Логарифмическая функция: свойства, график и преобразование логарифмических выражений
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся построят схематический график логарифмической функции, сформулируют её основные свойства, выполнят не менее трёх преобразований логарифмических выражений и решат по одному логарифмическому уравнению и неравенству с обоснованием ОДЗ.
- Сформировать представление о функции $y=\log_a x$, её области определения, множестве значений, монотонности и взаимном расположении графиков при $a>1$ и $0<a<1$.
- Научить применять определения десятичного и натурального логарифмов, а также формулы суммы, разности и степени логарифма при преобразовании выражений.
- Развивать умение устанавливать ОДЗ, выбирать способ решения логарифмических уравнений и неравенств, проверять полученный результат.
- Формировать ответственное отношение к математическому обоснованию решения и осознанную связь темы с дальнейшим изучением математики, информатики и естественных наук.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение логарифмов как инструмента описания процессов, связанных с масштабами, ростом и измерениями.
- Проявляют готовность обосновывать решение, а не ограничиваться записью ответа.
- Оценивают собственную готовность применять тему при изучении математического анализа и решении задач повышенной сложности.
- Развивают устойчивость к затруднениям и самостоятельность при выборе способа преобразования выражения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из графика, формулы и таблицы свойств, сопоставляя разные способы представления объекта.
- Планируют решение логарифмического уравнения или неравенства с учётом ОДЗ и выполняют пошаговую проверку.
- Аргументированно обсуждают решение в паре, формулируют вопросы и корректно оценивают предложение партнёра.
- Используют графический калькулятор или динамическую модель для проверки гипотезы, не заменяя цифровую проверку математическим доказательством.
Предметные
- Знать определение логарифма числа и условия существования выражения $\log_a b$.
- Уметь описывать свойства функции $y=\log_a x$ и строить её схематический график при разных основаниях.
- Владеть формулами $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^r=r\log_a x$.
- Уметь преобразовывать выражения с десятичными и натуральными логарифмами, решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства с проверкой ОДЗ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный дефицит: понимание свойств функции, преобразования или решение неравенств.
- Связывают точность математического рассуждения с ответственностью за результат будущей учебной и профессиональной деятельности.
- Проявляют интерес к исследованию зависимости графика от основания логарифма.
- Осознают ценность взаимопомощи при сохранении личной ответственности за решение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования графика и критерии успешного решения.
- Планируют последовательность: ОДЗ, преобразование или переход к равносильному виду, проверка.
- Сопоставляют собственное решение с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют способ решения после обсуждения в паре или анализа графической проверки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки логарифмической функции по формуле и графику.
- Сравнивают случаи $a>1$ и $0<a<1$, строят таблицу различий.
- Моделируют график по опорным точкам $(1;0)$ и $(a;1)$.
- Преобразуют логарифмические выражения и устанавливают допустимые значения переменных.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один выполняет преобразование, другой контролирует ОДЗ и обоснование.
- Формулируют доказательное объяснение выбора знака неравенства.
- Задают уточняющие вопросы и сравнивают два способа решения без перехода на оценку личности.
- Представляют общий вывод пары классу в течение одной минуты.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную модель графика $y=\log_a x$ с возможностью менять основание в диапазонах $a>1$ и $0<a<1$.
- Вывести на доску формулы определения логарифма, основные свойства и алгоритм решения логарифмического уравнения.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить лист самопроверки с ОДЗ и эталонами для двух уравнений, одного неравенства и двух преобразований.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёный — понял, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется объяснение.
- Разместить на экране короткий межпредметный пример: шкала кислотности, уровень звука или интенсивность сигнала как логарифмическая шкала.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной работы и самостоятельной проверки.
- Организовать свободное пространство у доски для физкультминутки и подготовить проектор, ноутбук и интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую значимость логарифмов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто вспоминать формулы, а исследовать функцию, которая помогает сравнивать очень большие и очень малые величины. Проверьте готовность: тетрадь, ручка, калькулятор или устройство для цифровой проверки. На экране вы видите шкалу, где увеличение значения на один шаг означает умножение исходной величины в несколько раз." | Проверяют готовность, рассматривают шкалу на экране, формулируют предположение: "Шкала связана с логарифмом, потому что шаги соответствуют степеням одного числа". |
2 мин | Учитель показывает интерактивную модель и говорит: "Посмотрите, как меняется график при выборе оснований 2 и 0,5. Что сохраняется, а что изменяется? Запишите один вопрос, на который хотите получить ответ к концу урока. Приём называется «Проблемный вопрос»." | Наблюдают за моделью, записывают вопрос: "Почему график проходит через точку $(1;0)$?" или "Почему при основании меньше единицы функция убывает?". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно и то же математическое понятие описывает и формулу, и график, и реальные шкалы. Теперь проверим, какие знания о степенях помогут нам открыть свойства логарифмической функции."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения степени и логарифма, необходимые для построения графика и решения задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку: "Вычислите устно: $2^3$, $10^2$, $e^0$. Какое число является основанием степени? Вспомните, что означает запись $\log_a b=c$. Назовите условия существования логарифма." Учитель фиксирует ответы в кластере на доске. | Вычисляют и отвечают: "$8$, $100$, $1$"; формулируют: "$\log_a b=c$ означает $a^c=b$; $a>0$, $a\ne1$, $b>0$". |
3 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточки: "Сопоставьте записи $\log_2 8$, $\log_{10}1000$, $\ln e$ с ответами. Затем объясните, почему выражение $\log_{-2}4$ не имеет смысла в изучаемой модели. Отметьте место возможного затруднения." | В парах сопоставляют значения $3$, $3$, $1$, записывают условия существования и объясняют: "Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определение логарифма мы помним, но пока не ответили полностью, как из него получить свойства функции и как действовать в уравнениях и неравенствах. Зафиксируем цель исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и спланировать открытие свойств логарифмической функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемную задачу: "Рассмотрите уравнение $\log_2 x=3$. Как найти $x$ без подбора? А как решить $\log_{0,5}x=-2$? Теперь представьте неравенство $\log_a x>1$. Одинаково ли оно решается при $a>1$ и $0<a<1$?" | Индивидуально записывают гипотезу, затем обсуждают её в парах. Предполагают: "Нужно перейти к степени; знак неравенства зависит от монотонности функции". |
2 мин | Учитель оформляет на доске план: "Сегодня мы построим график, установим свойства, выведем формулы преобразования и применим их к уравнению и неравенству. Критерий успеха — решение с ОДЗ и объяснением каждого перехода." | Записывают тему и план, формулируют личную цель: "Научиться определять монотонность и использовать её при решении неравенств". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно связать определение логарифма с графиком и равносильными преобразованиями. Переходим к открытию нового знания."
Этап 4. Открытие нового знания: свойства и график (9 мин)
Цель этапа: вывести основные свойства функции $y=\log_a x$ через исследование формулы и цифровой модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель строит на доске таблицу значений: "Возьмём $a=2$. Если $x=1$, то $y=0$; если $x=2$, то $y=1$; если $x=4$, то $y=2$. Теперь изменим основание на $0,5$. Какие точки сохраняются? Как меняется направление графика?" Учитель демонстрирует оба графика на интерактивной доске. | Строят таблицу и отмечают точки $(1;0)$, $(a;1)$, для основания $2$ формулируют: "Функция возрастает"; для основания $0,5$: "Функция убывает". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы Сократовского диалога: "Может ли аргумент быть нулём? Может ли он быть отрицательным? Какие значения принимает функция? Как связаны графики $y=a^x$ и $y=\log_a x$?" | Отвечают: "Область определения $x>0$; отрицательные и нулевые значения аргумента недопустимы; область значений — все действительные числа; графики являются взаимно обратными и симметричны относительно $y=x$". |
2 мин | Учитель записывает на доске шпаргалку-напоминание: "При $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ — убывает; $D(f)=(0;+\infty)$, $E(f)=\mathbb R$, $\log_a1=0$, $\log_a a=1$." Просит назвать следствие для неравенств. | Фиксируют свойства, формулируют вывод: "При основании больше единицы знак сохраняется, при основании от нуля до единицы знак меняется". |
Запись в тетрадях
Записывают: $y=\log_a x$, где $a>0$, $a\ne1$, $x>0$; $D(f)=(0;+\infty)$; $E(f)=\mathbb R$; точка $(1;0)$ принадлежит графику; при $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ убывает.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили, что направление графика определяет основание. Теперь используем это свойство не только для чтения графика, но и для преобразования выражений, уравнений и неравенств."
Этап 5. Первичное закрепление и парная работа (8 мин)
Цель этапа: применить свойства логарифмов и монотонность функции в типовых заданиях с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки парам и говорит: "Выполните преобразования, проговаривая основание каждого шага: $\log_2 8+\log_2 4$, $\log_3 27-\log_3 3$, $2\log_5 5$. Один ученик преобразует, второй проверяет ОДЗ и формулу, затем поменяйтесь ролями." | В парах получают ответы $5$, $2$, $2$, проговаривают: "$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$; $\log_a x^r=r\log_a x$". |
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Решите уравнение $\log_3(x-1)=2$. Запишите ОДЗ, переход к показательной форме и проверку." После работы показывает эталон. | Решают: ОДЗ $x>1$; $x-1=3^2$; $x=10$; проверяют, что $10>1$. |
2 мин | Учитель задаёт неравенство: "$\log_{0,5}(x+1)\geq -1$. Обсудите в паре, почему при переходе к показательной форме знак изменится." | Записывают ОДЗ $x>-1$, так как функция убывает: $x+1\leq(0,5)^{-1}=2$; получают $-1<x\leq1$. Объясняют изменение знака монотонностью. |
Эталон решения
Уравнение: $\log_3(x-1)=2$. ОДЗ: $x-1>0$, то есть $x>1$. По определению логарифма $x-1=3^2=9$, поэтому $x=10$. Число $10$ удовлетворяет ОДЗ, значит, ответ $x=10$. Неравенство: $\log_{0,5}(x+1)\geq-1$. ОДЗ: $x>-1$. Так как $0<0,5<1$, функция убывает, поэтому $x+1\leq(0,5)^{-1}=2$. С учётом ОДЗ получаем $-1<x\leq1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В каждом решении обязательны три элемента: ОДЗ, равносильный переход и проверка. Сейчас каждый самостоятельно покажет, может ли выполнить этот алгоритм без подсказки."
Этап 6. Физкультминутка и самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: снять напряжение, затем диагностировать индивидуальное освоение темы на заданиях разных уровней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте. Если я называю верное свойство функции при $a>1$, поднимите руки вверх; если верное свойство при $0<a<1$, выполните наклон вправо. Функция возрастает; область определения — все числа; график проходит через $(1;0)$; функция убывает." | Выполняют движения по инструкции, проговаривают корректировки: "Область определения — положительные числа". |
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Минимум: вычислите $\log_{10}1000$ и $\ln e^4$. Базовый уровень: решите $\log_2(x+2)=3$ и преобразуйте $\log_3 9+\log_3 x$. Повышенный уровень: решите $\log_{0,25}(x-1)<-1$. Обязательно укажите ОДЗ." | Самостоятельно выполняют выбранный обязательный и базовый блок, желающие берут повышенный. Получают результаты: $3$, $4$; $x=6$; $\log_3(9x)$ при $x>0$; для неравенства $1<x<5$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и ход решения. Поставьте знак рядом с каждым пунктом: ОДЗ, преобразование, проверка. Поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку." | Сверяют решение, отмечают ошибки и исправляют их. Показывают цвет самооценки, формулируют затруднение: "Нужно повторить смену знака при основании меньше единицы". |
Эталон решения
Для $\log_2(x+2)=3$: ОДЗ $x>-2$; $x+2=2^3=8$; $x=6$. Для $\log_{0,25}(x-1)<-1$: ОДЗ $x>1$; поскольку $0<0,25<1$, имеем $x-1>(0,25)^{-1}=4$; следовательно, $x>5$. При проверке важно отметить, что ответ должен быть $x>5$, а не $1<x<5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что определение логарифма уже используется уверенно, а главным источником ошибок остаётся учёт монотонности. Завершим урок осмыслением результата и планом дальнейшей тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы действий, зафиксировать затруднения и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная бумага»: "Запишите два завершения фраз: «Теперь я умею…» и «Мне нужно ещё потренироваться…». Отдельно ответьте, почему знак неравенства меняется при основании от нуля до единицы." | Пишут ответы: "Теперь я умею строить график и решать простейшее уравнение"; "Мне нужно потренировать ОДЗ"; объясняют роль убывания функции. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему график проходит через $(1;0)$ и почему уравнение $\log_a x=b$ сводится к $x=a^b$?" | Отвечают: "$\log_a1=0$, потому что $a^0=1$; по определению логарифма $\log_a x=b$ означает $a^b=x$". |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и говорит: "Выберите уровень с учётом своей самооценки. Базовый обязателен, повышающий и дополнительный позволяют расширить практику. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: что вы проверите первым в любом логарифмическом уравнении?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Сначала ОДЗ"; сдают стикер или называют личную цель тренировки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы связали определение логарифма, график, свойства и алгоритмы решения. В следующей работе будем исследовать более сложные уравнения, где потребуется применять несколько свойств и внимательно проверять равносильность преобразований."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все обязательные задания карточки, в уравнении и неравенстве записаны ОДЗ, обоснована монотонность, преобразования выполнены без ошибок и ответ проверен.
- "4" — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но алгоритм, ОДЗ и выбор знака неравенства обоснованы.
- "3" — выполнено не менее 60% обязательных заданий, допущены ошибки в одном из этапов решения, однако определение логарифма и основные свойства в целом применены верно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о зависимости графика от основания логарифма? | Проверка понимания различий между случаями $a>1$ и $0<a<1$. |
Какое действие вы выполняете первым при решении логарифмического уравнения? | Выявление сформированности алгоритма и понимания роли ОДЗ. |
В каком месте самостоятельной работы возникло затруднение? | Диагностика точек затруднения в преобразовании или выборе знака неравенства. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценка субъективной готовности и развитие навыка самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что логарифмическая функция определяется не только формулой, но и системой свойств, которые позволяют исследовать её график и решать задачи. Особенно важно не пропускать ОДЗ и помнить: при основании от нуля до единицы функция убывает, поэтому знак неравенства меняется. Если сейчас решение получилось не полностью, это не ошибка в развитии — зафиксируйте конкретный шаг для тренировки. На следующем уроке мы перейдём к более сложным логарифмическим уравнениям и неравенствам и будем сравнивать несколько способов их решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: вычислить два логарифма, построить схематический график $y=\log_2x$ и $y=\log_{0,5}x$, решить одно уравнение вида $\log_a(x+b)=c$ с записью ОДЗ. | Закрепляет определение логарифма, свойства графика и базовый алгоритм решения; при проверке смотреть на ОДЗ и точность ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач на преобразование сумм и разностей логарифмов, а также на решение двух логарифмических неравенств с основаниями больше единицы и меньше единицы. | Формирует умение применять формулы и учитывать монотонность; при проверке смотреть на равносильность переходов и интервальный ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Подготовить краткое исследование на одну страницу: сравнить графики $y=\log_2x$, $y=\log_{10}x$ и $y=\ln x$, составить таблицу сходств и различий и привести один пример использования логарифмической шкалы в естественных науках или информатике. | Развивает исследовательское и межпредметное мышление; при проверке смотреть на корректность свойств, графическое обоснование и самостоятельность примера. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Каковы область определения и область значений функции $y=\log_a x$?», «В каком случае логарифмическая функция убывает?», «Почему ОДЗ необходимо записывать до преобразований?», «Чему равны $\lg 1000$ и $\ln e$?»
