Применение первой производной для построения графика функции
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут построить качественный эскиз графика многочлена с помощью первой производной, верно определив критические точки, промежутки монотонности и точки экстремума.
- Образовательная задача: закрепить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы с применением производной.
- Развивающая задача: развивать умение связывать аналитические данные о функции с формой её графика и проверять выводы несколькими способами.
- Развивающая задача: совершенствовать навыки самоконтроля, аргументации и выбора стратегии решения при работе с заданиями разного уровня.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственное отношение к точности вычислений и уверенность в применении математических методов при решении практических и экзаменационных задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся осознают, что исследование функции позволяет обосновать форму графика, а не только выполнить его по внешнему сходству.
- Проявляют готовность проверять вычисления и корректно относиться к обнаруженной ошибке как к возможности улучшить решение.
- Соотносят владение математическими методами с дальнейшим обучением и решением задач в выбранной профессиональной области.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания и способа проверки результата.
Метапредметные
- Извлекают из условия необходимые сведения о функции и преобразуют их в таблицу знаков производной.
- Сопоставляют аналитическую запись функции, её производную и графическую модель, объясняя связи между ними.
- Планируют последовательность исследования функции, распределяют время и сверяют результат с критериями.
- Аргументируют вывод о возрастании, убывании и экстремумах, используя математические обозначения и точные формулировки.
Предметные
- Знают, что знак производной на промежутке определяет направление изменения функции.
- Умеют находить критические точки функции, решая уравнение f′(x) = 0 и учитывая область определения.
- Умеют устанавливать промежутки возрастания и убывания по знаку производной.
- Умеют находить точки экстремума и вычислять значения функции в них.
- Умеют строить качественный эскиз графика с учётом поведения на бесконечности, пересечения с осью ординат и найденных экстремумов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: какой шаг исследования функции уже выполняют уверенно, а какой требует дополнительной практики.
- Поддерживают учебную мотивацию, видя связь между точностью математического рассуждения и надёжностью полученного графика.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать повышенное задание после выполнения обязательного минимума.
- Ответственно относятся к проверке вычислений и оформлению математических выводов.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы как построение графика на основе последовательного исследования функции.
- Планируют исследование: находят производную, критические точки, определяют знаки производной и вычисляют значения в экстремумах.
- Сверяют каждый этап решения с алгоритмом и обнаруживают пропуски в таблице знаков или оформлении.
- Корректируют решение после взаимопроверки и объясняют, какое действие привело к исправлению ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные функции для построения графика и представляют их в виде таблицы изменения знака производной.
- Применяют правила дифференцирования и разложение квадратного трёхчлена на множители.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком производной, монотонностью функции и наличием экстремума.
- Моделируют поведение графика по найденным координатам экстремумов и поведению функции при больших по модулю значениях аргумента.
Коммуникативные УУД
- Согласуют в паре порядок проверки решения и распределяют роли: проверяющий вычисления и проверяющий обоснование.
- Формулируют вопросы о переходе от таблицы знаков производной к графику.
- Аргументируют оценку решения партнёра, ссылаясь на конкретный критерий, а не на общее впечатление.
- Представляют классу вывод о форме графика и корректно отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или отдельном плакате краткий алгоритм исследования: область определения, производная, критические точки, таблица знаков, экстремумы, эскиз.
- Распечатать карточки с одной общей функцией для парной работы — по одной на пару; отдельные карточки с ошибочным решением — по одной на пару.
- Подготовить индивидуальные листы с заданиями трёх уровней — по одному комплекту на каждого ученика.
- Вывести на экран функцию f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 и пустую систему координат для совместной проверки графического эскиза.
- Подготовить цветные маркеры или мел: один цвет для знаков производной, другой — для точек экстремума и ключевых координат.
- Подготовить лист критериев самопроверки: производная, критические точки, знаки, экстремумы, поведение на бесконечности, эскиз.
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски, таймера и достаточного количества координатных сеток на индивидуальных листах.
- Заранее записать на доске вопрос урока: «Как по производной восстановить основные особенности графика, не подбирая его форму на глаз?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и обозначить практическую ценность точного исследования графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и калькулятор для быстрой проверки арифметики, если он вам понадобится. Сегодня мы не вводим новый метод, а проверяем, насколько надёжно умеем применять уже знакомый инструмент. Важно не просто нарисовать похожую кривую, а объяснить, почему график имеет именно такую форму». | Готовят тетради и ручки, открывают записи по теме производной; формулируют, что для обоснования формы графика нужны вычисления и анализ. |
2 мин | «Посмотрите на вопрос на доске: “Как по производной восстановить основные особенности графика, не подбирая его форму на глаз?” Подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите ответ с соседом. Вспомните, что знак производной сообщает о поведении функции. Кто готов предложить краткий ответ? Я зафиксирую на доске ключевые слова, которые пригодятся нам в работе». | Обдумывают вопрос 30 секунд, обсуждают ответ в паре около минуты; предлагают формулировки: «производная показывает, где функция растёт и убывает», «смена знака помогает найти экстремум». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы обозначили главный вопрос: график должен следовать из свойств функции, а не из догадки. Сначала проверим, какие шаги алгоритма уже выполняем уверенно».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднений (6 мин)
Цель этапа: восстановить необходимые знания о производной, критических точках и связи знака производной с монотонностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На доске записаны три утверждения. Первое: если f′(x) > 0 на промежутке, то f возрастает на этом промежутке. Второе: всякая точка, в которой f′(x) = 0, обязательно является точкой экстремума. Третье: для построения эскиза достаточно найти нули функции. За минуту отметьте в тетради, какие утверждения верны, а какие требуют уточнения. Не угадывайте: подготовьте короткое обоснование». | Индивидуально отмечают утверждения; предполагаемые ответы: первое верно, второе неверно без проверки смены знака, третье неверно, поскольку важны также монотонность и экстремумы. |
2 мин | «Сверим рассуждения. Почему одного равенства f′(x) = 0 недостаточно для вывода об экстремуме? Что нужно проверить по обе стороны критической точки? Теперь устно найдите производную функции x³ − 3x² − 9x + 5. Проговорите каждый член отдельно, чтобы мы сразу увидели возможную ошибку». | Объясняют: «нужно проверить смену знака производной»; получают f′(x) = 3x² − 6x − 9 и предлагают разложение 3(x − 3)(x + 1). |
2 мин | «Хорошо. Отметьте для себя по шкале от одного до трёх: один — хочу опору на алгоритм, два — в целом уверен, три — могу объяснить решение другому. Это не оценка, а ориентир для самостоятельной работы. Какое место чаще всего вызывает сомнение: разложение производной, знаки на промежутках или перенос результата на график?» | Показывают выбранное число пальцами; называют затруднение: «могу пропустить критическую точку», «путаю знак на промежутке», «не уверен, как соединить точки на эскизе». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что знак производной определяет монотонность, а критическую точку нужно проверять на смену знака. Теперь уточним, какие сведения необходимо собрать, чтобы построить график обоснованно».
Этап 3. Постановка учебной задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: сформулировать критерии качественного эскиза и согласовать последовательность исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Рассмотрим снова функцию f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5. Если мы знаем только её формулу, с чего разумно начать? Как понять, где график поднимается, а где опускается? Какие точки должны быть нанесены прежде, чем мы проведём линию? Предлагаю не диктовать готовый алгоритм, а восстановить его по нашим ответам». | Предлагают последовательность: «найти производную», «решить уравнение f′(x) = 0», «проверить знаки», «найти координаты экстремумов», «учесть пересечение с осью y и поведение при больших x». |
2 мин | «Соберём план и запишем его на доске. Проверим, что ни один шаг не пропущен: область определения, производная и критические точки, знаки на промежутках, экстремумы, опорные точки и эскиз. Наш критерий успеха сегодня — каждый вывод о форме графика подтверждён вычислением или таблицей знаков. В конце вы оцените свою работу по этому критерию». | Записывают план в тетрадь; формулируют цель урока: «построить эскиз графика, последовательно исследовав функцию с помощью первой производной». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План исследования готов, и теперь проверим его на конкретной функции. Работая в паре, вы получите не готовую картинку, а данные, из которых график нужно будет обосновать».
Этап 4. Парное исследование функции и построение графика (12 мин)
Цель этапа: применить полный алгоритм исследования функции и построить обоснованный качественный эскиз.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Получите карточку с функцией f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5. В паре распределите роли: один выполняет вычисления, второй проверяет каждый шаг и задаёт уточняющие вопросы; затем поменяетесь. Сначала определите область определения и производную. Не переходите к рисунку, пока не договоритесь о критических точках». | Получают одну карточку на пару; записывают D(f) = R, находят f′(x) = 3x² − 6x − 9 и раскладывают её на множители: 3(x − 3)(x + 1). |
3 мин | «Решите уравнение f′(x) = 0 и нанесите найденные значения на числовую прямую. Теперь выберите по одному тестовому значению в каждом промежутке и установите знак производной. Обязательно обсудите, почему знаки слева направо меняются именно так. Я проверю не только ответ, но и то, можете ли вы объяснить выбранные тестовые значения». | Находят критические точки x = −1 и x = 3; составляют интервалы (−∞; −1), (−1; 3), (3; +∞); получают знаки «+», «−», «+» и записывают возрастание, убывание, возрастание. |
3 мин | «Вычислите значения функции в критических точках. Подставляйте аккуратно: знак аргумента при возведении в квадрат особенно легко потерять. Затем сформулируйте вывод: где находится максимум, где минимум и как это отражается на направлении графика. Если партнёры получили разные результаты, сначала найдите конкретную строку вычислений, где разошлись». | Вычисляют f(−1) = 10 и f(3) = −22; записывают локальный максимум в точке (−1; 10) и локальный минимум в точке (3; −22). |
4 мин | «Теперь нанесите на координатную сетку точку пересечения с осью ординат: при x = 0 значение функции равно 5. Как ведёт себя кубическая функция при x, стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности? Учитывая старший член x³, начните левую ветвь снизу, проведите график через максимум, затем через минимум и продолжите правую ветвь вверх. Пока не ищите точные корни кубического уравнения: для качественного эскиза используйте уже доказанные свойства». | Наносят точку (0; 5), отмечают экстремумы и строят плавный качественный эскиз; объясняют: «при x → −∞ функция стремится к −∞, при x → +∞ — к +∞». |
Эталон решения
Область определения: D(f) = R. Производная: f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1). Критические точки: x = −1 и x = 3. Знаки f′(x): на (−∞; −1) положительный, на (−1; 3) отрицательный, на (3; +∞) положительный. Следовательно, функция возрастает на (−∞; −1) и (3; +∞), убывает на (−1; 3). f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10; f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22. Точка локального максимума — (−1; 10), точка локального минимума — (3; −22). Пересечение с осью ординат: f(0) = 5. Поскольку старший член равен x³, при x → −∞ имеем f(x) → −∞, а при x → +∞ имеем f(x) → +∞. Эскиз проходит через указанные опорные точки с учётом промежутков монотонности.
Запись в тетрадях: учащиеся фиксируют таблицу знаков f′(x), промежутки монотонности, координаты экстремумов и эскиз графика функции.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили график не подбором, а последовательной цепочкой выводов. Теперь проверим, можно ли распознать неполное или ошибочное исследование и объяснить, чего именно в нём недостаёт».
Этап 5. Первичное закрепление и анализ ошибки (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм и научиться обнаруживать типичные ошибки в переходе от производной к графику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «На карточке записано решение: для функции g(x) = x³ − 3x имеем g′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1); критические точки −1 и 1; производная положительна на всех промежутках, поэтому функция возрастает всюду и экстремумов нет. Прочитайте рассуждение и найдите место, где вывод противоречит вычислениям. Не просто укажите ошибку, а объясните, как правильно определить знак производной». | В парах анализируют запись, находят ошибку в утверждении о знаке производной; выбирают тестовые значения из промежутков и отмечают знаки: «плюс, минус, плюс». |
3 мин | «Сверим исправление. Производная меняет знак с плюса на минус при x = −1, а затем с минуса на плюс при x = 1. Что это означает для графика? Вычислите значения функции в этих точках и назовите координаты экстремумов. Кто может объяснить ошибку так, чтобы автор решения понял, на каком шаге ему нужно было остановиться и проверить себя?» | Формулируют: «в x = −1 расположен максимум, в x = 1 — минимум»; вычисляют g(−1) = 2 и g(1) = −2; называют точки (−1; 2) и (1; −2). |
2 мин | «Теперь примените взаимопроверку “Две сильные стороны и один совет”. Обменяйтесь решениями и отметьте партнёру два верно выполненных шага и одно конкретное улучшение: например, подписать интервалы или показать тестовые значения. Совет должен помогать исправить работу, а не просто сообщать, что она неверна». | Обмениваются карточками; отмечают корректные шаги и пишут один конкретный совет по оформлению таблицы знаков или обоснованию экстремума. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что правильно найденные нули производной ещё не гарантируют верного графика: необходимо определить знаки на промежутках. Теперь каждый самостоятельно выполнит короткое исследование и проверит его по эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и организовать самоконтроль по заранее известным критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На индивидуальном листе выберите один из трёх вариантов. Минимальный вариант: для h(x) = x² − 4x найдите производную, критическую точку, промежутки монотонности и точку экстремума. Базовый вариант: выполните такое же исследование и начертите качественный эскиз. Повышенный вариант: для p(x) = x³ − 6x² + 9x найдите промежутки монотонности, экстремумы и обоснуйте поведение графика на бесконечности. Обязательный минимум — довести выбранное исследование до вывода о монотонности; фиксируйте ход решения». | Индивидуально выбирают уровень; выполняют исследование. Для h(x): находят h′(x) = 2x − 4 и критическую точку x = 2; определяют убывание слева и возрастание справа; вычисляют h(2) = −4. Для базового дополнительно отмечают вершину. Для p(x) находят p′(x) = 3(x − 1)(x − 3) и исследуют знаки. |
3 мин | «Откройте лист самопроверки. Сверьте наличие производной, критических точек, знаков на каждом промежутке, выводов о монотонности и вычисленных значений в экстремумах. Поставьте отметку напротив каждого выполненного пункта; если обнаружили ошибку, исправьте её другим цветом и подпишите, что именно изменили. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все шаги, жёлтую — если нужен вопрос по одному шагу, красную — если нужна помощь с алгоритмом». | Сверяют решение с критериями, исправляют ошибки другим цветом; показывают карточку самооценки и при необходимости задают уточняющий вопрос. |
Эталон решения
Для h(x) = x² − 4x: h′(x) = 2x − 4 = 2(x − 2). Критическая точка x = 2. При x < 2 производная отрицательна, при x > 2 положительна; функция убывает на (−∞; 2) и возрастает на (2; +∞). h(2) = 4 − 8 = −4; минимум достигается в точке (2; −4). Для p(x) = x³ − 6x² + 9x: p′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Знаки производной: «+», «−», «+» на промежутках (−∞; 1), (1; 3), (3; +∞). p(1) = 4, p(3) = 0; максимум — (1; 4), минимум — (3; 0). Старший член x³ определяет поведение: слева график уходит вниз, справа — вверх.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили не только ответ, но и полноту исследования по критериям. Осталось обобщить, какой именно шаг сегодня оказался самым важным для построения надёжного эскиза и что каждый из вас уже умеет делать самостоятельно».
Этап 7. Рефлексия, итог и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, зафиксировать затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Заполните короткий билет на выход. Закончите письменно два предложения: “Чтобы обоснованно построить график, я сначала…” и “Перед выводом об экстремуме я обязательно…”. Затем укажите один шаг алгоритма, который теперь можете выполнить уверенно, и один вопрос, если он остался. Ответы помогут мне определить, что нужно повторить перед следующей темой». | Пишут билет на выход; ожидаемые формулировки: «нахожу производную и критические точки», «проверяю смену знака производной», «наношу экстремумы и учитываю поведение функции». |
2 мин | «Домашнее задание записано на доске тремя уровнями: базовый — обязательный, средний — для дополнительной практики, продвинутый — исследовательский. Выберите объём с учётом сегодняшней самооценки; если сомневаетесь, выполните базовый и один пункт среднего уровня. Проверьте, что записали количество заданий и критерий проверки. На следующем уроке мы продолжим исследование функций и будем использовать собранные свойства графика при решении более сложных задач». | Записывают выбранный уровень и объём заданий; уточняют, что для проверки нужно показать производную, критические точки, таблицу знаков и выводы о графике. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены производная и все критические точки, правильно определены знаки на промежутках, обоснованы промежутки монотонности и экстремумы; на эскизе отмечены ключевые точки и учтено поведение функции на бесконечности.
- «4» — алгоритм исследования применён верно, но допущена одна вычислительная или графическая неточность, не меняющая основных выводов; таблица знаков и экстремумы в целом определены правильно.
- «3» — найдена производная и выполнена часть исследования, однако есть ошибка в таблице знаков либо не полностью обоснованы экстремумы; после подсказки учащийся может исправить решение.
- При взаимопроверке качество обратной связи оценивается по конкретности: названы две верно выполненные части решения и дан один применимый совет.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг исследования функции вы теперь выполняете наиболее уверенно? | Выявление субъективно освоенных действий и осознание личного продвижения. |
Почему равенства f′(x) = 0 недостаточно, чтобы сразу объявить точку экстремумом? | Проверка понимания необходимости анализа смены знака производной. |
Какую типичную ошибку вы обнаружили или исправили сегодня? | Выявление точек затруднения и развитие навыка самоконтроля. |
Что в построении качественного эскиза вы хотели бы отработать ещё раз? | Получение обратной связи для планирования дальнейшей практики. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы закрепили способ перехода от производной к обоснованному эскизу графика: нашли критические точки, определили знаки производной, установили монотонность и отметили экстремумы. Особенно важно не считать каждую точку, где производная равна нулю, экстремумом без проверки знака по обе стороны. Если вы исправили ошибку и смогли объяснить причину, значит, вы не просто получили ответ, а укрепили способ рассуждения. На следующем уроке мы продолжим использовать свойства функции для решения более сложных задач и анализа графиков».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить полное исследование двух многочленов второй или третьей степени: найти производную и критические точки, составить таблицу знаков, определить промежутки монотонности и экстремумы; для каждого сделать качественный эскиз. | Закрепляет обязательную последовательность исследования; при проверке обратить внимание на знаки производной на каждом промежутке и координаты экстремумов. |
Средний (повышающий) | Исследовать две функции третьей степени с различным расположением критических точек и построить эскизы; в одном решении письменно объяснить, как старший член определяет поведение графика на бесконечности. | Развивает умение объединять аналитические свойства функции в графическую модель; проверить обоснование поведения обеих ветвей и согласованность эскиза с таблицей знаков. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственный пример многочлена третьей степени с локальным максимумом и минимумом, выполнить полное исследование и написать краткое объяснение, почему заданные критические точки действительно являются экстремумами. | Развивает исследовательскую самостоятельность и понимание связи коэффициентов, производной и формы графика; проверить корректность выбранного примера и доказательность выводов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: как по знаку производной определить промежутки возрастания и убывания? Почему критическую точку нужно проверить на смену знака? Какие сведения, помимо экстремумов, следует учесть, чтобы качественный эскиз соответствовал поведению функции?
