Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться составлять определённый интеграл для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной графиками функций и прямыми, вычислять его на примере и обосновывать выбор пределов интегрирования.
- Сформировать представление о площади криволинейной трапеции как определённом интеграле и установить формулу $S=\int_a^b f(x)\,dx$ при $f(x)\geq 0$.
- Научить находить точки пересечения графиков, определять верхнюю и нижнюю функции на отрезке и записывать площадь между двумя графиками в виде $S=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$.
- Развивать умение анализировать чертёж, выбирать способ решения, проверять результат по смыслу и аргументировать математические действия.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной работе, готовность проверять решение и связывать изучаемый материал с задачами профильного уровня и будущей профессиональной деятельностью.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и теоретическую ценность интеграла как инструмента измерения площадей сложных фигур.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору способа решения и ответственному отношению к математическому результату.
- Понимают необходимость аккуратного построения модели задачи перед выполнением вычислений.
- Формируют устойчивую учебную мотивацию через связь темы с заданиями профильного уровня и дальнейшим изучением математики.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные задачи: функции, границы фигуры, точки пересечения и взаимное положение графиков.
- Строят математическую модель площади, преобразуя геометрическую задачу в задачу вычисления определённого интеграла.
- Планируют последовательность решения, осуществляют самопроверку вычислений и оценивают правдоподобие ответа.
- Формулируют выводы в устной и письменной форме, аргументируют выбор пределов интегрирования и участвуют в математическом диалоге.
Предметные
- Знать формулу площади криволинейной трапеции $S=\int_a^b f(x)\,dx$ при неотрицательной функции на отрезке.
- Понимать, что площадь фигуры между графиками $y=f(x)$ и $y=g(x)$ вычисляется интегралом разности верхней и нижней функций.
- Уметь находить координаты точек пересечения графиков и использовать их как пределы интегрирования.
- Уметь вычислять площадь по первообразной, оформлять решение с чертежом и выполнять проверку знака и единиц площади.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную значимость умения переводить геометрическую ситуацию на язык функций и интегралов.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию связи между графиком функции и площадью.
- Оценивают собственную готовность к решению задач повышенной сложности.
- Соблюдают академическую честность при самостоятельной работе и взаимопроверке.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель решения и составляют алгоритм нахождения площади.
- Планируют действия: построение эскиза, поиск границ, определение верхней функции, запись интеграла, вычисление и проверка.
- Сопоставляют полученный результат с рисунком и исправляют ошибки в пределах интегрирования или знаках.
- Оценивают результат работы по заданным критериям и фиксируют индивидуальное затруднение.
Познавательные УУД
- Анализируют графики функций и устанавливают их взаимное расположение на отрезке.
- Выделяют общий способ вычисления площади криволинейной трапеции.
- Моделируют плоскую фигуру с помощью определённого интеграла.
- Сравнивают площади, найденные геометрически и аналитически, и выявляют причину возможной ошибки.
- Работают с текстом учебника, извлекая определение, формулу и условия её применения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные ответы с использованием терминов «первообразная», «пределы интегрирования», «верхняя функция».
- Обсуждают в парах разные варианты записи интеграла и доказывают корректность выбранного варианта.
- Задают уточняющие вопросы по чертежу и алгоритму решения.
- Осуществляют конструктивную взаимопроверку по критериям, не подменяя её сообщением готового ответа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник по алгебре для 11 класса и заранее определить фрагмент текста о применении определённого интеграла к вычислению площадей; номера страниц в плане не фиксировать.
- Подготовить презентацию или запись на доске с графиками $y=x^2$, $y=0$, $x=0$, $x=1$, а также с изображением области между графиками $y=x$ и $y=x^2$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту, всего по числу парт; на карточках разместить три задания с графиками и местом для чертежа.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: минимальный, базовый и повышенный — по одной на каждого ученика.
- Подготовить лист самопроверки с алгоритмом: построить эскиз, найти границы, определить верхнюю функцию, записать интеграл, вычислить, проверить ответ.
- Вывести на доску или экран памятку с формулами $S=\int_a^b f(x)\,dx$ и $S=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$.
- Подготовить маркеры, линейку, стикеры трёх цветов для приёма «Светофор», тетради и ручки.
- Организовать на доске место для схемы «График → границы → верхняя функция → интеграл → площадь».
- Подготовить таймер на 3 минуты для самостоятельной работы и эталон решений для поэтапной самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, показывающую необходимость нового способа вычисления площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. Сегодня мы будем работать не только с формулой, но и с графиками, поэтому приготовьте линейку. Ваша задача — не просто получить число, а объяснить, почему именно такой интеграл описывает данную площадь." | Записывают дату и тему, готовят учебник, тетрадь и линейку. |
2 мин | Учитель показывает на доске прямоугольник и криволинейную фигуру под графиком функции: "Площадь прямоугольника мы находим умножением длины на ширину. А как измерить фигуру, верхняя граница которой — график функции? Можно ли разбить её на бесконечно узкие полоски? Сегодня мы выясним, как на этот вопрос отвечает определённый интеграл." | Формулируют предположения: "Разбить фигуру на маленькие прямоугольники", "сложить площади полосок", «использовать интеграл». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что для прямолинейных границ геометрической формулы бывает достаточно, а для криволинейной границы нужен более универсальный способ. Сейчас вспомним, какие сведения об интеграле понадобятся для его открытия."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о первообразной, определённом интеграле и чтении графиков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устный опрос: "Назовите первообразную для функции $f(x)=2x$, а затем запишите формулу Ньютона–Лейбница. Что означает запись $\int_a^b f(x)\,dx$? Не торопитесь: нас интересует не только вычисление, но и геометрический смысл." | Отвечают: "Первообразная для $2x$ — $x^2+C$"; записывают $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$; формулируют, что интеграл связан с накоплением величины и площадью при неотрицательной функции. |
3 мин | Учитель выводит на экран график $y=x^2$ и задаёт вопросы: "На каком отрезке график расположен выше оси $Ox$? Где функция принимает наименьшее значение? Как по рисунку понять, какая функция выше — $y=x$ или $y=x^2$ — на отрезке $[0;1]$?" | Рассматривают график, отвечают: "На отрезке $[0;1]$ функция $x^2$ неотрицательна"; «на отрезке $[0;1]$ график $y=x$ расположен выше графика $y=x^2$»; объясняют ответ по значениям функций. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как вычислять интеграл по первообразной и как читать взаимное положение графиков. Теперь поставим вопрос: какие именно границы и какую именно функцию нужно выбрать, если площадь ограничена двумя графиками?"
Этап 3. Выявление проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при переходе от рисунка фигуры к аналитической записи площади и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Рассмотрите область, ограниченную графиками $y=x$, $y=x^2$ и осью $Oy$. Не вычисляя площадь, ответьте: какие точки задают границы по оси $Ox$? Какая функция должна быть первой в разности?" Учитель намеренно не сообщает алгоритм и предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | 30 секунд обдумывают решение, одну минуту обсуждают в парах, затем предлагают варианты: «границы $0$ и $1$», «на отрезке $[0;1]$ сверху находится $y=x$, поэтому разность должна быть $x-x^2$». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске разные предложения и спрашивает: "Почему запись $\int_0^1(x^2-x)\,dx$ не может дать площадь без дополнительного преобразования? Что должно быть положительным на всём отрезке? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Объясняют: «интеграл $x^2-x$ отрицателен на $[0;1]$, потому что нижняя функция вычтена из верхней»; формулируют цель: «научиться находить площадь между графиками через интеграл разности функций». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в вычислении первообразной, а в построении математической модели фигуры. Наш план таков: построить эскиз, найти точки пересечения, определить верхнюю и нижнюю функции, записать интеграл и вычислить его."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: совместно вывести формулы площади криволинейной трапеции и области между двумя графиками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к тексту учебника и к схеме на доске: "Прочитайте фрагмент о геометрическом смысле определённого интеграла. Найдите условие, при котором интеграл равен площади: функция должна быть непрерывной и неотрицательной на отрезке. Посмотрите на рисунок: вертикальные полоски имеют ширину $dx$, а их высоты задаются значениями функции. Поэтому сумма площадей полосок в пределе приводит к формуле $S=\int_a^b f(x)\,dx$." | Читают фрагмент учебника, выделяют условия применения формулы, соотносят элементы рисунка с формулой и записывают вывод. |
3 мин | Учитель строит на доске графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$: "Если на всём отрезке $[a;b]$ график $f$ выше графика $g$, высота каждой вертикальной полоски равна $f(x)-g(x)$. Значит, площадь между графиками равна $S=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$. Запомните: сначала устанавливаем положение графиков, а уже потом записываем разность." | Записывают формулу, подписывают на схеме верхнюю и нижнюю функции, проговаривают: «площадь — это интеграл верхней функции минус нижней». |
3 мин | Учитель вместе с классом разбирает пример: "Найдём площадь области, ограниченной $y=x$ и $y=x^2$. Сначала решаем уравнение пересечения: $x=x^2$, откуда $x=0$ и $x=1$. На отрезке $[0;1]$ функция $x$ выше функции $x^2$. Поэтому $S=\int_0^1(x-x^2)\,dx$. Вычислите этот интеграл вместе со мной." | Решают в тетрадях: $S=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)_0^1=\frac12- rac13=\frac16$. Формулируют ответ: «площадь равна $\frac16$ квадратной единицы». |
Запись в тетрадях
- Для $f(x)\geq0$ на $[a;b]$: $S=\int_a^b f(x)\,dx$.
- Если область ограничена графиками $y=f(x)$ и $y=g(x)$, причём $f(x)\geq g(x)$ на $[a;b]$, то $S=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$.
- Алгоритм: построить эскиз; найти точки пересечения; определить верхнюю и нижнюю функции; записать интеграл; вычислить и проверить результат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула стала понятной после анализа высоты вертикальной полоски. Теперь проверим её в типовых заданиях: сначала вместе, затем самостоятельно, чтобы каждый смог увидеть собственную точку затруднения."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм выбора границ и порядка функций на конкретных заданиях с опорой на учебник.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт парные карточки и говорит: "Работаем по алгоритму на доске. В каждом задании обязательно сделайте эскиз, даже если график можно представить мысленно. Учебник используйте как опору для определения первообразных и свойств графиков. Взаимопроверка начнётся после сигнала таймера." | Получают карточки, распределяют роли: один строит эскиз и ищет границы, второй записывает интеграл; затем меняются ролями. |
3 мин | Учитель предлагает задания: "Задание 1: найти площадь области, ограниченной $y=2x$, $x=0$, $x=2$ и осью $Ox$. Задание 2: записать и вычислить площадь области между $y=4-x^2$ и осью $Ox$. Начните с определения точек пересечения с осью." | Решают задания. Для первого получают $S=\int_0^2 2x\,dx=4$. Для второго находят $x=-2$ и $x=2$, записывают $S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте четыре позиции: есть ли эскиз, верно ли найдены границы, правильно ли выбрана функция, совпадает ли вычисленный ответ. Поставьте две звезды за сильные стороны и одно пожелание, если обнаружили конкретную ошибку." | Проверяют карточки по четырём позициям, записывают две сильные стороны и один конкретный совет, возвращают работу авторам и исправляют найденные ошибки. |
Эталон решения
Задание 1: $y=2x$ на $[0;2]$, функция неотрицательна. $S=\int_0^2 2x\,dx=\left(x^2\right)_0^2=4$. Задание 2: $4-x^2=0$, поэтому $x=-2$ и $x=2$. График расположен выше оси $Ox$: $S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)_{-2}^{2}=\frac{32}{3}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что главная ошибка обычно возникает до вычисления — при выборе границ или порядка функций. Сейчас каждый выполнит короткую самостоятельную работу без подсказки партнёра, а затем сравнит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и организовать содержательную самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Выберите уровень, который соответствует вашей готовности: минимальный — записать интеграл по готовому рисунку; базовый — полностью решить задачу; повышенный — самостоятельно разбить область на части. Выбор уровня не влияет на вашу самооценку: важно увидеть, что уже получается и что нужно повторить." | Выбирают уровень, подписывают карточку и читают условие. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Минимальный уровень: по рисунку области под $y=3x$ на $[0;1]$ записать интеграл. Базовый уровень: найти площадь области, ограниченной $y=x+2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Повышенный уровень: найти площадь области, ограниченной $y=x^2-4$ и осью $Ox$. Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы: "Какая линия является верхней? Почему пределы именно такие?" | Минимальный уровень: записывают $\int_0^1 3x\,dx$. Базовый уровень: строят эскиз, записывают $\int_0^2(x+2)\,dx$ и получают $6$. Повышенный уровень: находят точки $x=-2$ и $x=2$, учитывают, что функция на отрезке отрицательна, и делают вывод, что площадь равна $\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}$. |
3 мин | Учитель показывает эталон и проводит самопроверку: "Проверьте не только ответ. Отметьте галочкой каждый верный шаг: рисунок, границы, порядок функций, первообразная, вычисление. Если ошибка есть, зачеркните только ошибочный шаг и рядом напишите, какое правило нужно повторить." | Сверяют решения с эталоном, отмечают верные шаги, исправляют одну ошибку с пояснением причины, ставят на полях знак «+», «?» или «−». |
Эталон решения
Для области между $y=x+2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$: функция $x+2$ положительна на $[0;2]$, поэтому $S=\int_0^2(x+2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)_0^2=2+4=6$. Для области, ограниченной $y=x^2-4$ и осью $Ox$, график находится ниже оси, поэтому площадь записывается как $S=\int_{-2}^{2}(0-(x^2-4))\,dx=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вычислительная часть опирается на уже знакомую формулу Ньютона–Лейбница. Ключевой шаг — правильно описать фигуру на координатной плоскости. Завершим урок рефлексией и проверим, какой элемент алгоритма стал для вас самым надёжным."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, зафиксировать затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если вы можете самостоятельно построить модель площади; жёлтую — если понимаете идею, но сомневаетесь в границах или порядке функций; красную — если нужна повторная совместная работа. Теперь одним предложением объясните свой цвет соседу." | Поднимают карточки, объясняют партнёру причину выбора: «зелёный — уверенно нахожу пересечения», «жёлтый — путаю верхнюю функцию», «красный — пока не связываю рисунок с интегралом». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что является пределами интегрирования? Почему площадь нельзя получать отрицательной? Как изменится запись, если графики пересекаются внутри отрезка?" Учитель фиксирует на доске три ключевых слова: «границы», «верхняя функция», «проверка». | Отвечают: «пределы задаются абсциссами границ области или точек пересечения»; «площадь неотрицательна, поэтому вычитаем нижнюю функцию из верхней»; «отрезок нужно разбить на части и записать сумму интегралов, если порядок графиков меняется». |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и при желании один повышающий. Во всех задачах делайте эскиз и подписывайте, откуда взялись пределы. На следующем уроке мы разберём случаи, когда область приходится разбивать на несколько частей." | Записывают домашнее задание и контрольные вопросы, уточняют непонятные условия. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все выбранные задания, построены содержательные эскизы, верно найдены границы и верхняя функция, интегралы вычислены без ошибок, ответ записан с единицами площади и приведена проверка.
- «4» — правильно решены основные задания, но допущена одна вычислительная неточность или неполно оформлен эскиз; способ составления интеграла и границы выбраны верно.
- «3» — верно определена общая идея и составлен хотя бы один корректный интеграл, но допущены ошибки в нахождении точек пересечения, порядке функций или вычислении первообразной.
- Ниже базового уровня — решение не содержит устойчивого алгоритма; ученик вместе с учителем повторяет построение эскиза и выбор границ по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи определённого интеграла и площади? | Выявление осознания геометрического смысла интеграла. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым сложным: построение эскиза, нахождение границ, выбор верхней функции или вычисление? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Почему в формуле площади между графиками нужно вычитать нижнюю функцию из верхней? | Проверка понимания модели вертикальной полоски и неотрицательности площади. |
Как вы проверите себя, если получили отрицательную площадь? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции решения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что определённый интеграл позволяет измерять площади фигур с криволинейными границами. Главная опора решения — не механическое вычисление, а грамотный переход от рисунка к модели: найти границы, определить верхнюю и нижнюю функции, записать интеграл и проверить знак результата. Типичная ошибка — начать считать, не разобравшись, какая функция находится выше на выбранном отрезке. На следующем уроке мы рассмотрим области, в которых графики пересекаются несколько раз и требуют разбиения на части."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на площадь области под графиком неотрицательной функции, ограниченной осью $Ox$ и двумя вертикальными прямыми; в каждой задаче построить эскиз и записать определённый интеграл. | Закрепляет формулу $S=\int_a^b f(x)\,dx$, поиск пределов и вычисление по первообразной; при проверке смотреть на знак функции и оформление границ. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на площадь между двумя графиками: найти точки пересечения, определить верхнюю функцию на отрезке и вычислить интеграл разности. | Формирует полный алгоритм решения; при проверке обратить внимание на эскиз, порядок вычитания и соответствие ответа площади рисунка. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 1–2 задачи, в которых графики пересекаются в двух или более точках либо область требуется разбить на две части; отдельно записать сумму интегралов по частям. | Развивает анализ и самостоятельное построение математической модели; при проверке оценивать обоснование разбиения области и согласованность пределов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие величины задают пределы интегрирования?», «Как определить верхнюю функцию по графику?», «Что делать, если функция расположена ниже оси $Ox$?», «Какие три шага нужно выполнить до вычисления первообразной?»
