Контрольная работа № 1. Степень с рациональным показателем. Показательная функция, уравнения и неравенства
Цели и задачи
- Цель: за 45 минут обобщить способы преобразования выражений со степенями с рациональным показателем и проверить умение строить график показательной функции, решать показательные уравнения и неравенства.
- Образовательная задача: систематизировать свойства степени с рациональным показателем и свойства функции y=a^x при a>0, a≠1.
- Образовательная задача: выполнить контрольные задания базового уровня, в том числе задания, по формату и математическим действиям близкие к заданиям ЕГЭ базового уровня.
- Развивающая задача: выбирать способ решения, обосновывать равносильность преобразований и проверять полученный ответ.
- Воспитательная задача: формировать самостоятельность, ответственное отношение к результату и спокойное отношение к проверочной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность алгебраических моделей и связи математики с дальнейшим образованием и профессиональными задачами.
- Проявляет самостоятельность и ответственность при выполнении контрольной работы.
- Использует рефлексию для определения сильных сторон и тем, требующих повторения.
- Соблюдает академическую честность и уважает право одноклассников на самостоятельную работу.
Метапредметные
- Планирует время выполнения заданий и выбирает последовательность работы с учётом их сложности.
- Извлекает математическую информацию из условия, символической записи и графика функции.
- Сравнивает способы решения и проверяет корректность преобразований.
- Использует электронный таймер и проекционный экран для организации работы, не применяя цифровые средства для получения ответов во время контроля.
Предметные
- Ученик применяет свойства степени с рациональным показателем и корректно преобразует выражения при допустимых значениях переменных.
- Описывает свойства показательной функции y=a^x, определяет её возрастание или убывание и использует график для чтения значений.
- Решает простейшие показательные уравнения сведением к общему основанию и методом замены переменной.
- Решает показательные неравенства с учётом направления сравнения при основании больше или меньше единицы.
- Записывает ответ в требуемой форме и выполняет проверку решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят содержание контрольной работы с личными образовательными целями и подготовкой к итоговой аттестации.
- Сохраняют рабочий настрой при встрече с непривычной формой задания.
- Оценивают собственную готовность без сравнения результата с результатами одноклассников.
- Проявляют честность и уважение к самостоятельной работе других.
Регулятивные УУД
- Формулируют личный план выполнения работы и распределяют отведённое время.
- Самостоятельно контролируют знаки, основания степеней, допустимость преобразований и полноту ответа.
- Сверяют результат с условием и исправляют обнаруженные описки до сдачи работы.
- Оценивают затруднения по конкретным темам и намечают способ их устранения.
Познавательные УУД
- Выбирают подходящий алгоритм решения показательного уравнения или неравенства.
- Анализируют структуру выражения и распознают возможность перехода к общему основанию или замене переменной.
- Моделируют ситуацию с помощью показательной зависимости и интерпретируют смысл результата.
- Сопоставляют графическое и аналитическое представления показательной функции.
Коммуникативные УУД
- В парной актуализации формулируют математические утверждения и поясняют выбор ответа.
- Выслушивают партнёра, задают уточняющий вопрос и корректно согласуют общий вывод.
- Во время контрольной работы соблюдают тишину и не передают решения другим ученикам.
- После сдачи работы формулируют вопросы о способах решения без разглашения ответов тем, кто ещё работает.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить два варианта контрольной работы, по одному экземпляру на ученика; задания обоих вариантов должны проверять одинаковые умения и иметь сопоставимую сложность.
- Подготовить отдельную краткую карточку для парной актуализации — по одной на пару, всего по числу пар в классе; включить свойства степеней и свойства функции y=a^x.
- Подготовить листы для контрольной работы с полями для решения и ответов; предусмотреть запасные экземпляры для отсутствующих или испорченных листов.
- Вывести на экран нейтральный таймер на 27 минут и краткий порядок сдачи работы; отключить доступ учеников к справочным материалам и приложениям с вычислениями.
- На доске заранее записать тему, цель, перечень проверяемых разделов и напоминание: «Проверь основание; при a>1 знак сохраняется, при 0<a<1 знак меняется».
- Подготовить слайд с графиками y=2^x и y=(1/2)^x для актуализации и слайд с межпредметным контекстом: рост количества бактерий по модели N(t)=N₀·2^t.
- Подготовить часы или проектор с таймером, компьютер, проектор и маркеры; проверить видимость экрана с последних парт.
- Подготовить стикеры трёх цветов для заключительной самооценки: зелёный — уверен, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется помощь.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и настрой (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и настроить учеников на спокойную самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, что на парте лежат ручка и лист для работы, а телефон убран. Сегодня мы не изучаем новый алгоритм, а показываем, насколько уверенно умеем применять уже освоенные способы. Работайте самостоятельно и начинайте с задания, которое понимаете лучше всего». | Готовят письменные принадлежности, убирают телефоны, подписывают полученные листы после раздачи. |
1 мин | Учитель показывает на доске тему и план времени: «Посмотрите на план: сначала коротко соберём ключевые свойства, затем будет контрольная работа и в конце — самооценка. Если встретится сложное задание, отметьте его и переходите дальше. Возвращение к нему в конце часто помогает увидеть решение». | Читают план, задают организационные вопросы, принимают решение распределять время и не задерживаться на одном задании. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Рабочие места готовы, порядок понятен. Перед контрольной быстро восстановим основные свойства, которые помогут проверить себя».
Этап 2. Актуализация знаний в парах (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства степеней и показательной функции через краткое парное обсуждение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала каждый самостоятельно прочитайте три утверждения и отметьте те, которые можете обосновать. Не торопитесь угадывать: вспомните условие применимости свойства и поведение функции». | Индивидуально читают карточку и отмечают ответы: например, свойства степени при положительном основании; монотонность y=a^x. |
2 мин | Учитель предлагает сравнить решения: «Теперь обсудите ответы с соседом. Объясните друг другу, почему функция возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1. Проверьте утверждение о неравенстве: что происходит со знаком, если основание меньше единицы?» | В парах сверяют ответы и проговаривают вывод: «При основании больше единицы направление сохраняется, при основании между нулём и единицей — меняется». Записывают на карточке одно правило, которое важно не забыть. |
2 мин | Учитель просит две пары поделиться выводами и показывает на экране графики y=2^x и y=(1/2)^x: «Какая кривая возрастает? Какая убывает? Назовите общую точку графиков и объясните, почему она там находится». | Представители пар отвечают: «y=2^x возрастает, y=(1/2)^x убывает; обе проходят через (0;1), потому что a⁰=1». Остальные сверяют формулировки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили свойства степени и монотонность функции. Теперь применим математику к реальному контексту и увидим, как показатель степени описывает рост».
Этап 3. Межпредметный контекст и физкультминутка (3 мин)
Цель этапа: связать показательную зависимость с естественно-научной моделью и дать краткую двигательную паузу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает на экране модель роста количества бактерий N(t)=N₀·2^t, где t — число одинаковых временных интервалов: «Если в начале было N₀ бактерий и каждый интервал количество удваивается, как выразить число бактерий через три интервала? Здесь нужна модель, а не знание конкретных биологических чисел». | Отвечают: «N(3)=N₀·2³=8N₀». Объясняют, что показатель показывает число удвоений, а основание 2 — коэффициент роста за интервал. |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: «Отложите ручки, встаньте рядом с партой. На счёт четыре поднимите руки вверх и потянитесь, затем расслабьте плечи. Сделайте четыре круговых движения плечами, посмотрите вдаль и спокойно сядьте. Эта пауза нужна, чтобы восстановить внимание перед самостоятельной работой». | Выполняют разминку у своих мест, не перемещаясь по классу; садятся и готовят рабочее место к получению контрольных листов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что показательная модель описывает последовательное изменение величины. Теперь перейдём к самостоятельной проверке математических умений».
Этап 4. Инструктаж перед контрольной работой (2 мин)
Цель этапа: разъяснить порядок выполнения и критерии успешной работы до начала контроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт варианты и сообщает: «На листе пять заданий: преобразование степени, анализ функции, уравнение, неравенство и короткая задача на модель. На работу отведено 27 минут. Записывайте ход решения, а не только ответ: это позволит увидеть способ и получить частичный зачёт при вычислительной ошибке. Калькуляторы и справочные записи не используем. Если условие непонятно, поднимите руку; я поясню формулировку, не подсказывая решение». | Получают вариант, подписывают лист, читают условия. Не обсуждают задания с соседями; при необходимости задают учителю вопрос о формулировке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Порядок работы и критерии ясны. Переверните лист и приступайте; сначала внимательно прочитайте все задания».
Этап 5. Самостоятельное выполнение контрольной работы (27 мин)
Цель этапа: проверить обобщённые предметные умения по теме в условиях самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель запускает таймер и напоминает: «Сначала просмотрите весь вариант и оцените, с какого задания разумнее начать. Подчеркните в условии ключевые слова: “рациональный показатель”, “основание”, “решить неравенство”. Если задача кажется трудной, поставьте рядом знак и вернитесь к ней позже». | Просматривают пять заданий, распределяют порядок выполнения, отмечают задания для повторного обращения. |
20 мин | Учитель следит за самостоятельной работой, не комментируя способы решения, и по необходимости тихо напоминает о времени: «Проверьте, что в преобразовании степени соблюдены условия существования. В уравнении убедитесь, что найденные значения допустимы. В неравенстве отдельно проверьте основание показательной функции и направление знака». Учитель фиксирует наблюдения о типичных затруднениях, не оценивая ответы вслух. | Индивидуально решают задания варианта: упрощают выражение со степенями с рациональными показателями; определяют свойства показательной функции и читают её график; решают уравнение приведением к общему основанию; решают неравенство с учётом монотонности; выполняют короткую задачу на применение модели N(t)=N₀·2^t. Записывают промежуточные шаги. |
5 мин | Учитель сообщает: «Осталось пять минут. Проверьте нумерацию ответов, знаки и область допустимых значений там, где она нужна. Сверьте, что ответ на неравенство записан множеством или промежутком, а в задаче указаны единицы смысла результата. Закончившие положите ручки и поднимите руку». | Перепроверяют решения, исправляют описки, дописывают ответы и сдают лист учителю. Закончившие не разговаривают и не мешают одноклассникам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Работы собраны. Сейчас не будем сравнивать ответы: сначала каждый определит, какие способы применял уверенно и где возникло затруднение».
Этап 6. Самооценка и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: помочь ученикам осознать уровень освоения темы и обозначить конкретные направления дальнейшей подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт цветные стикеры и предлагает самооценку: «Выберите один цвет не для оценки отметки, а для оценки уверенности: зелёный — могу объяснить способы; жёлтый — в целом понимаю, но путаюсь в отдельных шагах; красный — нужна помощь. На стикере допишите одну тему: степени, функция, уравнения или неравенства». | Выбирают стикер и указывают конкретную тему. Прикрепляют его к доске в соответствующей зоне, не подписывая имя. |
2 мин | Учитель проводит «Одноминутку»: «Запишите две короткие фразы: какой способ сегодня помог больше всего и какую ошибку вы будете проверять в первую очередь. Например: “проверю основание перед преобразованием неравенства”. Это поможет мне спланировать повторение». | Письменно формулируют личный вывод и оставляют записку учителю. При желании называют один вопрос, который остался после работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Спасибо за честную самооценку. По вашим ответам и стикерам я уточню, какие приёмы стоит повторить; дома можно выбрать подходящий уровень тренировки».
Этап 7. Домашнее задание и контрольные вопросы (2 мин)
Цель этапа: сообщить дифференцированное задание и завершить урок проверкой ключевых ориентиров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске варианты домашней тренировки: «Запишите базовый вариант как обязательный. Если чувствуете уверенность, добавьте повышающий; продвинутый можно выбрать по интересу. Перед выходом ответьте себе на два вопроса: когда меняется знак при переходе от показательной функции к сравнению показателей? Как проверить корень показательного уравнения?» | Записывают выбранный объём домашней работы и устно отвечают: «Знак меняется при основании между нулём и единицей»; «Подстановкой в исходное уравнение». |
