Преобразование выражений, содержащих логарифмы
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться преобразовывать выражения, содержащие логарифмы, используя свойства логарифмов, формулу перехода к новому основанию и проверку области допустимых значений, выполняя не менее 4 из 5 заданий без существенных ошибок.
- Закрепить определения логарифма и условия существования логарифмических выражений, необходимые для корректного преобразования.
- Научиться применять свойства произведения, частного и степени при раскрытии и свёртывании логарифмических выражений.
- Развивать умение анализировать структуру выражения, выбирать рациональный способ преобразования и объяснять каждый шаг решения.
- Формировать ответственное отношение к математическим преобразованиям: проверять ограничения и оценивать полученный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точных преобразований логарифмических выражений для дальнейшего изучения функций, уравнений и математического анализа.
- Проявляют готовность проверять допустимость выполняемых действий, а не принимать преобразование формально.
- Развивают самостоятельность в выборе способа решения и уверенность при работе с заданиями повышенной сложности.
- Понимают связь изучаемого материала с подготовкой к продолжению образования и решением прикладных математических задач.
Метапредметные
- Выделяют структуру логарифмического выражения и соотносят её с подходящим свойством логарифма.
- Планируют последовательность преобразований, фиксируют промежуточные результаты и выполняют самопроверку.
- Используют смысловое чтение математической записи и формулируют выводы на основании свойств.
- Аргументируют выбранный способ решения в паре и корректно сравнивают разные варианты преобразования.
Предметные
- Знать свойства логарифмов: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a(x^r)=r\log_a x$.
- Уметь преобразовывать суммы и разности логарифмов в один логарифм и раскрывать логарифм произведения, частного или степени.
- Уметь применять формулу перехода к новому основанию $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ при выборе удобного основания.
- Уметь указывать ограничения на основания и аргументы логарифмов и проверять корректность преобразований.
- Владеть алгоритмом преобразования выражений, содержащих логарифмы, и применять его к заданиям базового и повышенного уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться видеть структуру логарифмического выражения и преобразовывать её без потери условий существования.
- Оценивают значимость аккуратной записи для получения обоснованного математического результата.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске нескольких способов преобразования одного выражения.
- Принимают необходимость исправления ошибки как часть математического исследования.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы на основе проблемного примера и планируют этапы преобразования.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и корректируют запись.
- Оценивают собственный результат по критериям правильности преобразований и учёта ограничений.
- Распределяют время между заданиями обязательного и повышенного уровня.
Познавательные УУД
- Классифицируют выражения по структуре: сумма, разность, произведение, частное, степень логарифмического аргумента.
- Устанавливают причинно-следственную связь между свойством логарифма и выполняемым преобразованием.
- Моделируют алгоритм преобразования в виде последовательности шагов.
- Анализируют ошибочные решения и объясняют, почему формально похожее действие является недопустимым.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос партнёру о выборе свойства и отвечают с математическим обоснованием.
- Согласуют в паре общий вариант преобразования и распределяют действия при проверке.
- Используют математическую речь: называют основание, аргумент, условие существования и применённое свойство.
- Корректно доказывают ошибочность решения, не подменяя объяснение готовым ответом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с темой урока, проблемным выражением и краткой памяткой свойств логарифмов.
- Распечатать карточки трёх уровней: базового — по одной на каждого ученика, повышенного — по одной на парту, исследовательского — по одной на группу из четырёх человек.
- Подготовить отдельный лист с эталоном самопроверки для самостоятельной работы; выдавать его после завершения решения.
- Подобрать из используемого учебника фрагмент с формулировками свойств логарифмов и заданиями на преобразование без указания номеров и страниц в конспекте.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и небольшие листы для «Билета на выход» — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску алгоритм: определить структуру выражения; выбрать свойство; выполнить преобразование; проверить ограничения; оценить результат.
- Подготовить маркеры, таймер на 3–5 минут и калькулятор или графический редактор только для демонстрации проверки отдельных числовых значений.
- Организовать на доске две зоны: «Верное преобразование» и «Ошибка и причина ошибки».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать практическую необходимость преобразования логарифмических выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не только на получение ответа, но и на обоснование каждого преобразования. Откройте тетради, запишите дату и тему урока: «Преобразование выражений, содержащих логарифмы». Подготовьте ручку и учебник: мы будем опираться на формулировки свойств и проверять их применимость." | Записывают дату и тему, готовят учебник и тетрадь, формулируют ожидаемый результат: «научиться упрощать логарифмические выражения». |
2 мин | Учитель выводит на доску выражение $\log_2 8+\log_2 4-\log_2 2$ и обращается к классу: "Посмотрите на запись. Её можно вычислить напрямую, но сегодня нас интересует другой вопрос: как преобразовать выражение, если аргументы будут буквенными или вычисление окажется неудобным? Подумайте индивидуально 30 секунд, затем обсудите с соседом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | В течение 30 секунд предлагают способ вычисления, затем обсуждают в парах и формулируют предположение: «сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения, а разность — логарифмом частного». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что логарифмическое выражение можно рассматривать как структуру, а не как набор отдельных символов. Сейчас проверим, какие свойства уже готовы использовать и где может возникнуть затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и свойства логарифмов, необходимые для открытия алгоритма преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске запись $\log_a b=c$ и говорит: "Вспомним определение. Что означает эта запись? Какие условия должны выполняться для основания и аргумента? Назовите их полностью, потому что без этих условий дальнейшие преобразования могут быть формально неверными." | Отвечают: «$a^c=b$», «основание $a>0$, $a\ne1$, аргумент $b>0$». Записывают условия в тетрадь, если они не были зафиксированы ранее. |
2 мин | Учитель предлагает устно завершить три равенства: "$\log_a(xy)=...?\ ", "$\log_a\frac{x}{y}=...?\ ", "$\log_a(x^r)=...?\ $. Затем уточняет: "При каких условиях эти свойства применяются? Что должно быть положительным?" | Заполняют пропуски: "$\log_a x+\log_a y$", "$\log_a x-\log_a y$", "$r\log_a x$». Называют условия $a>0$, $a\ne1$, $x>0$, $y>0$. |
2 мин | Учитель организует быструю проверку «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить каждое свойство, жёлтую — если помните формулу, но сомневаетесь в условиях, красную — если нужна подсказка. После сигнала я разберу наиболее частое затруднение." | Показывают карточки, формулируют вопросы: «Можно ли объединять логарифмы с разными основаниями?», «Почему для частного требуется положительность знаменателя-аргумента?» |
Запись в тетрадях
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$; $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$; $\log_a(x^r)=r\log_a x$. Условия: $a>0$, $a\ne1$, $x>0$, $y>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Свойства нам знакомы, но пока мы вспоминали их отдельно. Теперь выясним, как выбрать нужное свойство, когда перед нами целое выражение и несколько действий выполняются одновременно."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить типичную ошибку и совместно сформулировать алгоритм корректного преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два утверждения: 1) $\log_3(x+4)=\log_3x+\log_34$; 2) $\log_3(4x)=\log_3 4+\log_3x$. Учитель говорит: "Оба выражения выглядят похоже. Отметьте, какое преобразование допустимо, а какое содержит ошибку. Объясните не только ответ, но и правило, на которое вы опираетесь." | В парах отмечают второе утверждение как верное, первое — как ошибочное. Объясняют: «Свойство произведения применяется к $4x$, но не к сумме $x+4$». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как действовать по шагам, чтобы не перепутать сумму аргументов с произведением и не забыть область допустимых значений? Сформулируйте цель урока и предложите порядок действий." Учитель фиксирует предложения на доске. | Формулируют цель: «научиться распознавать структуру, выбирать свойство и проверять условия». Предлагают алгоритм: «сначала определить структуру, затем преобразовать, в конце проверить ограничения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: одинаковое внешнее сходство не означает одинаковое математическое действие. Мы построим алгоритм, который позволит обосновывать преобразование на каждом шаге."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритм преобразования логарифмических выражений на примерах из учебного материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Откройте учебник на теме, посвящённой свойствам логарифмов. Найдите формулировки свойств и сопоставьте их с выражением $E=2\log_5 x-\log_5 y+\log_5 25$. Сначала определяем структуру: коэффициент перед первым логарифмом означает степень аргумента, разность — частное, сумма — произведение. Запишем преобразование последовательно, не перескакивая через условия." Учитель записывает на доске: $2\log_5x=\log_5x^2$, затем объединяет с остальными слагаемыми. | Читают формулировки свойств в учебнике, называют структуру выражения и записывают: $E=\log_5x^2-\log_5y+\log_5 25=\log_5\frac{25x^2}{y}$. Указывают ограничения $x>0$, $y>0$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь рассмотрим выражение $F=\log_2\frac{8x^3}{y^2}$. Выберите направление преобразования: раскрыть один логарифм в сумму и разность или, наоборот, собрать несколько логарифмов в один. Объясните, почему оба направления являются взаимно обратными." | Предлагают: $F=\log_2 8+\log_2x^3-\log_2y^2=3+3\log_2x-2\log_2y$. Объясняют, что раскрытие использует свойства произведения, частного и степени, а свёртывание выполняется в обратном порядке. |
3 мин | Учитель демонстрирует формулу перехода к новому основанию: "Иногда основание неудобно для вычисления. Запишем формулу $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$. Преобразуем $\log_4 8$ к основанию 2. Назовите, что подставляем вместо $a$, $b$ и $c$, и проверьте результат." | Называют $a=4$, $b=8$, $c=2$, записывают $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$. Формулируют вывод: «основание можно заменить на удобное, если оно допустимо». |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) определить структуру выражения; 2) выбрать свойство; 3) выполнить преобразование по одному шагу; 4) проверить ограничения на основания и аргументы; 5) при необходимости применить формулу перехода к новому основанию.
Эталон решения
Для $E=2\log_5x-\log_5y+\log_525$: $2\log_5x=\log_5x^2$; $E=\log_5x^2-\log_5y+\log_525$; $E=\log_5\frac{25x^2}{y}$. Так как $x>0$, $y>0$, все аргументы исходных логарифмов положительны, а основание 5 допустимо.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не отдельные формулы, а рабочий алгоритм. Сейчас проверим его сначала вместе, затем вы примените его самостоятельно к выражениям другой структуры."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор свойства и научиться проговаривать основания каждого преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданием: преобразовать $A=\log_3x+2\log_3y-\log_3z$ и указать ограничения. Инструкция: "Работайте по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый предложит свою последовательность, затем пара выберет более понятную запись и подготовит устное объяснение." | Индивидуально намечают решение, затем сравнивают записи. Получают $A=\log_3\frac{xy^2}{z}$, фиксируют $x>0$, $y>0$, $z>0$. |
3 мин | Учитель предлагает двум парам представить решения: "Объясните классу не только конечный ответ, но и почему коэффициент 2 оказался показателем степени. Остальные пары проверьте запись по трём критериям: свойство выбрано верно, порядок действий понятен, ограничения указаны." | Представляют решение у доски, остальные сверяют по критериям и задают уточняющие вопросы: «Почему $z$ оказался в знаменателе?», «Можно ли сразу записать итог без промежуточного шага?» |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись $\log_3(x+y)=\log_3x+\log_3y$ и говорит: "Используем приём «Найди ошибку». Запишите одним предложением, почему этот переход недопустим, и предложите корректную стратегию работы с суммой внутри аргумента." | Записывают: «Свойство суммы логарифмов относится к сумме логарифмов, а не к логарифму суммы». Делают вывод: выражение $\log_3(x+y)$ нельзя разложить данным свойством. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что качество решения определяется не только формулой в конце, но и объяснением каждого перехода. Теперь каждый покажет, насколько самостоятельно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом на заданиях трёх уровней и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет: "Выполните обязательное задание 1, затем выберите задание 2 или 3 по готовности. На карточке указаны критерии: преобразование без логарифмов с разными основаниями, запись промежуточных шагов, проверка ограничений. Работайте индивидуально, вопросы пока фиксируйте на полях." | Получают карточки, выбирают уровень, записывают рядом с решением применённые свойства. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно задаёт вопросы: "Какую структуру вы видите в первом слагаемом? Почему здесь допустимо объединение? Какие условия нужно указать для буквенных аргументов?" Для базового уровня предлагает $\log_2x+\log_2 4$; для повышенного — $3\log_5a-\log_5b+\log_5c$; для дополнительного — преобразование с формулой перехода к новому основанию. | Решают индивидуально. Возможные результаты: $\log_2x+\log_24=\log_2(4x)$; $3\log_5a-\log_5b+\log_5c=\log_5\frac{a^3c}{b}$; для $\log_4 16$ используют переход к основанию 2 и получают $2$. |
3 мин | Учитель выдаёт эталон и говорит: "Проверьте не только итоговые ответы. Поставьте знак «+» у верного свойства, обведите место ошибки, если она есть, и одной фразой запишите, как её исправить. Это приём «Самопроверка по эталону»." | Сверяют решения, исправляют ошибки цветной ручкой, подсчитывают количество выполненных критериев и отмечают уровень самостоятельности. |
Эталон решения
Для задания $3\log_5a-\log_5b+\log_5c$: $3\log_5a=\log_5a^3$; $\log_5a^3-\log_5b=\log_5\frac{a^3}{b}$; $\log_5\frac{a^3}{b}+\log_5c=\log_5\frac{a^3c}{b}$. Ограничения: $a>0$, $b>0$, $c>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какое действие уже стало уверенным, а где ещё требуется внимание. Ошибки мы не скрываем: именно по месту ошибки выбираем следующий шаг обучения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, зафиксировать затруднения и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт листы «Билет на выход» и говорит: "Ответьте кратко на три вопроса: какое свойство сегодня применяли чаще всего; как отличить допустимое преобразование от ошибочного; какое место алгоритма требует у вас ещё одной тренировки? Затем отметьте светофором свою готовность: зелёный — могу объяснить и выполнить, жёлтый — могу с подсказкой, красный — нужна совместная работа." | Заполняют «Билет на выход», формулируют: «сначала распознаю структуру, затем выбираю свойство, в конце проверяю ограничения». Отмечают цвет и сдают лист при выходе. |
3 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Базовый уровень обязателен для всех. Повышающий и дополнительный выбирайте с учётом своей цели. Используйте материал учебника по теме, но ориентируйтесь на описание задания и проверяйте не только ответ, но и область допустимых значений." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы о количестве выражений и критериях проверки. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и выбранное задание повышенного или дополнительного уровня; применённые свойства названы, промежуточные шаги записаны, ограничения указаны без ошибок.
- «4» — верно выполнены обязательные задания, допущена не более одной неточности в записи или формулировке ограничений, не повлиявшей на основную логику преобразования.
- «3» — верно выполнено не менее половины обязательных преобразований, но есть ошибки в выборе свойства, объединении логарифмов или проверке условий.
- Ниже «3» — алгоритм пока не освоен: необходимо повторить свойства логарифмов и разобрать ошибочные переходы вместе с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство логарифмов вы сегодня применяли наиболее уверенно? | Выявление осознанности выбора формулы и уровня предметного усвоения. |
Как вы проверяете, что преобразование допустимо? | Проверка понимания условий существования логарифма и регулятивного алгоритма. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции и дифференциации. |
Можете ли вы объяснить партнёру, почему $\log_a(x+y)$ нельзя разложить как сумму логарифмов? | Проверка глубины понимания и сформированности математической аргументации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать логарифмическое выражение как структуру и выбирать преобразование на основании этой структуры. Особенно важно помнить: свойства логарифмов позволяют работать с произведением, частным и степенью, но не превращают логарифм суммы в сумму логарифмов. Типичная ошибка — забыть условия положительности аргументов, поэтому проверка ограничений должна стать обязательным последним шагом. На следующем уроке мы применим этот алгоритм при решении логарифмических уравнений и неравенств."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения на преобразование сумм, разностей и коэффициентов перед логарифмами: два задания на свёртывание в один логарифм и два на раскрытие логарифма произведения или частного. Для каждого записать использованное свойство и ограничения. | Закрепляет базовый алгоритм и контроль условий существования; при проверке смотреть на промежуточные шаги и корректность аргументов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 выражения смешанного типа, включающие степень аргумента и переход к новому основанию, например преобразование выражений с основаниями 4, 8 или 16 к основанию 2. Сравнить два допустимых способа там, где это возможно. | Развивает выбор рационального способа и применение формулы перехода к новому основанию; при проверке учитывать обоснование выбора. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное логарифмическое выражение, которое преобразуется в один логарифм, и рядом привести намеренно ошибочное выражение с логарифмом суммы. Исправить ошибку и объяснить, какое свойство нельзя применять. | Развивает создание математической модели, анализ типичной ошибки и умение аргументировать границы применимости свойств. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие три свойства логарифмов используются при преобразовании? Чем отличается логарифм произведения от логарифма суммы? Какие условия нужно проверить у основания и аргумента? Как выглядит формула перехода к новому основанию?»
