Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут давать определение иррационального числа, отличать его от рационального и находить десятичные приближения иррациональных чисел с заданной точностью.
- Образовательная задача: Познакомить с понятием иррационального числа как бесконечной непериодической десятичной дроби, рассмотреть число π как пример иррационального числа.
- Развивающая задача: Развивать навыки классификации чисел по множествам (N, Z, Q, I, R) и умение сравнивать иррациональные числа через их приближения.
- Воспитательная задача: Показать межпредметную связь математики с геометрией и историей науки, формируя целостную картину мира.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Формирование ответственного отношения к учению и уважения к истории математических открытий (вклад И. Ламберта).
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи, работать с текстом и таблицами.
- Регулятивные: умение самостоятельно ставить цели, планировать пути их достижения, осуществлять самоконтроль и коррекцию.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, аргументировать свою позицию.
Предметные
- Знать определение иррационального числа и множества действительных чисел R.
- Уметь представлять иррациональные числа в виде бесконечных непериодических дробей.
- Уметь находить десятичные приближения иррациональных чисел (до десятых, сотых, тысячных).
- Уметь сравнивать иррациональные числа и выполнять простейшие вычисления с ними.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание того, зачем нужно знать точные и приближенные значения чисел в реальной жизни (строительство, инженерия).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (рациональность vs иррациональность).
Коммуникативные УУД
- Умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (по материалам стр. 16 источника) — 15 шт.
- Подготовить слайды презентации с кругами Эйлера (стр. 3, 8 источника).
- Принести на урок циркуль и нитку для демонстрации отношения длины окружности к диаметру (межпредметная связь).
- Открыть калькуляторы на планшетах/ноутбуках для проверки извлечения квадратных корней.
- Выписать на доску ключевые числа: √2, √3, √5, π.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учащихся к восприятию нового материала через межпредметную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы отправимся в мир чисел, которые древние греки называли "алогос" — невыразимые. Но сначала посмотрите на этот предмет». Учитель показывает обычный стакан или круглый предмет. «Как вы думаете, есть ли связь между этим предметом и математической бесконечностью?» | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. Выдвигают предположения: «Круг не имеет конца», «Длина окружности связана с числом Пи». |
2 мин | «Верно. Вы уже знаете из курса геометрии, что отношение длины окружности к её диаметру — величина постоянная. Это число π. Мы привыкли считать его равным 3,14. Но задумывались ли вы, что идет дальше? Сегодня мы узнаем, к какому семейству чисел принадлежит π и почему его невозможно записать в виде обычной дроби». | Слушают учителя, фиксируют внимание на межпредметной связи геометрии и алгебры. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Прежде чем познакомиться с этими загадочными числами, давайте вспомним те, с которыми мы уже дружим».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия квадратного корня и классификацию рациональных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на экран (слайд 2). Давайте проверим, насколько хорошо вы помните свойства корней. Я читаю равенство, а вы говорите "да" или "нет", объясняя причину». Учитель зачитывает: √36 = 6; √900 = -30; √(-100) = 10; √3,24 = 1,8. | Отвечают: «√36=6 — да, так как 6²=36»; «√900=-30 — нет, так как корень не может быть отрицательным»; «√(-100)=10 — нет, под корнем не может быть отрицательного числа»; «√3,24=1,8 — да, 1,8²=3,24». |
3 мин | «Отлично. Теперь распределите числа по множествам: натуральные (N), целые (Z) и рациональные (Q). Числа: 3, 1/4, -7, 5, 0, 0.333...». Учитель рисует на доске заготовку кругов Эйлера (стр. 3). | По очереди выходят к доске или распределяют в тетрадях: N: {3, 5}; Z: {3, 5, -7, 0}; Q: {3, 5, -7, 0, 1/4, 0.333...}. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы видим, что любое рациональное число можно представить в виде дроби m/n или периодической десятичной дроби. Но все ли числа такие?»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, демонстрирующую существование чисел, не являющихся рациональными.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «А теперь задача: найдите значение √2. Попробуйте подобрать такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Проверьте 1.4, 1.5, 1.41». | Пробуют возводить в квадрат: 1.4² = 1.96 (мало); 1.5² = 2.25 (много); 1.41² = 1.9881 (близко, но не 2). |
2 мин | «Получается ли у вас точное число? Можем ли мы представить √2 в виде периодической дроби? Нет. Здесь мы сталкиваемся с новым типом чисел». | Осознают затруднение: обычных рациональных чисел не хватает для записи √2. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Такие числа называются иррациональными. Запишем тему урока».
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: дать определение иррационального числа, ввести понятие бесконечной непериодической дроби и множества R.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Используя страницу 4 нашего источника, сформулируйте определение. Что такое иррациональное число? Запишите в тетрадь главные тезисы: 1) Это бесконечные непериодические десятичные дроби. 2) Их нельзя представить в виде m/n. 3) Если n не является квадратом натурального числа, то √n — иррационально». | Читают текст, формулируют определение. Записывают в тетрадь: «Иррациональные числа — бесконечные десятичные непериодические дроби». |
3 мин | «Вернемся к нашему числу π. Посмотрите на слайд 7. Иррациональность π была доказана только в 1761 году Иоганном Ламбертом. До этого люди тысячи лет пытались найти его точное значение, но тщетно. Почему? Потому что цифры после запятой в нем никогда не закончатся и не начнут повторяться в одном и том же порядке». | Слушают историческую справку, осознают масштаб математической проблемы. Записывают: π ≈ 3,141592... |
3 мин | «Теперь объединим всё. Множества Q (рациональные) и I (иррациональные) вместе образуют множество R — вещественные или действительные числа. Посмотрите на схему на слайде 8. Видите, как расширился наш математический мир?» | Зарисовывают общую схему множеств (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R). |
Запись в тетрадях
Иррациональные числа — бесконечные десятичные непериодические дроби.
Множество действительных чисел R = Q ∪ I.
Примеры: √2 ≈ 1,4142...; π ≈ 3,1415...
Множество действительных чисел R = Q ∪ I.
Примеры: √2 ≈ 1,4142...; π ≈ 3,1415...
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Раз мы не можем записать эти числа полностью, как же нам с ними работать в жизни? Для этого используют приближения».
Этап 5. Первичное закрепление и работа с приближениями (7 мин)
Цель этапа: научить находить десятичные приближения и выполнять вычисления с ними.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Откройте стр. 12. Даны числа √3 ≈ 1,7320508... и √7 ≈ 2,6457513... Найдите их приближения до десятых, сотых и тысячных. Помните правила округления: если следующая цифра 5 и больше — увеличиваем предыдущую на 1». | Выполняют округление в тетрадях. Для √3: 1.7; 1.73; 1.732. Для √7: 2.6; 2.65 (так как после 4 идет 5); 2.646 (так как после 5 идет 7). |
4 мин | «А теперь попробуем сложить иррациональные числа (стр. 13). Найдем сумму √2 + √3, округлив каждое до сотых. √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73. Сколько получится?» | Считают: 1,41 + 1,73 = 3,14. Замечают: «О, получилось как число Пи!» |
Эталон решения
√7 ≈ 2,6457513...
До десятых: 2,6 (след. цифра 4 < 5)
До сотых: 2,65 (след. цифра 5 ≥ 5)
До тысячных: 2,646 (след. цифра 7 ≥ 5)
До десятых: 2,6 (след. цифра 4 < 5)
До сотых: 2,65 (след. цифра 5 ≥ 5)
До тысячных: 2,646 (след. цифра 7 ≥ 5)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы умеем считать с ними. Но как понять, какое число больше, если они оба иррациональны?»
Этап 6. Сравнение иррациональных чисел (6 мин)
Цель этапа: отработать навык сравнения чисел с использованием десятичных приближений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Посмотрите на стр. 15. Нам нужно сравнить √3 и 1,8. Как это сделать? Мы знаем, что √3 ≈ 1,732. Сравните 1,732 и 1,8». | Сравнивают: 1,732 < 1,8, значит √3 < 1,8. |
3 мин | «Теперь самостоятельно сравните √15 и 3,9. Используйте данные со стр. 5: √15 ≈ 3,87...» | Записывают: √15 ≈ 3,87; 3,87 < 3,9, следовательно √15 < 3,9. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справляетесь. Пришло время проверить свои силы в самостоятельной работе».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполните задания со страницы 16. Там 5 задач: на приближение, округление, вычисление и сравнение. Работаем самостоятельно». | Выполняют задания: 1) √11 ≈ 3,3; 2) √19 ≈ 4,36; 3) 3,142; 4) √3+1,5 ≈ 1,73+1,5=3,23; 5) √6 < 2,45. |
2 мин | «А теперь посмотрите на экран (слайд 17) и проверьте себя. Если всё верно — поставьте себе "+"». | Сверяют ответы с эталоном, проводят самоанализ ошибок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, у кого нет ни одной ошибки? Молодцы! У кого одна — ничего страшного, мы еще потренируемся».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вспомним: чем иррациональное число отличается от рационального? Почему π — иррациональное число? Что нового вы узнали о множестве R?» | Отвечают: «Иррациональное нельзя представить дробью», «π — бесконечная непериодическая дробь», «R включает в себя и рациональные, и иррациональные числа». |
1 мин | «Запишите домашнее задание. Оно разделено по уровням сложности. Выберите тот, который вам по силам». | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все 5 заданий самостоятельной работы, нет ошибок в округлении и сравнении.
- «4» — Верно выполнены 4 задания, допущена одна негрубая ошибка в правилах округления.
- «3» — Верно выполнены 3 задания, учащийся понимает принцип нахождения приближений, но допускает вычислительные ошибки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое открытие сегодня на уроке было для вас самым неожиданным? | Выявление эмоционального отклика и наиболее ярких моментов темы. |
В каком моменте нахождения приближений вы почувствовали трудность? | Диагностика усвоения алгоритма округления иррациональных чисел. |
Где в реальной жизни нам может понадобиться знание о приближенных значениях? | Проверка понимания практической значимости изученного материала. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг — расширили границы нашего числового мира до множества действительных чисел. Мы узнали, что бесконечность может скрываться в самом обычном числе, таком как π или √2. Помните, что в математике, как и в жизни, иногда невозможно достичь абсолютной точности, но мы всегда можем найти достаточно хорошее приближение, чтобы двигаться вперед. На следующем уроке мы научимся выполнять более сложные операции с корнями. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 1, 2 (стр. 9-10 источника) | Классификация чисел на рациональные/иррациональные и поиск целых границ для корней. |
Средний (повышающий) | № 12 (стр. 12 источника) | Нахождение приближений до десятитысячных для √3 и √7. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-проект «Число Пи» | Найти 3 интересных факта об истории вычисления числа π или о «Дне числа Пи». |
Контрольный вопрос: «Можно ли представить число √25 как иррациональное? Почему?»