Пирамида. Площадь полной и боковой поверхности пирамиды
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться находить площадь боковой и полной поверхности правильной пирамиды, выбирая и обосновывая подходящую формулу, и решить не менее двух практических задач с точностью не менее 80%.
- Сформулировать определения боковой и полной поверхности пирамиды, апофемы правильной пирамиды и распознавать элементы пирамиды на чертеже.
- Вывести и применять формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн}l$ и площади полной поверхности $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$.
- Развивать умение строить математическую модель пространственной фигуры, анализировать условие задачи, выбирать необходимые данные и проверять разумность результата.
- Формировать ответственное отношение к точности вычислений, взаимопроверке и применению геометрических знаний в архитектуре, инженерии и проектировании.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вычисления площадей поверхностей при проектировании зданий, упаковки и инженерных конструкций.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и аргументировать математические выводы.
- Формируют ответственное отношение к точности чертежа, единицам измерения и проверке результата.
- Развивают устойчивость к затруднениям при работе с пространственными фигурами, что важно при подготовке к продолжению образования.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия, чертежа и формул, преобразуют её в математическую модель.
- Планируют последовательность решения: определить элементы пирамиды, найти периметр и площадь основания, вычислить площадь боковой поверхности, затем полную площадь.
- Сравнивают различные способы решения и выявляют ошибки в вычислениях или выборе формулы.
- Аргументированно представляют решение, осуществляют взаимопроверку по заданным критериям и корректируют результат.
Предметные
- Знать определения пирамиды, боковой поверхности, полной поверхности, апофемы правильной пирамиды.
- Уметь находить площадь боковой поверхности правильной пирамиды по периметру основания и апофеме.
- Уметь вычислять площадь полной поверхности пирамиды как сумму площадей боковой поверхности и основания.
- Уметь применять теорему Пифагора для нахождения апофемы или высоты в задачах с дополнительными данными.
- Владеть навыком оформления решения пространственной задачи с чертежом, формулами, единицами площади и обоснованием ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на площади поверхностей.
- Осознают смысл изучения формулы через её связь с площадями боковых граней, а не только запоминают запись.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и готовность принимать обоснованную помощь.
- Оценивают собственный прогресс по результатам самостоятельной работы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель решения и составляют план действий по условию задачи.
- Контролируют соответствие используемой формулы данным задачи.
- Проверяют единицы измерения, промежуточные вычисления и реалистичность ответа.
- Обнаруживают и исправляют ошибки после самопроверки по эталону.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные элементы пирамиды на чертеже и в текстовом условии.
- Обобщают площади боковых граней правильной пирамиды в формулу через периметр основания.
- Применяют аналогию между площадью треугольника и площадью всех боковых граней.
- Моделируют пространственную фигуру плоским чертежом и используют теорему Пифагора для поиска неизвестного элемента.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о выборе формулы и уточняют смысл геометрических терминов.
- Обсуждают решение в парах, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Аргументируют, почему в формуле используется именно апофема, а не высота пирамиды.
- Корректно дают обратную связь по критериям и принимают замечания партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить объёмную модель правильной четырёхугольной пирамиды или её развёртку, чтобы показать основание и боковые грани.
- Распечатать карточки для парной работы: один вариант с правильной треугольной пирамидой, второй — с правильной четырёхугольной пирамидой, по одной карточке на пару.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: базовый, повышающий и дополнительный — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить листы самооценки и эталон самостоятельной работы для раздачи после выполнения задания.
- Вывести на доску или слайд схему пирамиды с обозначениями: $S$ — вершина, $O$ — центр основания, $SO$ — высота, $SM$ — апофема, $P_{осн}$ — периметр основания.
- Заранее записать на доске формулы $S_{бок}=\frac{1}{2}P_{осн}l$ и $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$, закрыв их до этапа открытия нового знания.
- Подготовить линейку, маркеры, калькуляторы по разрешению учителя и несколько листов миллиметровой бумаги для желающих выполнить схематический чертёж.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; на экране подготовить изображения развёртки пирамиды и таблицу критериев оценивания.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практический смысл темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает объёмную модель пирамиды: "Здравствуйте, ребята. Проверьте готовность: тетрадь, ручка, линейка и калькулятор должны быть на столе. Сегодня мы будем работать не только с формулой, но и с пространственной моделью. Посмотрите на фигуру: где подобная форма может встречаться в реальной жизни?" | Проверяют готовность, рассматривают модель и называют варианты: "архитектурное сооружение", "крыша", "сувенирная упаковка", "инженерная конструкция". |
2 мин | Учитель демонстрирует развёртку: "Представьте, что эту пирамиду нужно покрыть материалом снаружи. Какие поверхности придётся измерить? Можно ли просто найти площадь одной грани? Как учесть все боковые грани и основание? Зафиксируйте проблемный вопрос: как быстро найти площадь всей поверхности пирамиды?" | Рассматривают развёртку, формулируют проблему и предполагают: "Нужно сложить площади всех граней"; "Для правильной пирамиды можно использовать одинаковые боковые грани". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что поверхность пирамиды состоит из нескольких плоских фигур. Теперь вспомним, какие элементы пирамиды и формулы площадей нам понадобятся для точного вычисления."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания об элементах пирамиды, площади треугольника и площади многоугольника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит схему пирамиды: "Подумайте — обсудите в паре — поделитесь. За 30 секунд назовите элементы, которые видите на рисунке. Затем сравните ответы с соседом. Что называется основанием, боковыми рёбрами, высотой?" | Индивидуально называют элементы, затем обсуждают в парах и формулируют: "Основание — многоугольник, вершина находится вне его плоскости, боковые рёбра соединяют вершину с вершинами основания, высота перпендикулярна основанию". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как найти площадь треугольника? Как найти площадь правильного многоугольника, если известны его периметр и апофема? Какая формула используется для квадрата со стороной $a$?" | Записывают или проговаривают: $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$; для правильного многоугольника $S=\frac{1}{2}Pr$; для квадрата $S=a^2$. |
2 мин | Учитель показывает две грани на развёртке: "Если боковые грани правильной пирамиды — равные треугольники, что нужно знать для площади каждой грани? Чем отличается высота боковой грани от высоты всей пирамиды?" | Отвечают: "Нужны основание треугольника и его высота"; "Апофема — высота боковой грани, а высота пирамиды перпендикулярна основанию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили формулу площади треугольника и увидели, что для боковой грани нужна её высота — апофема. Теперь выясним, как объединить площади всех граней в одну формулу."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план открытия формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: "Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания $a$ и апофемой $l$. Предложите способ найти сумму площадей четырёх боковых граней, не вычисляя каждую грань отдельно." Учитель спрашивает: "Какие величины уже известны? Как можно заменить сумму оснований боковых треугольников?" | Выполняют краткую запись, обсуждают в парах и предполагают: "Сумма оснований боковых треугольников равна периметру основания, то есть $4a$". |
2 мин | Учитель направляет эвристическую беседу: "Сначала запишем площадь одной боковой грани. Затем умножим на число граней. Что получится для правильной пирамиды с любым многоугольником в основании? После этого добавим площадь основания. Сформулируйте цель урока своими словами." | Выводят последовательность: площадь одной грани — $ rac{1}{2}al$, сумма — $ rac{1}{2}P_{осн}l$, затем добавляется площадь основания. Формулируют цель: "Научиться находить боковую и полную поверхность пирамиды и выбирать нужные элементы". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён: сначала найдём периметр и площадь основания, затем апофему, если она не дана, после этого вычислим боковую и полную площади. Переходим к открытию и записи общего правила."
Этап 4. Открытие нового знания и разбор образца (10 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить формулы площадей поверхностей правильной пирамиды.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает развёртку правильной пирамиды: "Каждая боковая грань — треугольник с высотой, равной апофеме $l$. Если сложить площади всех боковых треугольников, в числителе окажется сумма длин их оснований. Эта сумма равна периметру основания. Поэтому получаем формулу: $S_{бок}=\frac{1}{2}P_{осн}l$. Почему в этой формуле используется апофема, а не высота пирамиды?" | Рассматривают развёртку, подсчитывают грани и отвечают: "Апофема является высотой каждой боковой грани, а высота пирамиды к боковой грани не относится". |
3 мин | Учитель продолжает: "Полная поверхность включает боковую поверхность и само основание. Поэтому формула имеет вид $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$. Запишите алгоритм: 1) определить основание; 2) найти $P_{осн}$ и $S_{осн}$; 3) найти или вычислить $l$; 4) найти $S_{бок}$; 5) сложить площади." | Записывают формулы и алгоритм, задают вопросы о различии высоты и апофемы. |
3 мин | Учитель разбирает задачу: "Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной $6$ см, апофема равна $5$ см. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды." Учитель просит сначала назвать план, затем выполняет решение на доске с комментариями. | Называют план, выполняют запись решения и проверяют единицы измерения. |
Запись в тетрадях
Определения: апофема правильной пирамиды — высота боковой грани; боковая поверхность — сумма площадей боковых граней; полная поверхность — сумма площадей боковой поверхности и основания. Формулы: $S_{бок}=\frac{1}{2}P_{осн}l$, $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$.
Эталон решения
$P_{осн}=4\cdot6=24$ см. Площадь основания: $S_{осн}=6^2=36$ см$^2$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot24\cdot5=60$ см$^2$. Площадь полной поверхности: $S_{полн}=60+36=96$ см$^2$. Ответ: $S_{бок}=60$ см$^2$, $S_{полн}=96$ см$^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели формулу через сумму площадей треугольников и применили её к квадратному основанию. Обратите внимание: без определения основания и апофемы легко перепутать формулы. Теперь проверим понимание на коротких заданиях в парах."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления площадей и различение апофемы и высоты пирамиды.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя мини-заданиями: "В первом задании дана правильная треугольная пирамида: периметр основания $18$ см, апофема $7$ см, площадь основания $12$ см$^2$. Во втором нужно объяснить, почему при нахождении боковой поверхности нельзя использовать высоту пирамиды вместо апофемы. Один ученик решает, второй проверяет план и единицы измерения." | В парах находят $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot18\cdot7=63$ см$^2$, затем объясняют различие между высотой пирамиды и апофемой. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сверьте ответы с формулой на доске. Не просто поставьте плюс или минус: назовите, на каком шаге возникла ошибка. Используйте приём "Две звезды и пожелание": отметьте два удачных действия и один совет." | Сверяют вычисления, записывают партнёру две сильные стороны и один совет, исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель предлагает устную проверку: "Если периметр основания увеличился в два раза, а апофема не изменилась, как изменится боковая поверхность? Если площадь основания равна нулю, может ли полная поверхность равняться боковой?" | Формулируют ответы: "Боковая поверхность увеличится в два раза"; "Для реальной пирамиды площадь основания не равна нулю, поэтому полная поверхность больше боковой". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы правильно определили периметр основания и апофему. Теперь каждый самостоятельно решит задачу, а затем проверит решение по эталону."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять формулы и оценить уровень освоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Сейчас выполните самостоятельную работу. Обязательное задание решают все. Затем выберите повышенное или дополнительное, если чувствуете готовность. В каждом решении должны быть чертёж или схема, формула, вычисления и ответ с единицами площади." | Выбирают уровень, переписывают условие или краткую запись, готовят место для чертежа. |
5 мин | Учитель раздаёт базовую задачу: "Правильная треугольная пирамида имеет сторону основания $8$ см и апофему $10$ см. Найдите площадь боковой поверхности. Площадь основания равна $16\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите площадь полной поверхности." Повышенная задача: "У правильной четырёхугольной пирамиды сторона основания $10$ см, высота пирамиды $12$ см. Найдите площадь полной поверхности, если апофема определяется из прямоугольного треугольника с катетами $12$ см и $5$ см." | Самостоятельно решают: для первой задачи находят периметр $24$ см, $S_{бок}=120$ см$^2$, $S_{полн}=120+16\sqrt3$ см$^2$. Для второй находят $l=13$ см, $S_{бок}=260$ см$^2$, $S_{осн}=100$ см$^2$, $S_{полн}=360$ см$^2$. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте не только итог, но и каждый шаг: периметр, апофему, площадь основания, единицы измерения. Если ошибка найдена, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление." | Сверяют решение с эталоном, отмечают ошибки и исправления, выставляют предварительный балл. |
2 мин | Учитель проводит самооценку: "Поставьте в листе самооценки знак плюс, если вы можете самостоятельно выбрать формулу, и знак вопроса, если затрудняетесь. Поднимите зелёную карточку при полной готовности, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется разбор." | Заполняют лист самооценки, показывают цвет карточки, формулируют личное затруднение: "путаю апофему и высоту", "ошибаюсь в площади основания", "нужно внимательнее считать периметр". |
Эталон решения
Для базовой задачи: $P_{осн}=3\cdot8=24$ см; $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot24\cdot10=120$ см$^2$; $S_{полн}=120+16\sqrt3$ см$^2$. Для повышенной задачи: половина стороны квадратного основания равна $5$ см; $l=\sqrt{12^2+5^2}=13$ см; $P_{осн}=40$ см; $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot40\cdot13=260$ см$^2$; $S_{осн}=10^2=100$ см$^2$; $S_{полн}=360$ см$^2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что формула становится рабочим инструментом только при правильном чтении чертежа и условия. Осталось обобщить результат, назвать типичные ошибки и определить, что нужно закрепить дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и задать дифференцированную самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Одноминутная бумага": "За одну минуту запишите три пункта: какую формулу вы сегодня вывели, чем апофема отличается от высоты пирамиды, какой шаг решения требует от вас наибольшего внимания. Не переписывайте определение механически — сформулируйте своими словами." | Пишут краткий ответ: формулы, различие апофемы и высоты, личное затруднение. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как найти площадь внешней поверхности правильной пирамиды? Сформулируйте полный ответ. Что произойдёт с боковой площадью при увеличении периметра основания в три раза при неизменной апофеме?" | Отвечают: "Нужно найти половину произведения периметра основания на апофему, а затем прибавить площадь основания"; "Боковая площадь увеличится в три раза". |
1 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный выполняйте по готовности. В каждой задаче оформите схему, укажите известные величины, формулу и единицы измерения. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы, чтобы проверить понимание." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход с ответом на один контрольный вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы связали развёртку пирамиды с формулой площади её поверхности и проверили формулу на задачах разного уровня. На следующем уроке мы продолжим работать с пространственными фигурами и будем находить недостающие элементы пирамиды по дополнительным условиям."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены обязательная и выбранная дополнительная задачи, правильно различены апофема и высота, записаны формулы $S_{бок}=\frac{1}{2}P_{осн}l$ и $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$, приведены чертёж и единицы площади.
- "4" — обязательная задача решена верно, в выбранной задаче допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- "3" — правильно записана хотя бы одна основная формула и выполнена часть обязательного решения, но допущены ошибки в периметре, площади основания или сложении площадей.
- Ниже отметки «3» — формула выбрана неверно, отсутствует понимание различия апофемы и высоты или решение не доведено до ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие две формулы площади поверхности пирамиды вы теперь можете объяснить, а не только записать? | Выявление осознанности формул и связи между боковой и полной поверхностью. |
Как вы отличаете апофему от высоты пирамиды на чертеже? | Проверка ключевого предметного понятия и предупреждение типичной ошибки. |
На каком шаге решения вы испытывали затруднение: периметр, апофема, площадь основания или итоговое сложение? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Оценка самоопределения, готовности к самостоятельной работе и адекватности самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за развёрткой пирамиды понятный алгоритм вычисления площади поверхности. Главное — не путать апофему, являющуюся высотой боковой грани, с высотой самой пирамиды, и не забывать добавлять площадь основания при нахождении полной поверхности. Если решение не получается, возвращайтесь к чертежу и проверяйте, какая именно величина дана. На следующем уроке мы будем восстанавливать недостающие элементы пирамиды по теореме Пифагора и применять сегодняшний алгоритм в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на нахождение площади боковой и полной поверхности правильных пирамид: две с известной апофемой и площадью основания, одну с квадратным основанием, одну с треугольным основанием. В каждой задаче выполнить схему и указать единицы измерения. | Закрепить алгоритм вычисления $P_{осн}$, $S_{осн}$, $S_{бок}$ и $S_{полн}$; при проверке обратить внимание на правильный выбор апофемы и аккуратность вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи, в которых апофема находится по теореме Пифагора: для правильной четырёхугольной пирамиды использовать высоту и половину стороны основания, а затем найти полную поверхность. | Развить умение связывать пространственный чертёж с плоским прямоугольным треугольником; при проверке смотреть на обоснование формулы для апофемы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о покрытии или окраске правильной пирамидальной конструкции, задав размеры так, чтобы потребовалось найти апофему и полную площадь поверхности. Представить краткое решение и проверить размерность ответа. | Развить математическое моделирование и создание собственной задачи; при проверке оценить реалистичность условия, полноту модели и аргументированность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют апофемой правильной пирамиды?», «Как связаны боковая и полная поверхности?», «Почему в формуле боковой поверхности используется периметр основания?», «Какие величины нужно проверить перед окончательной записью ответа?»
