Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют определение логарифма, выведут и применят основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b}=b$ при $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, а также выполнят не менее 4 из 5 заданий на распознавание и преобразование выражений.
- Образовательная задача: сформулировать определение логарифма числа по основанию и установить связь между логарифмической и показательной формами записи.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условия применимости формул, выдвигать гипотезы, проверять их на конкретных примерах и аргументировать вывод.
- Практическая задача: научиться вычислять простейшие логарифмы и преобразовывать выражения с использованием основного логарифмического тождества.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к математическим преобразованиям, готовность проверять область допустимых значений и самостоятельно оценивать результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение логарифмов как универсального математического инструмента, применяемого в естественных науках, экономике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявлять познавательный интерес к исследованию связи между показательной и логарифмической формами записи.
- Принимать необходимость точного соблюдения ограничений $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
- Осуществлять самооценку понимания нового материала и выявлять индивидуальные затруднения.
Метапредметные
- Преобразовывать информацию из словесной формы в символическую и обратно.
- Выделять существенные условия определения логарифма и устанавливать причинно-следственные связи.
- Планировать последовательность решения задания и проверять полученный результат.
- Аргументированно формулировать математический вывод в диалоге и совместной работе.
- Использовать цифровой калькулятор или графический инструмент только для проверки гипотез, а не вместо рассуждения.
Предметные
- Знать определение логарифма числа по основанию и условия существования логарифма.
- Уметь переводить равенство $\log_a b=c$ из логарифмической формы в показательную: $a^c=b$.
- Знать и применять основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b}=b$.
- Уметь вычислять простейшие логарифмы и распознавать типичные ошибки при применении тождества.
- Владеть навыком проверки допустимости основания и аргумента логарифма.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно переходить между двумя формами записи числа.
- Осознают связь точности математической записи с достоверностью результата.
- Проявляют готовность принимать интеллектуальный вызов и самостоятельно проверять гипотезы.
- Оценивают собственную уверенность перед выполнением заданий повышенной сложности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм преобразования логарифмического выражения.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по условиям применимости формулы.
- Сопоставляют результат с эталоном и корректируют ошибочные преобразования.
- Фиксируют достигнутый результат в листе самооценки.
Познавательные УУД
- Сравнивают показательную и логарифмическую формы записи.
- Выделяют основание, аргумент и значение логарифма в выражении.
- Выдвигают и проверяют гипотезу о значении выражения $a^{\log_a b}$.
- Моделируют рассуждение в виде цепочки равносильных переходов.
- Находят и объясняют ошибку в решении, где нарушены условия определения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о смысле нового обозначения и условиях его применения.
- Обсуждают гипотезы в парах и корректно оценивают аргументы одноклассников.
- Используют математическую терминологию: основание, аргумент, показатель степени, логарифм.
- Представляют решение у доски и отвечают на уточняющие вопросы.
- Согласуют общий вывод группы и фиксируют его в тетради.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами равенств $2^3=8$, $3^2=9$, $10^2=100$ и вопросом: «Как выразить показатель степени?»
- Распечатать диагностические карточки с 4 короткими заданиями — по одной на каждого ученика.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, с резервными экземплярами.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я знаю определение», «Я проверяю условия», «Я применяю тождество».
- Вывести на доску памятку: $\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$, $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для фиксации условий и карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Подготовить проектор или интерактивную доску; при наличии цифрового инструмента заранее открыть поле для проверки числовых примеров.
- Разместить на партах тетради, ручки и калькуляторы только для проверки, подчеркнув, что основное решение выполняется рассуждением.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать связь новой темы с уже известной показательной формой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто запоминать новую формулу, а восстановим её смысл самостоятельно. Проверьте, что на столе есть тетрадь и ручка, а на доску пока смотрите внимательно: там записаны знакомые вам равенства." Учитель показывает пары $2^3=8$ и $3^2=9$. | Проверяют готовность к уроку, переписывают пары равенств на черновик и называют известные величины: «основание», «показатель степени», «значение степени». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Если основание и результат известны, как найти показатель степени? Например, чему равен показатель в равенстве $2^x=8$? А как записать такой поиск одним специальным символом? Сегодня мы выясним, что обозначает эта запись и почему она позволяет выполнять обратные преобразования." | Отвечают: «$x=3$», предлагают связать поиск показателя с новым обозначением, формулируют предположение: «Логарифм должен показывать, в какую степень возводят основание». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в показательной записи показатель можно искать как неизвестную величину. Теперь актуализируем свойства степени и выясним, какие условия понадобятся для нового понятия."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить смысл показательной формы и подготовить переход к определению логарифма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт диагностические карточки и говорит: "Выполните четыре коротких пункта. В первом замените пропуск: $5^\square=125$. Во втором запишите показательную форму равенства $\log_2 16=4$. В третьем назовите основание и аргумент в записи $\log_7 49$. В четвёртом определите, может ли число $0$ быть аргументом логарифма. Работайте индивидуально две минуты, затем сравните ответы в паре." | Решают задания: записывают $3$, $2^4=16$, называют основание $7$ и аргумент $49$, формулируют: «Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому $0$ нельзя использовать». |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обсудите ответы с соседом. Не просто назовите результат, а объясните, почему равенство $\log_2 16=4$ связано с $2^4=16$. Поднимите карточку зелёного цвета, если готовы объяснить переход, жёлтую — если нужен разбор." Учитель фиксирует на доске цепочку «логарифмическая запись — показательная запись». | Сверяют решения, объясняют переход между формами записи, поднимают карточки, задают вопросы о допустимых основаниях и аргументах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что логарифмическая запись должна быть связана с показательной. Осталось точно определить это новое действие и вывести формулу, которая станет основным инструментом сегодняшнего урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать определение логарифма и учебную задачу урока через анализ затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражение $\log_3 81$ и обращается к классу: "Попробуйте объяснить значение этой записи без использования готового правила. Что здесь является основанием? Какой вопрос нужно задать, чтобы найти значение логарифма? Почему ответом будет показатель степени, а не само число 81?" Учитель принимает разные формулировки и выделяет математически точную. | Анализируют запись, отвечают: «Основание — 3, аргумент — 81; нужно найти показатель, в который возводят 3, чтобы получить 81». Предлагают ответ $4$. |
2 мин | Учитель формулирует задачу: "Сегодня нам необходимо получить определение: логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени $c$, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Запишем это символически и выведем следствие. К концу урока вы должны будете не только назвать формулу, но и объяснить её происхождение." | Записывают тему и цель урока, формулируют план: «вспомнить условия, записать определение, вывести тождество, применить его к заданиям и проверить себя». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не с вычислением, а с пониманием смысла записи. Сейчас мы построим определение из уже известного свойства степени и получим формулу, которая отвечает на наш проблемный вопрос."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение логарифма и основное логарифмическое тождество через исследование равенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: $\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$ и говорит: "Рассмотрим запись внимательно. Логарифм — это не новое число, возникающее неизвестно откуда, а показатель степени. Если $\log_a b=c$, то это означает ровно одно: $a^c=b$. Какие ограничения необходимы? Основание степени должно быть положительным и не равняться единице, а аргумент логарифма должен быть положительным." | Формулируют условия: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Приводят примеры: $\log_2 8=3$, потому что $2^3=8$; $\log_{10}100=2$, потому что $10^2=100$. |
3 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Возьмём определение $\log_a b=c$. Что можно сказать о степени $a^c$? А если вместо $c$ подставить сам логарифм? Запишите полученную цепочку. Какой результат получается?" Учитель постепенно фиксирует: $a^{\log_a b}=a^c=b$. | Выполняют преобразование по шагам, отвечают: «По определению $\log_a b=c$; значит, $a^{\log_a b}=a^c=b$». Формулируют название: «Это основное логарифмическое тождество». |
3 мин | Учитель предлагает исследовательскую проверку: "Проверьте тождество на двух разных основаниях: $2^{\log_2 16}$ и $10^{\log_{10}0{,}01}$. Не вычисляйте логарифм отдельно, если это не нужно. Объясните, почему результат можно получить сразу." | Работают в парах, записывают $2^{\log_2 16}=16$ и $10^{\log_{10}0{,}01}=0{,}01$. Объясняют: «Основание степени и основание логарифма совпадают, поэтому выражение равно аргументу». |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: $\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$, где $a>0$, $a\ne1$, $b>0$; основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$, где $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не приняли формулу на веру, а вывели её из определения логарифма. Теперь проверим, умеете ли вы применять тождество осознанно: сначала распознавать структуру выражения, затем проверять условия и только после этого выполнять преобразование."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм применения определения и основного логарифмического тождества с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает работу «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно определите значение выражений $3^{\log_3 7}$, $5^{\log_5 25}$ и $\log_2 32$. Затем сравните решения в паре. В каждом случае назовите, что является основанием, а что — аргументом." | Решают: $3^{\log_3 7}=7$, $5^{\log_5 25}=25$, $\log_2 32=5$. В парах проговаривают основания и аргументы. |
2 мин | Учитель приглашает ученика к доске: "Покажите решение первого выражения не одной строкой, а с пояснением. Почему здесь нельзя получить ответ 3 или 7 случайным угадыванием?" Затем предлагает классу проверить запись по условиям. | Один ученик записывает $\log_3 7=c\Rightarrow3^c=7\Rightarrow3^{\log_3 7}=7$. Класс проверяет $3>0$, $3\ne1$, $7>0$. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись: $2^{\log_2(-5)}=-5$, и спрашивает: "Формально ли это похоже на тождество? Можно ли считать преобразование допустимым? Найдите точную причину ошибки." | Отмечают ошибку: «Аргумент логарифма отрицательный, выражение $\log_2(-5)$ не определено в действительных числах». Формулируют правило проверки условий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже виден: распознать взаимно обратные операции, проверить ограничения, применить определение. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу и получит обратную связь о степени понимания."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение определением и тождеством, обеспечить дифференциацию и самокоррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки: "Выполните обязательные задания. 1) Вычислите $\log_4 64$. 2) Упростите $7^{\log_7 12}$. 3) Укажите, определено ли выражение $\log_{-2}9$. 4) Исправьте ошибку: $10^{\log_{10}0}=0$. Если справились, выберите дополнительное задание: объясните, почему $a^{\log_a b}=b$ нельзя применять при $a=1$." | Индивидуально решают задания, записывают условия и пояснения. Получают: $3$, $12$, «не определено», «не определено, так как аргумент равен нулю». Для дополнительного пункта объясняют, что логарифм по основанию 1 не задаёт единственного показателя. |
2 мин | Учитель выводит эталон на доску: "Проверьте не только ответы, но и ход рассуждения. За каждый верный пункт поставьте себе один балл, а за дополнительное объяснение — ещё один. Ошибку не стирайте сразу: рядом напишите, на каком шаге она возникла." | Сверяют решения с эталоном, отмечают баллы, исправляют ошибки другим цветом, формулируют причину затруднения. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно применить тождество; жёлтую — если иногда путаете аргумент и основание; красную — если нужна индивидуальная помощь. После сигнала запишите в листе самооценки один конкретный шаг, который будете контролировать." | Поднимают карточки, заполняют лист самооценки, формулируют: «Мне нужно проверять допустимость аргумента» или «Мне нужно переводить запись через определение». |
Эталон решения
1) $\log_4 64=3$, поскольку $4^3=64$. 2) По основному тождеству $7^{\log_7 12}=12$, так как $7>0$, $7\ne1$, $12>0$. 3) $\log_{-2}9$ не определён в действительных числах, поскольку основание должно быть положительным. 4) $\log_{10}0$ не существует, поскольку аргумент логарифма должен быть положительным; следовательно, запись $10^{\log_{10}0}=0$ недопустима.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главная защита от ошибки — не механическое запоминание, а проверка определения и условий. Осталось включить новое знание в систему: сравнить его с показательной формой и решить задачу из контекста экзаменационной математики."
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ перехода между формами записи, осмыслить результат урока и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске три записи: $\log_2 8=3$, $2^3=8$, $2^{\log_2 8}=8$. "Соедините записи стрелками и объясните, какую роль играет каждая. Почему первое равенство является определением, второе — его показательной формой, а третье — основным тождеством?" | Устанавливают связи, отвечают: «Первые две записи равносильны; третья сразу возвращает аргумент логарифма». |
2 мин | Учитель предлагает билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: что означает $\log_a b$ и какое условие чаще всего нельзя забывать при применении тождества? Затем допишите один собственный пример." | Пишут определение, указывают условия $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, составляют пример, например $4^{\log_4 9}=9$. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный требуют пояснений, а не только ответов." | Записывают выбранный уровень домашней работы, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы установили, что логарифм — это показатель степени, и вывели основное логарифмическое тождество. На следующем уроке мы используем эту основу для изучения свойств логарифмов и преобразования более сложных выражений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 4 обязательных задания самостоятельной работы, указаны условия применимости, преобразования обоснованы; дополнительное задание выполнено корректно.
- «4» — верно выполнены 3 обязательных задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но смысл определения и условия в основном раскрыты.
- «3» — верно выполнены 2 обязательных задания, определение воспроизведено частично, имеются затруднения в проверке основания или аргумента.
- Ниже базового уровня — учащемуся необходимо повторить переход $\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b$ и выполнить задания с пошаговой опорой на условия.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $\log_a b$ своими словами? | Проверка осознанного понимания определения, а не механического запоминания символов. |
Как вы вывели тождество $a^{\log_a b}=b$? | Выявление понимания связи между логарифмической и показательной формами. |
Какое условие применимости формулы вы сегодня проверяли особенно внимательно? | Диагностика типичных ошибок в основании и аргументе логарифма. |
Какое задание оказалось самым сложным и какой следующий шаг поможет его решить? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекционной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили смысл логарифма и увидели, что он является обратным действием по отношению к возведению в степень. Основное логарифмическое тождество позволяет сразу заменить выражение $a^{\log_a b}$ на аргумент $b$, но только при соблюдении всех условий определения. Особенно внимательно проверяйте, что основание положительно и не равно единице, а аргумент положителен. На следующем уроке мы распространим этот способ рассуждения на свойства суммы, разности и произведения логарифмов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: вычислить два простейших логарифма, упростить два выражения вида $a^{\log_a b}$ и отдельно записать условия применимости. | Закрепляет определение и основное тождество; при проверке смотреть на правильность основания, аргумента и пояснения. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на переход между логарифмической и показательной формами, включая два задания с обнаружением ошибки в рассуждении. | Формирует осознанное преобразование и умение анализировать недопустимые записи; проверять каждый переход и область определения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 3 собственных задания: одно на вычисление логарифма, одно на применение тождества и одно на объяснение, почему нельзя брать основания $0$, $1$ или отрицательные числа. | Развивает создание математического текста и аргументацию; оценивать корректность условий, решения и сформулированного объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что является показателем в записи $\log_a b$? Как записать определение логарифма равенством? В каком случае выражение $a^{\log_a b}$ равно $b$? Какие три условия нужно проверить перед применением формулы?»
