Теорема Виета
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут самостоятельно вывести связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения и применять её для нахождения корней без использования дискриминанта.
- Образовательная задача: Познакомить с прямой и обратной теоремами Виета, научить проверять найденные корни уравнения.
- Развивающая задача: Развивать навыки анализа, сравнения и поиска закономерностей через групповую работу.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и интерес к истории науки через знакомство с биографией Франсуа Виета.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и координировать её с позицией партнёра.
Предметные
- Знать формулировку теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения.
- Уметь вычислять сумму и произведение корней по коэффициентам.
- Уметь подбирать корни целых чисел, используя обратную теорему Виета.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценности здорового образа жизни (через физкультминутку).
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками.
Регулятивные УУД
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Выдвижение гипотез и их обоснование.
- Поиск и выделение необходимой информации из учебного текста.
Коммуникативные УУД
- Владение монологической и диалогической формами речи.
- Умение слушать и вступать в диалог.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы для работы в парах с таблицами для исследования (15 шт).
- Подготовить портрет Франсуа Виета и краткую справку о «короле алгебры».
- Подготовить карточки для дифференцированной самостоятельной работы (3 уровня сложности).
- Проверить работу проектора для демонстрации эталонов решения.
- Подготовить таймер для контроля времени на этапах работы в парах.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учащихся к восприятию нового материала через «интеллектуальный вызов».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы продолжим покорять вершины алгебры. Посмотрите на доску. Здесь записано уравнение: $x^2 - 2026x + 2025 = 0$. Как вы думаете, сколько времени мне понадобится, чтобы найти его корни? (Учитель делает паузу). Я утверждаю, что корни — 1 и 2025. Проверьте меня! Как я это сделал так быстро, не считая дискриминант? Хотите научиться так же?» | Ученики удивленно смотрят на уравнение. Проверяют корни подстановкой (устно или в тетради). Выражают заинтересованность в быстром способе решения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Для этого нам не нужна магия, нам нужна логика и внимательность. Сегодня мы откроем секретную связь между числами в уравнении».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить понятие приведенного квадратного уравнения и стандартный алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте вспомним: какое уравнение называется приведенным? Запишите в тетрадях общий вид приведенного квадратного уравнения, используя коэффициенты $p$ и $q$.» | Отвечают: «Уравнение, где первый коэффициент равен 1». Записывают: $x^2 + px + q = 0$. |
3 мин | «Решите классическим способом через дискриминант уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Засекаем время.» | Решают в тетрадях: $D = 25 - 24 = 1$; $x_1 = 3, x_2 = 2$. Фиксируют, что решение заняло около 1-2 минут. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы потратили время на вычисления. А теперь представьте, что таких уравнений десять. Есть ли способ увидеть корни сразу?»
Этап 3. Открытие нового знания: Исследование (12 мин)
Цель этапа: через работу в парах выявить закономерность между корнями и коэффициентами.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Работаем в парах. У вас на столах рабочие листы с таблицей. В первой колонке — уравнения, корни которых вы должны найти (или они уже даны). Во второй и третьей — вычислите сумму корней ($x_1 + x_2$) и их произведение ($x_1 \cdot x_2$). Сравните результаты с коэффициентами $p$ и $q$. Применяем приём "Think-Pair-Share".» | Заполняют таблицу. Например, для $x^2 - 7x + 10 = 0$ находят корни 2 и 5. Считают: $2+5=7$ (это $-p$), $2 \cdot 5 = 10$ (это $q$). Обсуждают гипотезу с соседом. |
4 мин | «Кто готов озвучить закономерность? Давайте запишем её в общем виде на доске.» | Представители пар формулируют: «Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену». |
Запись в тетрадях
Теорема Виета для $x^2 + px + q = 0$:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поздравляю, вы только что повторили открытие великого француза Франсуа Виета! Это межпредметная связь: Виет был не только математиком, но и советником королей, расшифровывал сложнейшие коды. Математика — это тоже своего рода код».
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык применения теоремы на простых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте потренируемся устно. Я называю уравнение, вы — сумму и произведение корней. Уравнение $x^2 - 9x + 20 = 0$. Чему равна сумма? Чему произведение? Какие это числа?» | Отвечают хором или по поднятой руке: «Сумма 9, произведение 20. Это числа 4 и 5». |
3 мин | «А теперь попробуйте найти корни для $x^2 + 5x + 4 = 0$. Будьте внимательны со знаками!» | Рассуждают: «Произведение 4 (значит, корни одного знака), сумма -5. Это числа -1 и -4». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справляетесь. Но чтобы мозг работал лучше, нужно дать телу разрядку».
Этап 5. Математическая физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: физическая активность с элементами повторения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Правила просты: я называю утверждение. Если оно верное — вы поднимаете руки вверх и хлопаете. Если ложное — делаете наклон вперед. 1. Уравнение $x^2 - 5 = 0$ приведенное? (Да) 2. Сумма корней $x^2 - 3x + 2 = 0$ равна -3? (Нет, равна 3) 3. В уравнении $x^2 + 7x + 10 = 0$ оба корня отрицательные? (Да, так как произведение +, а сумма -)» | Выполняют движения, анализируя утверждения на слух. Смеются, если кто-то ошибся, корректируют друг друга. |
Этап 6. Самостоятельная работа (дифференцированная) (7 мин)
Цель этапа: проверка усвоения материала на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Выберите свой уровень сложности на карточках. Зеленая — база (найти сумму и произведение), Желтая — средний (найти корни подбором), Красная — профиль (составить уравнение по корням или задача с параметром). Работаем самостоятельно.» | Выбирают карточку, решают. В конце этапа сверяют ответы с эталоном, который учитель выводит на экран. |
Эталон решения (уровень Красный)
Задача: Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого равны $3 - \sqrt{2}$ и $3 + \sqrt{2}$.
Решение:
1) $x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 6 \Rightarrow p = -6$.
2) $x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7 \Rightarrow q = 7$.
Ответ: $x^2 - 6x + 7 = 0$.
Решение:
1) $x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 6 \Rightarrow p = -6$.
2) $x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7 \Rightarrow q = 7$.
Ответ: $x^2 - 6x + 7 = 0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сдайте карточки. Не переживайте, если красный уровень не поддался сразу — это цель для следующего урока».
Этап 7. Творческое задание и включение в систему знаний (4 мин)
Цель этапа: креативное осмысление темы, развитие ассоциативного мышления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Приём "Математический портрет". Представьте, что корни уравнения — это друзья. Сумма — это их общий вес, а произведение — их общая сила. Придумайте за 2 минуты краткую историю или синквейн про теорему Виета. Например: Виет. Быстрый, точный. Складывает, умножает, находит. Дискриминант больше не нужен. Король!» | Ученики в парах или индивидуально придумывают свои варианты. Кто-то рисует схему-человечка, где голова — это сумма, а ноги — корни. |
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подведение итогов, самооценка деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните лист самооценки и запишите домашнее задание. Оно тоже на выбор. Спасибо за работу, сегодня вы были настоящими исследователями!» | Записывают задание, оценивают свою работу на уроке. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно определены коэффициенты, сумма и произведение корней во всех заданиях карточки; решена творческая задача или задача повышенного уровня.
- «4» — Допущена 1 ошибка в знаках при определении коэффициента p или q, верно найдены корни подбором в 3-4 уравнениях.
- «3» — Ученик понимает формулировку теоремы, умеет находить сумму и произведение, но затрудняется в подборе корней (решении системы).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие должно выполняться, чтобы мы могли применить теорему Виета сразу? | Проверка понимания ограничений (приведенное уравнение). |
Что было сложнее: найти сумму/произведение или подобрать сами корни? | Выявление трудностей в вычислительных навыках. |
Оцени свою работу сегодня по шкале от 1 до 10. | Субъективная оценка вовлеченности и успеха. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы приоткрыли завесу тайны над тем, как математики видят числа «насквозь». Теорема Виета — это не просто формула, это изящный инструмент, который экономит ваше время и силы. Помните, что в любой сложной задаче часто скрыт простой и красивый путь. На следующем уроке мы научимся применять эту теорему для полных уравнений. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 580, 582 (учебник Макарычева) | Нахождение суммы и произведения корней по готовым уравнениям. |
Средний (повышающий) | № 585, 587 | Подбор корней целых чисел и проверка через дискриминант. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческий проект «Виет vs Дискриминант» | Мини-исследование: в каких случаях какой метод быстрее. Оформить в виде таблицы или комикса. |