Применение первой и второй производной для построения графика функции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока каждый ученик по заданной формуле функции сможет исследовать её с помощью первой и второй производных, определить критические точки, промежутки монотонности, экстремумы и выпуклость, а затем построить обоснованный эскиз графика, выполнив не менее четырёх пунктов алгоритма без ошибок.
- Образовательная задача: систематизировать алгоритм исследования функции с помощью производных и применить его к заданиям формата ЕГЭ.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать знаки производных, устанавливать причинно-следственные связи и проверять выводы с помощью графического представления.
- Развивающая задача: совершенствовать навыки самостоятельного планирования решения и аргументированного обсуждения математических выводов в паре.
- Воспитательная задача: поддерживать академическую самостоятельность, ответственное отношение к проверке вычислений и уверенность при решении экзаменационных задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность производной как инструмента анализа изменений и построения графиков.
- Проявляет готовность самостоятельно выбирать порядок исследования функции и проверять обоснованность каждого вывода.
- Сохраняет конструктивное отношение к затруднению при решении задания формата ЕГЭ и использует его для уточнения способа решения.
- Уважительно относится к альтернативным способам рассуждения одноклассников и аргументирует собственную позицию.
Метапредметные
- Ученик извлекает из условия формулу функции и самостоятельно выделяет информацию, необходимую для её исследования.
- Строит таблицу знаков первой и второй производных, связывая аналитические данные с графическим образом функции.
- Использует цифровой графический инструмент для проверки гипотезы, но обосновывает выводы аналитически.
- Сравнивает решение с критериями, обнаруживает вычислительную или логическую ошибку и корректирует её.
- Представляет решение в паре, задаёт уточняющие вопросы и приводит аргументы в защиту сделанного вывода.
Предметные
- Ученик знает, что знак первой производной определяет промежутки возрастания и убывания функции.
- Умеет находить критические точки и определять наличие экстремума по смене знака первой производной.
- Умеет применять вторую производную для определения промежутков выпуклости и точек перегиба.
- Умеет составить план исследования функции и построить схематический график с учётом найденных характеристик.
- Умеет решать задания экзаменационного типа на исследование функции, записывая ключевые вычисления и обосновывая ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Ученик соотносит изучение производной с личными образовательными целями и подготовкой к дальнейшему обучению.
- Проявляет смыслообразование, понимая, что график является способом представления закономерностей изменения величины.
- Выбирает посильную стратегию включения в решение и принимает ответственность за собственный результат.
- Сохраняет спокойное и деловое отношение к ошибке как к источнику информации для самокоррекции.
Регулятивные УУД
- Ученик формулирует цель исследования графика и планирует последовательность вычислений.
- Сверяет ход решения с алгоритмом: область определения, производные, критические точки, монотонность, экстремумы, выпуклость, эскиз.
- Контролирует вычисления и корректность интервалов, проверяя знаки производных на пробных значениях.
- Оценивает результат по критериям и при необходимости исправляет черновой эскиз.
Познавательные УУД
- Ученик выделяет существенные математические данные в формуле и переводит их в таблицу знаков.
- Устанавливает логические связи между знаком производной, характером изменения функции и формой графика.
- Сравнивает аналитическое исследование с графическим представлением, полученным на цифровом ресурсе.
- Моделирует поведение функции на координатной плоскости по найденным опорным точкам и характеристикам.
Коммуникативные УУД
- Ученик согласует с партнёром распределение действий при совместном исследовании функции.
- Объясняет, почему смена знака первой производной указывает на экстремум или его отсутствие.
- Задаёт вопросы о выборе пробных значений и обосновании промежутков выпуклости.
- Конструктивно сопоставляет своё решение с решением партнёра и аргументированно предлагает исправление.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, алгоритмом исследования функции и пустой таблицей знаков; показать её на экране через проектор или интерактивную доску.
- Открыть до урока графический онлайн-инструмент или установленную программу для построения графиков; проверить интернет и подготовить резервный заранее построенный график.
- Распечатать карточки с заданиями для парной работы — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальные карточки с тремя уровнями заданий формата ЕГЭ — по одной на ученика, предусмотрев место для таблицы знаков и эскиза.
- Подготовить лист самооценки с четырьмя критериями: производные, критические точки, анализ знаков, обоснованный эскиз — по одному на ученика.
- Заранее записать на доске тему, проблемный вопрос «Как по производным восстановить основные особенности графика?» и координатную плоскость для построения эскиза.
- Подготовить маркеры двух цветов: один для знаков первой производной, другой для знаков второй производной; раздать по комплекту на каждую пару.
- Освободить безопасное пространство у парт для короткой физкультминутки; включить на экране таймер для работы по этапам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать познавательную потребность в систематическом исследовании функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Колонка 4 |
|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и выводит на экран два графика одной функции: аналитически полученный эскиз и график, построенный цифровым инструментом. «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что у вас есть тетрадь, ручка и калькулятор для проверки арифметики. Сегодня будем не угадывать форму графика по формуле, а получать её из точных математических признаков. Посмотрите на экран: какие сведения о функции вы хотели бы узнать до того, как начнёте чертить?» | Готовят тетради и ручки, рассматривают оба изображения и называют нужные характеристики: «Где функция возрастает?», «Есть ли максимум и минимум?», «Как определить выпуклость?» | |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос и фиксирует ключевые слова на доске. «Представьте, что формула графика дана, а сам график построить нужно без догадок. Можно ли восстановить его основные особенности, зная только первую и вторую производные? Подумайте полминуты самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Через минуту выслушаем две версии и проверим их на конкретной функции». | Сначала обдумывают вопрос индивидуально, затем обсуждают в паре и формулируют предположение: «Первая производная покажет возрастание и убывание, а вторая — выпуклость». | |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас есть гипотеза: производные содержат информацию о форме графика. Чтобы проверить её, сначала вспомним, как читать знак первой производной и находить критические точки».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить необходимые знания о производной и обнаружить, каких шагов не хватает для полного исследования графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран короткую разминку: f'(x)=2x−4; определить критическую точку и поведение производной слева и справа. «Запишите производную и решите уравнение f'(x)=0. Затем выберите пробное число меньше найденной точки и больше неё. Не ограничивайтесь ответом: объясните, что знак производной говорит о функции». | Индивидуально находят x=2, подставляют пробные значения и записывают: при x<2 производная отрицательна, при x>2 положительна; формулируют вывод: «Функция убывает, затем возрастает, значит, в точке x=2 минимум». |
3 мин | Учитель задаёт уточняющие вопросы и показывает схему «знак производной — характер изменения». «Что именно необходимо проверить, чтобы утверждать, что в критической точке есть экстремум? Достаточно ли решить уравнение f'(x)=0? А какие сведения о форме графика эта проверка пока не даёт? Назовите недостающий вопрос». | Отвечают: «Нужно проверить смену знака производной», «Одного равенства нулю недостаточно», «Пока не изучили выпуклость и точки перегиба». Фиксируют затруднение: нужен целостный порядок исследования. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем находить промежутки монотонности, но пока не собрали все результаты в алгоритм построения графика. Сформулируем цель так, чтобы в конце можно было проверить, достигли ли мы её».
Этап 3. Постановка учебной задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель урока и последовательность исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Снежный ком». «Сначала каждый запишите один шаг, который, по-вашему, обязательно нужен для построения графика. Объединитесь с соседом, выберите формулировку, которая лучше всего подходит. Теперь две пары объединяются и составляют общий порядок шагов. На доске оставим те действия, которые можно проверить вычислением или таблицей знаков». | Индивидуально предлагают шаг, в паре согласуют формулировки, затем в группе из четырёх человек выстраивают последовательность: область определения, производные, критические точки, знаки, экстремумы, выпуклость, эскиз. |
2 мин | Учитель фиксирует согласованный план и уточняет критерий результата. «Итак, сегодня исследуем функцию от начала до графического эскиза. Каждый должен уметь объяснить, откуда взялись интервалы монотонности и выпуклости, а не просто срисовать картинку с экрана. Как поймём, что цель достигнута? Назовите проверяемые признаки успешной работы». | Формулируют критерии: «Производные найдены верно», «Критические точки отмечены», «Знаки обоснованы», «Эскиз согласуется с таблицами». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План исследования составлен самими вами. Теперь применим его к одной функции и проверим, как каждый аналитический шаг меняет будущий график».
Этап 4. Открытие нового знания: исследование функции (12 мин)
Цель этапа: на примере функции f(x)=x³−3x²−9x+1 вывести согласованный алгоритм применения первой и второй производной для построения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске функцию f(x)=x³−3x²−9x+1 и задаёт последовательность вопросов. «Рассматриваем многочлен, значит, его область определения — все действительные числа. Найдите первую производную и решите уравнение f'(x)=0. Какие интервалы появятся на числовой прямой? Выберите по одному пробному значению в каждом интервале и проверьте знак производной». | Записывают f'(x)=3x²−6x−9=3(x−3)(x+1), находят критические точки −1 и 3, составляют интервалы. Проверяют знаки и получают: функция возрастает на (−∞;−1) и (3;+∞), убывает на (−1;3). |
4 мин | Учитель просит установить значения функции в критических точках и объяснить изменение графика. «Подставьте найденные абсциссы в исходную формулу. Сопоставьте знак первой производной слева и справа от каждой точки. Где будет максимум, а где минимум? Почему одной записи “производная равна нулю” недостаточно?» | Вычисляют f(−1)=6 и f(3)=−26; оформляют точки (−1;6) и (3;−26). Объясняют: «В x=−1 знак меняется с плюса на минус — максимум; в x=3 с минуса на плюс — минимум». |
4 мин | Учитель записывает вторую производную и предлагает исследовать выпуклость. «Найдите f''(x), решите уравнение f''(x)=0 и проверьте знак второй производной по обе стороны от найденной точки. Что можно заключить о выпуклости? Подставьте абсциссу в исходную функцию и проверьте, меняется ли характер выпуклости». Учитель затем показывает цифровой график этой функции и просит сравнить его с выводами, не заменяя доказательство картинкой. | Находят f''(x)=6x−6, точку x=1 и значение f(1)=−10. Устанавливают: при x<1 f''(x)<0, при x>1 f''(x)>0; отмечают точку перегиба (1;−10). Сравнивают собственный эскиз с графиком на экране и называют совпадающие характеристики. |
Запись в тетрадях
- Записать алгоритм: область определения; первая производная и критические точки; знаки первой производной и монотонность; экстремумы; вторая производная и возможные точки перегиба; интервалы выпуклости; построение эскиза.
- Для функции f(x)=x³−3x²−9x+1 записать промежутки монотонности, точки экстремума и точку перегиба.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили графический эскиз не по внешнему сходству, а по знакам производных и опорным точкам. Теперь применим тот же план к экзаменационной задаче и проверим, насколько ясно можем объяснить каждый шаг партнёру».
Этап 5. Первичное закрепление: парная задача формата ЕГЭ (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм исследования к новому многочлену и сопоставить аналитический результат с цифровым графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточку на пару с условием: «Исследуйте функцию g(x)=x³−6x²+9x+2 с помощью первой и второй производных. Найдите промежутки монотонности, экстремумы, точку перегиба и постройте схематический график. Обоснуйте каждый вывод таблицей знаков. В паре распределите роли: один отвечает за первую производную, второй — за вторую; затем проверьте решения друг друга». | Читают условие, распределяют роли и подготавливают таблицу знаков и координатную плоскость. |
5 мин | Учитель включает таймер и обходит пары, задавая вопросы вместо сообщения ответа. «Проверьте разложение производной на множители и не перепутайте абсциссу точки с координатой точки графика. Как изменяется знак производной по обе стороны критического значения? Какой именно вывод разрешает сделать вторая производная? Если цифровой график будет выглядеть убедительно, всё равно подтвердите результат расчётами». | Вычисляют g'(x)=3(x−1)(x−3), находят критические точки 1 и 3, определяют возрастание на (−∞;1) и (3;+∞), убывание на (1;3). Получают g(1)=6, g(3)=2; находят g''(x)=6x−12, точку перегиба (2;4), определяют смену знака второй производной при x=2 и строят эскиз. |
2 мин | Учитель выводит на экран график g(x) из цифрового инструмента. «Сверьте форму, положение максимума, минимума и перегиба. Если есть расхождение, укажите не только, что именно не совпало, но и на каком шаге возникла ошибка. Какая пара может аргументировать свой вывод без опоры на изображение?» | Сверяют график с таблицами, исправляют возможную неточность эскиза и формулируют вывод: «На рисунке подтверждаются две критические точки и перегиб, но основанием ответа служат знаки производных». |
Эталон решения
Для g(x)=x³−6x²+9x+2: g'(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3). Знак g' положителен при x<1 и x>3, отрицателен при 1<x<3; значит, функция возрастает на (−∞;1) и (3;+∞), убывает на (1;3). g(1)=6 — точка максимума (1;6); g(3)=2 — точка минимума (3;2). g''(x)=6x−12=6(x−2); при x<2 вторая производная отрицательна, при x>2 положительна. g(2)=4, точка перегиба — (2;4). При эскизе отметить найденные точки и согласовать направление ветвей с монотонностью.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили полный алгоритм на задаче экзаменационного типа и увидели, что точность знаков важнее аккуратности рисунка. Перед индивидуальной работой сделаем короткую разминку, чтобы восстановить внимание после вычислений».
Этап 6. Физкультминутка и межпредметная связь (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и связать понятие производной с анализом изменения величины во времени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает встать рядом с партами и выполняет движения вместе с классом. «На вдохе поднимите руки, на выдохе опустите. Сделаем несколько круговых движений плечами, расправим спину и посмотрим вдаль. Двигайтесь спокойно, не задевая соседей; если вам удобнее оставаться сидя, выполните движения плечами и кистями». | Выполняют безопасные движения стоя или сидя, расправляют плечи и переводят взгляд вдаль. |
1 мин | Учитель связывает урок с физикой и предлагает интерпретацию. «В физике положение тела зависит от времени, а производная положения по времени — скорость. Если скорость положительна, положение растёт; если отрицательна, уменьшается. В точке смены знака скорости возможен переход от движения в одном направлении к другому. Назовите, какую аналогию мы можем провести с исследованием функции на сегодняшнем уроке». | Отвечают: «Знак производной показывает, растёт или убывает функция; смена знака помогает обнаружить экстремум». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что язык производных описывает изменения не только математического графика, но и физических величин. Теперь каждый самостоятельно выполнит короткое исследование и оценит, какой шаг алгоритма требует дополнительного внимания».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение основных действий алгоритма исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки с выбором уровня. «Выберите один вариант: базовый — определить монотонность и экстремумы функции h(x)=x³−3x; повышенный — дополнительно найти точку перегиба и сделать эскиз; дополнительный — объяснить, какие выводы по графику нельзя делать без проверки смены знака производной. Работайте самостоятельно, записывайте производную и пробные значения. На экране остаются критерии проверки: верные вычисления, обоснованные интервалы, согласованный вывод». | Индивидуально выбирают уровень и решают: h'(x)=3x²−3, критические точки −1 и 1; определяют знак производной и соответствующие промежутки монотонности. На повышенном уровне находят h''(x)=6x, точку перегиба с абсциссой 0 и строят эскиз. |
2 мин | Учитель открывает на экране эталон ключевых результатов. «Сверьте сначала производную и критические точки, затем интервалы знаков. Отметьте галочкой то, что выполнено верно, и поставьте вопросительный знак там, где нужно разобраться. Исправление внесите другим цветом, не стирая ход решения: нам важно увидеть, как вы нашли и исправили ошибку». | Сверяют записи: критические точки −1 и 1; функция возрастает на (−∞;−1) и (1;+∞), убывает на (−1;1). Самостоятельно отмечают выполненные критерии и исправляют ошибку, если она обнаружена. |
Эталон решения
h'(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). Производная положительна при x<−1 и x>1, отрицательна при −1<x<1. Следовательно, h возрастает на (−∞;−1) и (1;+∞), убывает на (−1;1). h(−1)=2 — максимум, h(1)=−2 — минимум. Для повышенного уровня h''(x)=6x; знак меняется при x=0, h(0)=0, поэтому точка перегиба — (0;0).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная проверка показала, какие части алгоритма уже стали устойчивыми. Осталось обобщить результаты урока, оценить собственный прогресс и сформулировать вопрос, который поможет подготовить следующий шаг обучения».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: организовать самооценку достижения цели урока и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и предлагает короткую одноминутку. «Закончите две фразы: “Теперь я могу…” и “Мне нужно ещё потренироваться в…”. Затем отметьте, можете ли вы объяснить связь знака первой производной с монотонностью и второй — с выпуклостью. Не оценивайте себя по скорости: важно точно назвать освоенный шаг и оставшийся вопрос». | Заполняют лист самооценки, формулируют конкретный результат: «Теперь я могу определить экстремум по смене знака первой производной»; «Мне нужно внимательнее проверять промежутки знаков второй производной». |
1 мин | Учитель показывает на экране уровни домашней работы и контрольный вопрос. «Обязательный уровень выполняют все, следующий выбирайте по своей готовности, дополнительный предназначен для тех, кто хочет проверить себя на более сложной задаче. Перед выходом ответьте устно: что именно нужно проверить, прежде чем назвать критическую точку точкой экстремума?» | Записывают выбранный уровень домашней работы и отвечают: «Нужно проверить смену знака первой производной по обе стороны критической точки». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены обе производные для задания, критические точки и точка перегиба; промежутки монотонности и выпуклости обоснованы таблицами знаков; эскиз соответствует найденным характеристикам.
- «4» — алгоритм применён в основном верно, производные и ключевые точки найдены правильно, но допущена одна неточность в интервале, координатах точки или оформлении эскиза, не меняющая общего вывода.
- «3» — верно найдена первая производная и определены хотя бы критические точки или промежутки монотонности, но исследование второй производной либо обоснование эскиза выполнено частично.
- При парной работе учитывается математическая аргументация: ученик может объяснить выбор пробных значений, смену знака и связь таблицы производных с графиком.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как знак первой производной помогает определить промежутки возрастания и убывания? | Проверка понимания связи знака производной с монотонностью функции. |
Какой признак подтвердил наличие экстремума в найденной критической точке? | Выявление понимания необходимости смены знака первой производной. |
Что именно вторая производная сообщила о графике и как вы это проверили? | Проверка освоения определения промежутков выпуклости и точки перегиба. |
Какой шаг алгоритма сегодня оказался для вас самым трудным? | Диагностика индивидуальных затруднений и планирование дальнейшей поддержки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы построили графический эскиз, опираясь на математические признаки, а не на догадку или изображение на экране. Вы применили первую производную для исследования монотонности и экстремумов, а вторую — для анализа выпуклости и точки перегиба. Помните о типичной ошибке: равенство производной нулю само по себе ещё не доказывает наличие экстремума — необходимо проверить смену знака. Продолжайте записывать промежуточные шаги, чтобы решение было проверяемым и понятным. На следующем уроке мы будем применять исследование функций в более сложных задачах, в том числе при анализе параметров и экзаменационных условий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Исследовать одну кубическую функцию вида f(x)=x³+ax²+bx+c: найти первую производную, критические точки, промежутки монотонности и экстремумы; построить схематический график. | Закрепить связь знака первой производной с изменением функции; при проверке смотреть на корректность критических точек и обоснование смены знака. |
Средний (повышающий) | Исследовать одну функцию третьей степени с помощью первой и второй производных: определить монотонность, экстремумы, интервалы выпуклости, точку перегиба и выполнить эскиз графика. | Отработать полный алгоритм исследования; при проверке обратить внимание на таблицы знаков обеих производных и согласованность графического эскиза с найденными точками. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить одно задание экзаменационного типа на исследование функции: представить аналитическое обоснование, построить эскиз и письменно объяснить, почему критическая точка без смены знака производной не является экстремумом. | Развить аргументацию и готовность к нестандартной формулировке; при проверке оценивать полноту обоснования, точность математической записи и самостоятельность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: какие сведения о графике даёт первая производная? Как по второй производной исследовать выпуклость? Почему для вывода об экстремуме важно проверить смену знака первой производной?
