Сравнение действительных чисел
Цели и задачи
- Цель: научиться сравнивать любые действительные числа, используя их десятичную запись и правила сравнения рациональных чисел.
- Образовательная задача: вывести алгоритм сравнения действительных чисел через бесконечные десятичные дроби.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через установление причинно-следственных связей при работе с иррациональными числами.
- Воспитательная задача: формировать навыки ответственного отношения к труду через самостоятельную работу и взаимопроверку в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение действительного числа и способы его представления.
- Уметь сравнивать положительные и отрицательные действительные числа.
- Владеть навыком оценки значения квадратного корня для сравнения с рациональными числами.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков сотрудничества со взрослыми и сверстниками.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно.
- Выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации в учебнике.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Участие в коллективном обсуждении проблем.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для работы в парах с заданиями трех уровней сложности (15 комплектов).
- Проверить работу проектора для демонстрации алгоритма сравнения.
- Выписать на доске ключевые иррациональные числа: √2 ≈ 1,414..., √3 ≈ 1,732..., π ≈ 3,141...
- Подготовить учебник Макарычева (8 класс) на странице с темой «Сравнение действительных чисел».
- Распечатать листы самооценки для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня мы продолжаем наше путешествие в мир чисел. Взгляните на экран. Перед вами две физические константы: ускорение свободного падения g ≈ 9,80665... м/с² и число π ≈ 3,14159... Как вы думаете, в каких ситуациях нам может понадобиться точно знать, какое из чисел больше, если они оба бесконечны? Математика — это язык точности, и сегодня мы научимся сравнивать даже те числа, которые невозможно записать до конца». | Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку. Слушают учителя, выдвигают предположения о важности сравнения констант в физических расчетах и строительстве. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы поняли, что сравнение — это базовая операция. Но умеем ли мы сравнивать абсолютно любые числа? Давайте проверим».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить правила сравнения рациональных чисел, подготовить почву для введения иррациональных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте вспомним правила, которые мы уже знаем. На доске записаны пары чисел: 1) 0,56 и 0,6; 2) -1,2 и -1,25; 3) 2/3 и 0,66. Сравните их устно и объясните свое решение. Какие правила вы использовали? Как мы сравниваем отрицательные числа? Как сравнить обыкновенную дробь с десятичной?» | Отвечают с места: «1) 0,56 < 0,6, так как в разряде десятых 5 < 6. 2) -1,2 > -1,25, так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. 3) 2/3 ≈ 0,666..., значит 2/3 > 0,66». Формулируют правила сравнения по разрядам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, с рациональными числами проблем нет. А что, если числа будут иррациональными?»
Этап 3. Постановка проблемы и выявление затруднения (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, зафиксировать затруднение в сравнении иррационального и рационального числа.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «А теперь задача сложнее. Сравните числа √2 и 1,41. Как это сделать? Мы знаем, что √2 — иррациональное число. Можно ли его представить в виде конечной десятичной дроби? В чем главная трудность при сравнении таких чисел?» Учитель использует прием «Проблемный диалог». | Пытаются сравнить. Возникает затруднение: «Мы не знаем точного значения √2, оно бесконечно». Предполагают: «Нужно найти как можно больше знаков после запятой» или «Нужно возвести оба числа в квадрат». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Значит, нам нужен универсальный алгоритм, который позволит сравнивать любые действительные числа, независимо от того, рациональные они или нет».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм сравнения действительных чисел на основе их десятичной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | «Откройте учебник на странице, где описывается сравнение действительных чисел. Давайте прочитаем определение. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Как мы сравниваем такие дроби? Правило простое: мы сравниваем их поразрядно, начиная с высших разрядов. Если целые части равны, переходим к десятым, затем к сотым и так далее. Давайте вернемся к √2 и 1,41. Мы знаем, что √2 = 1,41421... Запишем 1,41 как 1,41000... Сравните их теперь». Учитель записывает на доске: √2 = 1,414... и 1,41 = 1,410... | Следят по учебнику. Записывают в тетрадь: «Алгоритм сравнения: 1. Представить числа в виде десятичных дробей. 2. Сравнить целые части. 3. Если равны — сравнивать поразрядно слева направо до первого несовпадающего знака». Делают вывод: «Так как в разряде тысячных 4 > 0, то √2 > 1,41». |
Запись в тетрадях
Сравнение действительных чисел:
1) Из двух положительных чисел больше то, у которого в первом несовпадающем разряде цифра больше.
2) Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
3) Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
1) Из двух положительных чисел больше то, у которого в первом несовпадающем разряде цифра больше.
2) Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
3) Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели правило. Теперь проверим, как оно работает на практике, учитывая разные уровни сложности».
Этап 5. Первичное закрепление и фронтальная работа (7 мин)
Цель этапа: отработать применение алгоритма на типовых примерах из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Выполним упражнение из учебника. Вызываю к доске троих ребят по очереди. Задание: сравнить числа: а) 8,653... и 8,656...; б) -2,53... и -2,52...; в) π и 3,14. Обратите внимание на пункт 'в'. Как мы записываем число π для сравнения?» | Ученики у доски решают примеры, комментируя свои действия: «а) Целые части равны, десятые и сотые равны, в тысячных 3 < 6, значит 8,653... < 8,656... б) Сравниваем модули: 2,53 > 2,52, значит -2,53 < -2,52. в) π ≈ 3,1415..., 3,14 = 3,1400..., значит π > 3,14». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справились с базовыми примерами. Теперь попробуем поработать в парах с заданиями разного уровня».
Этап 6. Самостоятельная работа в парах с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: закрепить навык сравнения в условиях сотрудничества, обеспечить индивидуальный подход через выбор уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Ребята, на партах лежат карточки. В них три уровня: Зеленый (базовый), Желтый (средний) и Красный (повышенный). Выберите вместе с напарником тот уровень, который вам по силам, и выполните задания. Вы можете обсуждать решение, но записывает каждый в свою тетрадь. Через 6 минут мы проведем взаимопроверку по эталону на экране». | Работают в парах. Обсуждают, какой уровень выбрать. Решают задачи. Например, в Красном уровне: сравнить √5 + 1 и 3. Взаимодействуют, объясняют друг другу непонятные моменты. |
Эталон решения (Красный уровень)
Сравнить $\sqrt{5} + 1$ и $3$.
1) $\sqrt{5} \approx 2,236...$
2) $\sqrt{5} + 1 \approx 3,236...$
3) $3,236... > 3,000...$
Ответ: $\sqrt{5} + 1 > 3$.
1) $\sqrt{5} \approx 2,236...$
2) $\sqrt{5} + 1 \approx 3,236...$
3) $3,236... > 3,000...$
Ответ: $\sqrt{5} + 1 > 3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Время вышло. Поменяйтесь тетрадями и проверьте работу соседа по эталону на слайде. Поставьте '+' рядом с верными ответами».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, провести самооценку деятельности, дать инструкции по домашнему заданию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к нашему проблемному вопросу. Как же мы теперь сравним любые числа? Что было самым трудным? Заполните листы самооценки: что вы узнали, в чем еще нужно потренироваться. Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням сложности». | Заполняют листы самооценки. Отвечают на вопросы учителя. Записывают домашнее задание в дневники. Анализируют свои ошибки, допущенные в самостоятельной работе. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (Зеленый, Желтый или Красный), алгоритм применен безошибочно.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка или ошибка в знаке при сравнении отрицательных чисел, но ход решения верен.
- «3» — выполнено более половины заданий базового (Зеленого) уровня, есть понимание поразрядного сравнения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме сравнения кажется вам самым важным? | Проверка осознанности усвоения нового алгоритма. |
В чем отличие сравнения положительных и отрицательных действительных чисел? | Выявление понимания специфики работы с отрицательными числами. |
Где в реальной жизни нам может пригодиться точность до третьего знака после запятой? | Межпредметные связи и функциональная грамотность. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы совершили важное открытие: бесконечность — не преграда для порядка. Мы научились сравнивать числа, которые даже не можем полностью записать. Это умение — фундамент для всей дальнейшей алгебры, особенно для изучения функций и неравенств. Помните, что точность в математике — это не просто прихоть, а залог надежности мостов, безопасности полетов и стабильности экономики. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 210, 211 (учебник) | Сравнение десятичных дробей и простых иррациональных чисел. |
Средний (повышающий) | № 215, 218 | Расположение чисел в порядке возрастания, работа с корнями. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача-исследование № 220 | Сравнение выражений, содержащих корни и переменные. |
Контрольный вопрос: «Как изменится результат сравнения двух отрицательных чисел, если мы изменим их знаки на противоположные?»