Производная суммы, произведения, частного функций и применение производной к исследованию функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять правила дифференцирования суммы, произведения и частного функций, исследовать функцию на промежутки монотонности и экстремумы, а также находить её наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке.
- Установить и обосновать правила вычисления производной суммы, произведения и частного функций.
- Сформировать алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы по знаку производной.
- Научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке с учётом критических точек и концов отрезка.
- Развивать умение анализировать математическую модель, аргументировать выбор способа решения и проверять полученный результат с помощью графика или цифрового инструмента.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность производной как инструмента анализа изменения величин и оптимизации процессов.
- Проявляют ответственность за точность вычислений и обоснованность математических выводов.
- Развивают готовность к самостоятельному выбору способа решения сложной задачи.
- Осознают связь изучаемого материала с дальнейшим обучением в технических, экономических и естественно-научных направлениях.
Метапредметные
- Умеют выделять существенные данные, строить план исследования функции и фиксировать результаты в таблице или схеме.
- Используют знаково-символические средства для записи формул, промежутков монотонности и координат экстремумов.
- Сопоставляют аналитическое решение с графическим представлением и выявляют возможные ошибки.
- Аргументируют выводы в устной и письменной форме, участвуют в обсуждении решения и осуществляют самопроверку.
Предметные
- Знать правила $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$ и $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ при $v\ne0$.
- Уметь находить производную сложного выражения, состоящего из суммы, произведения и частного элементарных функций.
- Уметь находить критические точки и определять промежутки возрастания и убывания функции по знаку производной.
- Уметь находить точки максимума и минимума и вычислять наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- Уметь оформлять исследование функции в виде последовательности действий, таблицы знаков и обоснованного вывода.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают значение производной для описания изменения процессов и выбора оптимального решения.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию функций и готовность преодолевать затруднения.
- Оценивают собственный вклад в групповое обсуждение и качество выполненной математической работы.
- Формируют ответственное отношение к проверке вычислений и записи ответа.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель исследования функции и планируют последовательность действий.
- Контролируют правильность нахождения области определения, производной и критических точек.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибки в знаках производной.
- Оценивают степень достижения цели урока и определяют действие, требующее дополнительной тренировки.
Познавательные УУД
- Выводят правила дифференцирования на основе известных свойств производной.
- Классифицируют выражения по структуре: сумма, произведение или частное.
- Строят таблицу знаков производной и используют её для получения свойств функции.
- Моделируют поведение функции с помощью графика и сопоставляют его с аналитическим исследованием.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о месте и причине затруднения в решении.
- Объясняют партнёру последовательность исследования функции и обосновывают каждый шаг.
- Согласовывают общий вариант решения в группе и корректно оценивают предложения одноклассников.
- Используют математическую терминологию при защите решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с графиками функций $y=x^2$, $y=x^3-3x$ и рациональной функции, а также с пустыми таблицами знаков производной.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: базовые производные, исследование функции на монотонность и экстремумы, задача на наибольшее и наименьшее значение; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки для работы в парах с выражениями $f(x)=x^2+\sin x$, $g(x)=x^2\cos x$ и $h(x)=(x^2+1)/(x-1)$.
- Вывести на доску или подготовить отдельный слайд с памяткой: область определения → производная → критические точки → знаки производной → монотонность и экстремумы → значения на концах и в критических точках.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «Я умею находить производную», «Я умею определять знак производной», «Я умею находить экстремумы», «Я умею исследовать функцию на отрезке» — по одному на ученика.
- Подготовить QR-код или ссылку на интерактивный графический сервис для проверки графика функции; предусмотреть работу в парах при недостатке устройств.
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры трёх цветов и эталон самостоятельной работы для поэтапной самопроверки.
- Проверить готовность проектора, ноутбука, интерактивной доски и доступа к графическому сервису.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл производной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не только с формулами, но и с поведением функций. На экране вы видите график некоторой величины, зависящей от времени. Подумайте, как определить моменты роста, снижения и наибольшего значения, не перебирая множество точек." | Рассматривают график, формулируют предположения: "Нужно определить наклон графика", "Можно использовать производную". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Какие сведения о производной уже позволяют исследовать функцию? Какая информация пока отсутствует?" Учитель фиксирует на доске ключевые слова: «знак производной», «критическая точка», «экстремум», «концы отрезка». | Индивидуально формулируют идеи, обсуждают их в парах и сообщают классу: "Если производная положительна, функция возрастает", "В точке экстремума производная может быть равна нулю", "Для отрезка нужно проверить его концы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что производная описывает характер изменения функции. Сегодня нам предстоит связать правила вычисления производной с полноценным исследованием функции и научиться находить её лучшие и худшие значения на отрезке."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать базовые правила дифференцирования и обнаружить необходимость систематизации новых правил.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на доску выражения: $f(x)=x^3-4x+7$, $g(x)=x^2\sin x$, $h(x)=(x^2+1)/(x-1)$. Реплика: "Запишите выражения и определите, какое правило потребуется для каждого. Не вычисляйте производные сразу: сначала назовите структуру." | Определяют структуру выражений: «сумма», «произведение», «частное»; объясняют, что для первого выражения достаточно правила суммы, а для двух других нужны новые правила. |
2 мин | Учитель предлагает устно восстановить известные производные: "Назовите производные $x^n$, $\sin x$, $\cos x$ и константы. Почему в выражении-сумме можно дифференцировать слагаемые отдельно?" | Отвечают: "$((x^n))'=nx^{n-1}$", "$((\sin x))'=\cos x$", "$((\cos x))'=-\sin x$", «производная константы равна нулю». Формулируют свойство линейности производной. |
2 мин | Учитель просит пары решить выражение $p(x)=x^2\sin x$ и сравнить два ошибочных варианта: $p'(x)=2x\cos x$ и $p'(x)=2x\sin x$. Реплика: "Выберите верный вариант и объясните, какая часть выражения была потеряна в ошибочном решении." | В парах исправляют решение и получают $p'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Объясняют: «При дифференцировании произведения нужно сохранить оба слагаемых». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Одного правила суммы недостаточно: структура произведения и частного требует специальных действий. Теперь сформулируем, как вывести и применять эти правила без механического заучивания."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно построить план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает функцию $F(x)=(x^2+1)/(x-1)$ и спрашивает: "Как исследовать эту функцию, если мы пока не умеем уверенно находить производную частного? Можно ли определить её промежутки возрастания и убывания только по формуле? Какой вопрос становится главным?" | Формулируют проблему: «Нужно научиться находить производную частного и использовать её знак». Предполагают: «Сначала найдём область определения, затем производную и её нули». |
2 мин | Учитель записывает на доске план: "Сегодня мы выведем правила суммы, произведения и частного; составим алгоритм исследования функции; применим его к функции на отрезке; проверим график цифровым инструментом. Сформулируйте цель урока одним предложением." | Записывают тему и цель, предлагают формулировку: «Научиться по производной исследовать функцию и находить её экстремальные значения на отрезке». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён. Двигаемся от правила дифференцирования к таблице знаков, а затем — к числовому ответу задачи на отрезке."
Этап 4. Открытие нового знания и работа с ИКТ (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмысленно применить правила дифференцирования, связав знак производной с графическим поведением функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует работу в парах и раздаёт карточки с тремя выражениями. Реплика: "Для суммы используйте линейность производной. Для произведения рассмотрите приращение каждого множителя: один множитель изменяется, пока второй остаётся неизменным, и наоборот. Запишите итоговое правило и примените его к $g(x)=x^2\cos x$." Учитель фиксирует на доске $(uv)'=u'v+uv'$. | В парах выводят и записывают правило произведения, находят $g'(x)=2x\cos x-x^2\sin x$, проговаривают: «Производная первого множителя умножается на второй, затем прибавляется произведение первого множителя на производную второго». |
3 мин | Учитель обращается к правилу частного: "Представьте частное как произведение числителя на обратную величину знаменателя и используйте правило произведения. Получите формулу для $(u/v)'$. На что нужно обратить внимание при записи области определения?" | Выводят формулу $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$, отмечают условие $v\ne0$, применяют её к $h(x)=(x^2+1)/(x-1)$ и получают $h'(x)=(2x(x-1)-(x^2+1))/(x-1)^2=(x^2-2x-1)/(x-1)^2$. |
3 мин | Учитель демонстрирует на экране график $y=x^3-3x$ и график его производной $y'=3x^2-3$: "Сравните знак производной и направление движения исходного графика. Затем измените масштаб и проверьте, где расположены точки экстремума. Используйте графический сервис только для проверки, а не вместо обоснования." | Работают в парах с графическим сервисом, находят нули производной $x=-1$ и $x=1$, формулируют: «На $(-\infty,-1)$ функция возрастает, на $(-1,1)$ убывает, на $(1,+\infty)$ возрастает; в $x=-1$ максимум, в $x=1$ минимум». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают правила: $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$, $v\ne0$. Ниже записывают алгоритм исследования: 1) область определения; 2) производная; 3) критические точки; 4) интервалы знакопостоянства производной; 5) монотонность и экстремумы; 6) значения в критических точках и на концах отрезка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правила дают нам производную, а знак производной — информацию о поведении функции. Теперь проверим алгоритм на конкретной задаче и проговорим каждый шаг так, чтобы его можно было воспроизвести самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление: исследование функции (8 мин)
Цель этапа: отработать полный алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Исследуйте на промежутки монотонности и экстремумы функцию $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$. Работайте в парах. Первый ученик отвечает за вычисления, второй — за таблицу знаков, затем поменяйтесь ролями." | Записывают область определения $D(f)=\mathbb R$, находят производную $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ и критические точки $x=-1$, $x=3$. |
3 мин | Учитель задаёт наводящие вопросы: "Как знаки двух линейных множителей меняются на числовой прямой? На каких промежутках производная положительна? Где функция возрастает, а где убывает?" Учитель контролирует заполнение таблицы знаков. | Строят таблицу знаков: $f'(x)>0$ на $(-\infty,-1)$ и $(3,+\infty)$, $f'(x)<0$ на $(-1,3)$. Формулируют вывод: «Функция возрастает на $(-\infty,-1)$ и $(3,+\infty)$, убывает на $(-1,3)$». |
3 мин | Учитель просит вычислить значения в критических точках и назвать экстремумы: "Не ограничивайтесь координатой $x$. Найдите значение функции и оформите точки экстремума полностью." | Вычисляют $f(-1)=10$, $f(3)=-22$. Делают вывод: «Точка максимума $(-1;10)$, точка минимума $(3;-22)$». |
Эталон решения
$D(f)=\mathbb R$. $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$. Критические точки: $x=-1$ и $x=3$. Знак производной: «плюс» на $(-\infty,-1)$, «минус» на $(-1,3)$, «плюс» на $(3,+\infty)$. Поэтому функция возрастает на $(-\infty,-1)$ и $(3,+\infty)$, убывает на $(-1,3)$. Так как знак меняется с плюса на минус, при $x=-1$ максимум: $f(-1)=10$. Так как знак меняется с минуса на плюс, при $x=3$ минимум: $f(3)=-22$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы исследовали функцию по полному алгоритму и увидели, что экстремум определяется не самим равенством производной нулю, а сменой её знака. Теперь применим тот же подход к поиску наибольшего и наименьшего значения на ограниченном отрезке."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: самостоятельно применить правила дифференцирования и алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, который позволит вам работать с усилием, но без потери качества. Во всех вариантах сначала укажите область определения, затем найдите производную. Ответ должен содержать не только число, но и обоснование." | Выбирают карточку, записывают вариант и приступают к индивидуальной работе. |
5 мин | Учитель предлагает базовый вариант: "Для $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-2;4]$. Для повышенного варианта исследуйте $g(x)=x^2+4x+1$ на отрезке $[-5;1]$. Для дополнительного варианта исследуйте $h(x)=(x^2+1)/(x-1)$ на отрезке $[0;2]$, учитывая разрыв в точке $x=1$." | Индивидуально находят производную, критические точки, вычисляют значения функции в критических точках, попавших в отрезок, и на его концах. В дополнительном варианте отмечают, что функция не определена в $x=1$, поэтому отрезок разбивается областью определения. |
3 мин | Учитель выводит эталон поэтапно и организует самопроверку: "Сверяйте не только конечный ответ. Отметьте зелёным правильные шаги, жёлтым — шаги, требующие уточнения, красным — ошибку, которую вы можете объяснить и исправить." | Сверяют решение, исправляют вычисления, ставят цветовую отметку в листе работы и формулируют вопрос по затруднению. |
Эталон решения
Для базового варианта $f'(x)=3(x+1)(x-3)$, критические точки $x=-1$ и $x=3$ входят в $[-2;4]$. Вычисляем: $f(-2)=-1$, $f(-1)=10$, $f(3)=-22$, $f(4)=-15$. Следовательно, наибольшее значение равно $10$ при $x=-1$, наименьшее — $-22$ при $x=3$. Для нахождения экстремальных значений на отрезке обязательно проверяются оба конца и все критические точки внутри отрезка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что ключевой риск — пропустить конец отрезка или критическую точку. На следующем шаге мы обобщим алгоритм и свяжем его с типичными прикладными задачами, где требуется выбрать оптимальное значение."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы применения производной, оценить достижение цели и зафиксировать индивидуальные затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске три схемы: «формула → производная», «производная → монотонность», «отрезок → сравнение значений». Реплика: "Объясните, как связаны эти три шага. Почему равенство $f'(x)=0$ само по себе ещё не доказывает наличие экстремума?" | Объясняют связь между этапами, отвечают: «Нужно проверить смену знака производной; производная может обращаться в ноль без экстремума». |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если умеете самостоятельно исследовать функцию; жёлтую — если нужен один уточняющий пример; красную — если пока не можете определить порядок действий. Запишите рядом один вопрос, который необходимо разобрать." | Поднимают карточки, записывают личное затруднение: «нахождение производной частного», «таблица знаков», «проверка концов отрезка». |
1 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "За одну минуту допишите фразу: ‘Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, я должен…’." | Пишут алгоритм: «найти производную, критические точки, выбрать точки внутри отрезка, вычислить значения на концах и в критических точках, сравнить результаты». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы прошли путь от правил дифференцирования до исследования функции и оптимального значения. Ваши билеты на выход помогут определить, какое правило или действие станет предметом короткого повторения в начале следующего урока."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно применены правила дифференцирования, найдены все критические точки, корректно построена таблица знаков, определены промежутки монотонности и экстремумы; для задачи на отрезке проверены все концы и критические точки, ответ обоснован.
- «4» — алгоритм выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на основную логику исследования; исправление выполняется после самопроверки.
- «3» — найдено не менее половины необходимых элементов решения: производная, часть критических точек или значения функции; имеются затруднения при определении знаков производной либо сравнении значений.
- Ниже «3» — решение не завершено или отсутствует обоснованный переход от производной к монотонности и экстремумам; требуется повторная работа по памятке и консультация.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило дифференцирования вы сегодня научились применять увереннее всего? | Выявление освоенных способов вычисления производной. |
Почему при поиске наибольшего и наименьшего значения на отрезке нужно проверять концы отрезка? | Проверка понимания замкнутого промежутка и полноты алгоритма. |
Как вы определяете, является ли критическая точка максимумом или минимумом? | Выявление понимания смены знака производной. |
На каком шаге исследования функции вам нужна дополнительная тренировка? | Определение индивидуальных точек затруднения и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что производная — это не только формула для вычисления, а инструмент исследования и принятия решений. Мы научились переходить от структуры выражения к производной, от знака производной — к монотонности и экстремумам, а затем к сравнению значений на отрезке. Помните о двух типичных ошибках: нельзя считать каждую точку, где производная равна нулю, экстремумом и нельзя забывать проверять концы отрезка. На следующем уроке мы продолжим применять производную к задачам на оптимизацию и построение графиков."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: найти производные суммы, произведения и частного элементарных функций; в каждом решении указать использованное правило и область допустимых значений. | Закрепляет правила дифференцирования; при проверке обратить внимание на сохранение всех слагаемых в производной произведения и знаменатель в формуле частного. |
Средний (повышающий) | Исследовать 2 функции на монотонность и экстремумы, одна из которых является многочленом, а другая содержит частное; оформить решение через область определения, производную, критические точки и таблицу знаков. | Формирует целостный алгоритм исследования; при проверке смотреть на смену знака производной, а не только на равенство производной нулю. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 1 задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и 1 прикладную задачу на оптимизацию, самостоятельно составив функцию и указав область изменения переменной. | Развивает функциональную и исследовательскую грамотность; при проверке оценить обоснованность модели, полноту проверки точек и интерпретацию ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается производная произведения? Какие точки называют критическими? Как по знаку производной определить промежутки возрастания и убывания? Какие точки обязательно сравнивают при поиске наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке?»
