Квадратные корни. Понятие квадратного корня. Арифметический квадратный корень
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие арифметического квадратного корня, научить отличать его от понятия квадратного корня и вычислять значения корней из неотрицательных чисел.
- Образовательная задача: Познакомить с определением квадратного корня и арифметического квадратного корня, ввести обозначение радикала и терминологию (подкоренное выражение).
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления, умение анализировать условия существования корня (неотрицательность подкоренного выражения).
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и ответственное отношение к точности формулировок через работу в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.
- Навыки смыслового чтения — извлечение необходимой информации из текста определения.
- Умение соотносить свои действия с планируемыми результатами.
Предметные
- Знать определение квадратного корня и арифметического квадратного корня.
- Уметь вычислять значения корней из чисел, являющихся точными квадратами.
- Понимать смысл записи √a и условия, при которых она имеет смысл.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование познавательного интереса к изучению математики.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль и коррекция при выполнении вычислений.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор оснований и критериев для сравнения понятий.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою точку зрения.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с задачей о площади квадрата (по 1 на парту).
- Подготовить карточки для приёма «Светофор» (зеленый, желтый, красный) для каждого ученика.
- Оформить на доске таблицу квадратов чисел от 1 до 20 (или подготовить слайд).
- Проверить работу проектора и ноутбука для демонстрации презентации.
- Подготовить «Билеты на выход» с коротким тестом на 3 минуты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на учебную деятельность, создать ситуацию интеллектуального вызова.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы начинаем путешествие в новую область алгебры. Скажите, часто ли в жизни нам приходится делать действия, обратные привычным? Например, завязывать шнурки — развязывать, заходить в дом — выходить. В математике тоже есть пары действий: сложение — вычитание, умножение — деление. А какое действие обратно возведению в квадрат?» | Приветствуют учителя. Включаются в диалог, предполагают: «Извлечение корня», «Нахождение числа по его квадрату». |
2 мин | «Верно. Сегодня мы станем исследователями и выясним, как именно "развернуть" операцию возведения в квадрат. Но прежде — небольшая разминка для ума. Посмотрите на доску: 4, 9, 16, 25... Какое следующее число в ряду? Что их объединяет?» | Отвечают: «36, 49. Это квадраты натуральных чисел». Фиксируют внимание на теме урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы вспомнили квадраты чисел. Сегодня мы узнаем, как найти само число, если известен только его квадрат"».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (квадрат числа, площадь квадрата), необходимые для введения новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним геометрию. Площадь квадрата вычисляется по формуле S = a². Я называю площадь, а вы — сторону квадрата. S = 49? S = 100? S = 0,25? А теперь сложнее: S = 144?» | Устно отвечают: «7», «10», «0,5», «12». |
2 мин | «Отлично. А теперь решите в тетрадях два уравнения: 1) x² = 64; 2) x² = 0. Сколько корней в каждом случае?» | Записывают решения. Отвечают: «В первом уравнении два корня: 8 и -8. Во втором — один корень: 0». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Вы легко находили сторону по площади. Фактически вы уже извлекали корни, сами того не зная. Но всегда ли это будет так просто?"».
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, показывающую недостаточность имеющихся знаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Представьте, что вы — дизайнеры. Вам нужно изготовить квадратную плитку площадью 2 квадратных дециметра. Чему равна её сторона? Попробуйте найти такое число, квадрат которого равен 2. Подумайте 30 секунд самостоятельно.» | Пытаются подобрать число. Пробуют 1 (мало), 2 (много), 1,5 (2,25 — много), 1,4 (1,96 — близко, но не точно). |
2 мин | «Получилось найти точное число? В чем трудность? Мы знаем, что такое число существует (плитку-то сделать можно!), но как его записать и как оно называется?» | Приходят к выводу: «Среди известных нам чисел (целых и десятичных дробей) такого числа нет. Нам не хватает знака или названия для этого числа». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Итак, нам нужно новое понятие и новый символ. Сформулируйте цель нашего урока"».
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать тему и план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Тема урока: "Квадратные корни". Как вы думаете, что нам нужно сегодня узнать? Давайте составим план. Я начну: 1. Узнать определение квадратного корня... Продолжите.» | Формулируют пункты плана: «2. Узнать, как обозначается корень. 3. Понять, из каких чисел можно извлекать корень. 4. Научиться вычислять его значения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"План готов. Приступаем к реализации"».
Этап 5. Реализация проекта / Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определения и правила через работу с учебником и обсуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на странице с определением квадратного корня. Прочитайте его про себя. Теперь внимание вопрос: являются ли числа 5 и -5 квадратными корнями из 25? Почему? А число 0 является корнем из 0?» | Читают текст. Отвечают: «Да, так как 5²=25 и (-5)²=25. Да, 0²=0». |
4 мин | «В математике часто нужно только неотрицательное значение. Оно называется АРИФМЕТИЧЕСКИМ квадратным корнем. Посмотрите на доску: √a = b. Это значит, что b² = a и b ≥ 0. Запишите это условие в тетрадь. Как вы думаете, может ли под корнем стоять отрицательное число? Попробуйте извлечь √(-16).» | Записывают определение. Пробуют вычислить и делают вывод: «Нет, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Запись √(-16) не имеет смысла». |
4 мин | «Введем терминологию. Знак √ называется радикалом. Число под ним — подкоренным выражением. Давайте потренируемся: найдите арифметический корень из 81, 0.01, 1.44.» | Записывают термины. Вычисляют: √81=9, √0.01=0.1, √1.44=1.2. Проговаривают: «Корень из 81 равен 9, так как 9 больше нуля и 9 в квадрате равно 81». |
Запись в тетрадях
Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
√a = b, если b² = a и b ≥ 0.
При a < 0 выражение √a не имеет смысла.
√a = b, если b² = a и b ≥ 0.
При a < 0 выражение √a не имеет смысла.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы открыли новое действие и его правила. Теперь проверим, как вы умеете ими пользоваться"».
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение определения на практике с комментированием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем с приемом "Комментированное письмо". Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Вычисляем: √121, √400, √0.64, √(4/9). Нужно обязательно проговаривать обоснование по образцу: "Арифметический корень из 121 равен 11, так как 11 ≥ 0 и 11² = 121"». | Ученик у доски записывает и объясняет. Класс фиксирует в тетрадях. Отрабатывают речевую формулу. |
3 мин | «Теперь игра "Верно-неверно". Я показываю карточку, вы поднимаете зеленую карточку (если верно) или красную (если нет). 1) √36 = -6. 2) √0 = 0. 3) √(-4) = 2. 4) √1.21 = 1.1.» | Поднимают карточки, аргументируют ошибки (например, для первой карточки: «Неверно, так как результат должен быть неотрицательным»). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Вы хорошо справляетесь с обоснованием. Пришло время проверить себя в самостоятельной работе"».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала, развитие навыков самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Выполните задания на карточках. Там три уровня сложности. Выберите тот, который вам по силам. Уровень А — базовый, Уровень Б — с дробями, Уровень В — уравнения с корнем.» | Выбирают уровень и решают задачи самостоятельно. |
2 мин | «А теперь посмотрите на экран. Там представлены эталоны решений. Проверьте себя. Если всё верно — поставьте себе "+" на полях. Если есть ошибка — обведите её и исправьте.» | Сверяют свои ответы с эталоном, проводят самоанализ ошибок. |
Эталон решения (Уровень В)
Решить уравнение: √x = 5.
По определению арифметического корня: x = 5², значит x = 25.
Проверка: √25 = 5 (верно).
Ответ: 25.
По определению арифметического корня: x = 5², значит x = 25.
Проверка: √25 = 5 (верно).
Ответ: 25.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Кто справился без ошибок? Поднимите руки. Отлично. Те, у кого были трудности — не расстраивайтесь, мы их разберем"».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить эмоциональное состояние и уровень понимания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вернемся к нашей плитке с площадью 2. Как теперь мы запишем её сторону? Правильно, √2. Это число иррациональное, мы изучим его позже. А теперь заполните таблицу рефлексии в ваших листах.» | Отвечают: «Сторона равна корень из двух». Заполняют листы самооценки. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Обратите внимание на творческий уровень — он для тех, кто хочет заглянуть в историю математики.» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), даны четкие обоснования со ссылкой на определение.
- «4» — допущена 1 вычислительная ошибка при правильном ходе рассуждений или отсутствует обоснование в одном из примеров.
- «3» — верно выполнено более половины заданий базового уровня А, допущены ошибки в понимании условия существования корня.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие для арифметического корня самое важное? | Проверка усвоения ключевого признака (неотрицательность). |
Где в реальной жизни может пригодиться извлечение корня? | Связь с практикой и функциональная грамотность. |
Какое задание вызвало наибольшее затруднение? | Выявление зон для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
«"Сегодня вы сделали важный шаг — научились 'разворачивать' квадраты. Это умение станет фундаментом для всей алгебры 8 класса. Помните, что корень — это не просто значок, а вопрос: 'Какое неотрицательное число при умножении на себя даст мне это?'. Если вы научитесь задавать этот вопрос, ошибки исчезнут. Спасибо за работу, до встречи!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 312, 315 (учебник) | Вычислить значения корней из целых чисел и десятичных дробей. |
Средний (повышающий) | № 318, 320 | Найти значения выражений, содержащих несколько корней и знаки действий. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-проект | Подготовить краткую справку: «Почему знак корня выглядит именно так? История символа радикала». |
Контрольный вопрос перед уходом: «При каких значениях x выражение √(x-5) имеет смысл?»