Степень с рациональным показателем. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться представлять степени с рациональным показателем через корень, применять свойства степеней, решать простейшие показательные уравнения и неравенства, а также характеризовать показательные функции по основанию и графику.
- Сформировать представление о связи степени с рациональным показателем и корня, закрепить правила преобразования выражений вида $a^{\frac{m}{n}}$.
- Научиться приводить показательные выражения к общему основанию и использовать монотонность показательной функции при решении уравнений и неравенств.
- Освоить замену $t=a^x$ при решении показательных уравнений и неравенств, учитывая условие $t>0$.
- Развивать самостоятельность, точность математической записи, способность проверять область допустимых значений и обосновывать выбор способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и профильную значимость показательной функции для дальнейшего изучения математики, физики, информатики и экономики.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе и проверке каждого преобразования.
- Принимают необходимость учитывать область определения и ограничения при решении уравнений.
- Развивают готовность аргументированно отстаивать способ решения и корректно обсуждать альтернативные решения.
Метапредметные
- Планируют решение по алгоритму: преобразование основания, выбор свойства или замены, решение, проверка.
- Смыслово читают условие задания и выделяют ключевое указание: общее основание, монотонность, замена $t=a^x$.
- Сравнивают несколько способов решения и оценивают, какой из них рациональнее.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибки в знаках и ограничениях.
Предметные
- Знать связь $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ при допустимых значениях основания и показатели.
- Уметь вычислять значения рациональных степеней и применять свойства степеней при преобразованиях.
- Уметь решать уравнения приведением к общему основанию и заменой $t=a^x$.
- Уметь решать показательные неравенства с учётом возрастания или убывания функции.
- Уметь определять монотонность функции $y=a^x$ по значению основания и описывать её основные свойства.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к работе с показателями и корнями.
- Связывают точность преобразований с достоверностью математического результата.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе задания рабочего листа.
- Осознают ценность аргументированного математического рассуждения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и планируют последовательность действий при решении заданий.
- Контролируют соблюдение условий $a>0$, $a\ne1$ и $t>0$ там, где они необходимы.
- Сверяют собственное решение с эталоном и локализуют допущенную ошибку.
- Оценивают степень достижения цели по результатам рабочего листа.
Познавательные УУД
- Преобразуют степень с рациональным показателем в коренную форму и обратно.
- Устанавливают аналогию между показательной и квадратной заменой.
- Классифицируют задания по способу решения: вычисление, общее основание, монотонность, замена.
- Строят схему свойств функции $y=a^x$ в зависимости от основания.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с указанием используемого свойства.
- Обсуждают в парах различие между возрастающей и убывающей показательной функцией.
- Задают уточняющие вопросы о допустимых значениях и проверке корней.
- Аргументированно сравнивают решения, не подменяя доказательство ответом.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с десятью заданиями — по одному экземпляру на каждого ученика и два резервных экземпляра.
- Подготовить карточки для быстрого входного задания с выражениями $x^{\frac12}$, $16^{\frac12}$ и $27^{\frac13}$ — по одной на парту.
- Вывести на доску или слайд проблемный вопрос: «Какие правила позволяют единообразно работать со степенями и корнями?»
- Подготовить памятку: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$, $(a^p)^q=a^{pq}$, а также свойства $y=a^x$.
- Подготовить эталон решения заданий №6, №7 и №10 для самопроверки.
- Разделить доску на четыре зоны: «Рациональная степень», «Преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функция».
- Подготовить маркеры, таймер на 3–5 минут и зелёные, жёлтые, красные карточки для приёма «Светофор».
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для демонстрации таблицы свойств показательной функции.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и обозначить проблемное поле урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и рабочего листа. Сегодня мы будем не просто повторять формулы, а выяснять, как одним набором идей решать разные задания: от корня до показательного неравенства." | Готовят материалы, записывают дату, получают рабочий лист. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражения $x^{\frac12}$, $16^{\frac12}$ и $2^{2x}-5\cdot2^x+4$. "На первый взгляд это разные записи и разные задачи. Как связать их в единую систему? Запишите первый прогноз: какое знание потребуется во всех трёх случаях?" | Индивидуально формулируют прогноз, затем называют варианты: «свойства степеней», «корень», «замена». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши предположения и построим алгоритмы, которые позволят уверенно решать весь рабочий лист."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения и обнаружить затруднения в преобразовании рациональных степеней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Выполните без подробной записи три коротких действия: представьте $x^{\frac12}$ через корень, вычислите $16^{\frac12}$ и $27^{\frac13}$. Не угадывайте: проговорите, какое правило используете." | Записывают: $x^{\frac12}=\sqrt{x}$, $16^{\frac12}=4$, $27^{\frac13}=3$; называют правило связи степени и корня. |
3 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните ответы с соседом. Обсудите, почему в записи $a^{\frac{m}{n}}$ знаменатель связан с корнем. Какие условия для основания нужно помнить?" Фиксирует на доске формулу и условия. | Обсуждают в парах, формулируют: «знаменатель показывает степень корня, числитель — степень подкоренного выражения»; называют условие положительного основания для общей записи. |
Запись в тетрадях
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$; при работе с показательной функцией $a>0$, $a\ne1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Связь степени и корня мы восстановили, но пока не объяснили, как быстро преобразовывать сложные выражения. Зафиксируем цель и построим общий алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и выбрать способы её решения.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске задания: $4^x=2^{x+3}$ и $2^{2x}-5\cdot2^x+4\leq0$. "Можно ли решить первое уравнение, не подбирая значения? Почему во втором выражении появляется квадрат относительно $2^x$?" | Предполагают: «в первом нужно привести основания к двойке», «во втором можно обозначить $2^x$ буквой $t$». |
2 мин | Учитель обобщает ответы: "Наша цель — научиться выбирать способ по структуре выражения. Составьте план: сначала рациональные степени и их свойства, затем общие основания, монотонность и замена, после этого — свойства функции." | Записывают цель и план из четырёх пунктов, отмечают в рабочем листе задания, соответствующие каждому пункту. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План определён: от простого преобразования к исследованию функции и решению задач, где требуется несколько шагов."
Этап 4. Открытие нового знания: свойства и алгоритмы (10 мин)
Цель этапа: вывести и систематизировать способы решения заданий рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует схему: "Для задания №2 используем связь с корнем. Для задания №8 — свойства степеней. Запишите и объясните: $(a^{\frac23})^3=a^2$, а $a^{\frac12}\cdot a^{\frac32}=a^2$. Почему в первом случае показатели перемножаются, а во втором складываются?" | Записывают формулы, отвечают: «при возведении степени в степень показатели перемножаются, при умножении степеней с одним основанием складываются». |
3 мин | Учитель разбирает задание №3: "Представим левую часть уравнения $4^x=2^{x+3}$ как степень с основанием $2$: $(2^2)^x=2^{x+3}$, значит $2^{2x}=2^{x+3}$. При одинаковом основании показатели равны. Получаем $2x=x+3$, поэтому $x=3$." | Фиксируют алгоритм общего основания и отвечают: «верный вариант — $x=3$». |
2 мин | Учитель выводит свойства функции: "Если $a>1$, функция $y=a^x$ возрастает; если $0<a<1$, убывает. Поэтому при сравнении степеней знак неравенства сохраняется в первом случае и меняется во втором. Рассмотрим $(\frac13)^x>9=3^2= (\frac13)^{-2}$." | Преобразуют правую часть, сравнивают показатели при убывающем основании и формулируют: «$x<-2$». |
2 мин | Учитель уточняет: "В условии рабочего листа для задания №4 указан ответ $x<1$, однако при записанном неравенстве $(\frac13)^x>9$ правильное решение — $x<-2$. Проверьте это подстановкой: при $x=-3$ левая часть равна $27$, а при $x=0$ — $1$. На уроке доверяем не шаблону, а проверяем согласованность условия и ответа." | Проверяют значения, фиксируют необходимость сверять ответ с исходным неравенством и отмечают возможную неточность в рабочем листе. |
Запись в тетрадях
- Если $a>1$, функция $y=a^x$ возрастает; если $0<a<1$, функция убывает.
- При решении $a^u=a^v$ при $a>0$, $a\ne1$ получаем $u=v$.
- При замене $t=a^x$ обязательно записываем $t>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили четыре инструмента: коренную форму, свойства степеней, общее основание и замену. Теперь применим их к конкретным заданиям и проверим, какой инструмент срабатывает первым."
Этап 5. Первичное закрепление: рабочий лист (8 мин)
Цель этапа: выполнить базовые задания рабочего листа с проговариванием выбора способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Выполните задания №1, №2, №5, №8 и №9. Для каждого ответа рядом кратко укажите правило. Через три минуты проведём взаимопроверку по эталону на доске." | Решают: $x^{\frac12}=\sqrt{x}$; $16^{\frac12}=4$, $27^{\frac13}=3$, $81^{\frac34}=27$; в №5 получают $x=4$; в №8 — $2$ и $2$; в №9 указывают «возрастающая». |
3 мин | Учитель выводит эталон и просит объяснить два ответа: "Почему $81^{\frac34}=27$? Почему функция $y=3^x$ возрастает?" Организует взаимопроверку по критериям «ответ — правило — аккуратная запись». | Сверяют решения, исправляют ошибки, объясняют: $81^{\frac14}=3$, затем $3^3=27$; основание $3>1$, поэтому функция возрастает. |
2 мин | Учитель предлагает «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно выбираете правило; жёлтую — если нужна подсказка; красную — если затрудняетесь с обоснованием." Кратко адресует типичные ошибки. | Показывают карточки, формулируют индивидуальный вопрос или называют задание, требующее повторного разбора. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Базовые преобразования выполнены. Теперь перейдём к заданиям, где один показатель превращает выражение в квадратное уравнение или неравенство."
Этап 6. Практикум с разбором способов и самостоятельной проверкой (10 мин)
Цель этапа: применить замену $t=a^x$ и проверить область допустимых значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает задание №6: "Решим $2^{2x}-5\cdot2^x+4\leq0$. Видим $2^{2x}=(2^x)^2$. Вводим $t=2^x$, причём $t>0$. Получаем $t^2-5t+4\leq0$, корни $1$ и $4$, поэтому $1\leq t\leq4$. Возвращаемся к $x$: $1\leq2^x\leq4$, значит $0\leq x\leq2$." | Записывают решение по шагам, называют условие $t>0$, формулируют ответ $x\in[0;2]$. |
3 мин | Учитель предлагает в парах задание №7: "Решите $3^{2x}-4\cdot3^x+3=0$. Используйте замену $t=3^x$, решите квадратное уравнение и вернитесь к $x$. Один участник пары объясняет, второй проверяет ограничения." | Выполняют замену $t=3^x>0$, получают $t^2-4t+3=0$, откуда $t=1$ или $t=3$; затем $x=0$ или $x=1$, выбирают первый вариант. |
3 мин | Учитель даёт индивидуально задание №10: "Решите $x^{\frac32}=27$ на области определения. Используйте $t=\sqrt{x}$ и не принимайте отрицательное значение корня без проверки." После работы показывает эталон. | Рассуждают: $x\ge0$, $x^{\frac32}=(\sqrt{x})^3$, $t^3=27$, $t=3$, поэтому $x=9$. Сверяют с эталоном. |
Эталон решения
№6: $t=2^x>0$; $t^2-5t+4\leq0$; $(t-1)(t-4)\leq0$; $1\leq t\leq4$; $1\leq2^x\leq2^2$; так как $2^x$ возрастает, $0\leq x\leq2$. №7: $t=3^x>0$; $t^2-4t+3=0$; $t=1$ или $t=3$; $3^x=1$ даёт $x=0$, $3^x=3$ даёт $x=1$. №10: $x\ge0$, $t=\sqrt{x}\ge0$; $t^3=27$; $t=3$; $x=9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Замена превращает показательное выражение в знакомую алгебраическую модель. Однако решение считается полным только после проверки условия на новую переменную и возврата к исходной переменной."
Этап 7. Итоговая самостоятельная работа и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение алгоритмов и зафиксировать личный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выбрать одно задание: "Выполните самостоятельно либо №3, если хотите закрепить общее основание, либо №6, если готовы повторить замену. Запишите не только ответ, но и ключевой шаг." | Выбирают задание, решают его в тетради, подчёркивают ключевой шаг. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какое условие обязательно при замене $t=a^x$? Как изменяется знак неравенства при основании от $0$ до $1$?" | Записывают: $t>0$; при убывающей функции направление сравнения меняется. Сдают ответы или показывают учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы прошли путь от записи корня до решения уравнений и неравенств. Осталось оценить результат и выбрать уровень домашнего закрепления."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока и сообщить дифференцированное домашнее задание в конце предыдущего этапа.
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 9 заданий рабочего листа, корректно применены свойства степеней, при заменах указано условие $t>0$, решения уравнений и неравенств обоснованы.
- «4» — верно выполнены 7–8 заданий, допущена не более чем одна существенная ошибка в преобразованиях или записи ответа, общий способ решения выбран правильно.
- «3» — верно выполнены 5–6 заданий, воспроизведены базовые формулы и решены простейшие задания, но есть ошибки в замене, области определения или монотонности.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство степени сегодня стало для вас рабочим инструментом, а не просто формулой? | Выявление осознанности применения свойств. |
В каком месте решения с заменой $t=a^x$ нельзя пропускать условие $t>0$? | Проверка понимания ограничений и типичных ошибок. |
Как вы определяете, возрастает или убывает функция $y=a^x$? | Диагностика понимания роли основания. |
Какое задание рабочего листа требует повторного разбора? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы связали рациональные степени, корни, преобразования и свойства показательной функции в единую систему. Особенно важно не забывать, что замена $t=a^x$ требует условия $t>0$, а основание от $0$ до $1$ меняет направление сравнения. Если в рабочем листе встречается готовый ответ, всё равно проверяйте его подстановкой в исходное условие. На следующем уроке мы продолжим исследовать показательные уравнения и неравенства, включая более сложные способы преобразования."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Повторить задания на представление степени через корень и вычислить 4–5 выражений вида $a^{\frac{m}{n}}$ с положительными основаниями. Решить 2 простейших показательных уравнения приведением к общему основанию. | Закрепляет связь рациональной степени с корнем и алгоритм сравнения показателей; при проверке смотреть на корректность преобразований. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на замену $t=a^x$: одно квадратное показательное уравнение, одно неравенство и одно уравнение вида $x^{\frac32}=b$. В каждом решении явно записать ограничения. | Формирует перенос алгоритма на новые коэффициенты; при проверке смотреть на условие $t>0$, возврат к исходной переменной и проверку ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-исследование функции $y=a^x$ для двух оснований: одного больше единицы и одного из интервала $(0;1)$. Построить эскизы графиков и составить по одному показательному неравенству для каждого основания с решением. | Развивает исследовательское мышление и понимание связи графика с решением неравенств; при проверке смотреть на обоснование монотонности и направление знака. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записать $a^{\frac{m}{n}}$ через корень?», «Почему при замене $t=2^x$ нужно указать $t>0$?», «Как по основанию определить монотонность $y=a^x$?»
