$
$a=2, b=3, c=-5$
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 > 0$
$\sqrt{D} = 7$
$x_1 = \frac{-3+7}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-3-7}{4} = -2.5$
$a=2, b=3, c=-5$
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 > 0$
$\sqrt{D} = 7$
$x_1 = \frac{-3+7}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-3-7}{4} = -2.5$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм ясен. Теперь попробуйте свои силы самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы с возможностью выбора уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | "Перед вами карточки с тремя уровнями: 'Базовый' (простые целые числа), 'Продвинутый' (дробные коэффициенты) и 'Мастер' (уравнения с параметром или требующие упрощения). Выберите один уровень и решите 2 уравнения. Через 7 минут я выведу ответы на экран." | Ученики выбирают уровень сложности, работают самостоятельно. После появления ответов на слайде проводят самопроверку, ставят '+' или '?' рядом с задачами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите руки, кто выбрал уровень 'Мастер'? А кто решил всё без ошибок? Молодцы!"
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте заполним 'Билет на выход'. Напишите на листочке одну вещь, которую вы сегодня поняли лучше всего, и один вопрос, который еще остался. Также запишите домашнее задание — оно тоже дифференцированное." | Ученики заполняют рефлексивные карточки, записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены 2 уравнения выбранного уровня, дискриминант и корни найдены без ошибок, оформление соответствует алгоритму.
- "4" — алгоритм соблюден, но допущена одна вычислительная ошибка при нахождении корней при верном дискриминанте.
- "3" — верно определены коэффициенты и найден дискриминант, но допущены ошибки в формуле корней или вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая часть формулы кажется тебе самой коварной? | Выявление зон потенциальных ошибок (например, знаки при $-4ac$). |
Сможешь ли ты объяснить другу, почему при $D < 0$ нет корней? | Проверка понимания логической связи между алгеброй и арифметикой. |
Какой уровень сложности ты выберешь для домашней работы? | Стимулирование адекватной самооценки и учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы проделали путь великих математиков и сами вывели формулу, которая будет сопровождать вас до самого конца школы и в вузе. Помните, что дискриминант — это сердце квадратного уравнения. Если сердце 'отрицательное', жизни (корней) в нем нет. На следующем уроке мы научимся использовать свойства коэффициентов, чтобы решать уравнения еще быстрее. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 533, 535 (а, б) | Решить уравнения по алгоритму, четко выписывая $a, b, c$. |
Средний (повышающий) | № 540 | Решить уравнения, предварительно приведя их к стандартному виду. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 своих уравнения | Одно с 2 корнями, одно с 1 и одно без корней. Оформить решение. |
Контрольный вопрос: "Чему равен дискриминант уравнения $x^2 - 2x + 1 = 0$ и сколько у него корней?"