Композиция функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить область определения и формулу композиции двух функций, вычислять значение композиции в заданной точке и объяснять, почему порядок составления функций имеет значение.
- Познакомить с понятием композиции функций и обозначением $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.
- Сформировать умение строить композицию по заданным формулам, таблицам и графическим представлениям функций.
- Развивать аналитическое и алгоритмическое мышление через исследование зависимости результата от порядка выполнения действий.
- Воспитывать ответственное отношение к математическому обоснованию решения и готовность самостоятельно проверять полученный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного математического языка для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию взаимосвязей между функциями.
- Понимают значение самопроверки и обоснования каждого шага решения.
- Принимают возможность выбора уровня задания и оценивают собственную готовность к работе с функциями.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют исследование нового понятия.
- Извлекают информацию из формул, таблиц и графиков функций.
- Сравнивают результаты $(f\circ g)(x)$ и $(g\circ f)(x)$, выявляя существенные различия.
- Аргументированно представляют решение и используют критерии для самопроверки.
- Применяют математическое моделирование при описании последовательного выполнения действий.
Предметные
- Знать определение композиции функций и обозначение $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.
- Уметь находить формулу композиции двух функций и вычислять её значение в заданной точке.
- Уметь определять область определения композиции с учётом области определения внутренней функции и допустимых значений её результата.
- Уметь сравнивать композиции $(f\circ g)(x)$ и $(g\circ f)(x)$ и приводить контрпример к их равенству.
- Владеть алгоритмом решения задач на композицию функций в алгебраической и практической форме.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания темы и формулируют индивидуальную учебную цель.
- Осознают связь изучаемого понятия с математическими моделями и будущей профессиональной деятельностью.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки результата.
- Положительно относятся к обсуждению разных математически корректных способов решения.
Регулятивные УУД
- Планируют последовательность действий при построении композиции.
- Прогнозируют ограничения на переменную и проверяют область определения.
- Сопоставляют результат с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по итогам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют внутреннюю и внешнюю функции в записи композиции.
- Преобразуют словесное описание последовательности действий в формулу.
- Анализируют зависимость результата от порядка применения функций.
- Строят краткий алгоритм и используют его для решения новых задач.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о порядке действий и области определения.
- Аргументируют решение математическими равенствами и ограничениями.
- Корректно оценивают решение одноклассника по заданным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с двумя схемами: «сначала $g$, затем $f$» и «сначала $f$, затем $g$», а также с определением композиции.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика и карточки для работы в парах по одной на пару.
- Подготовить листы самооценки и мини-билеты на выход по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску проблемный пример: $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2$; записать вопросы о порядке применения функций.
- Подготовить эталон алгоритма: определить внутреннюю функцию, подставить её в внешнюю, упростить, проверить область определения.
- Подготовить маркеры и стикеры двух цветов для фиксации гипотез и затруднений.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску, таймер и доступ к электронному или печатному материалу с формулами функций.
- Раздать каждому ученику чистый лист для исследовательской записи и самопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практический смысл последовательного применения функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему: «Сначала стоимость товара увеличилась на 10%, затем к новой цене применили скидку 10%. Ребята, вернёмся ли мы обязательно к исходной цене? Запишите первое предположение, не вычисляя подробно». | Записывают индивидуальное предположение и кратко объясняют его соседу: «Порядок действий может изменить результат». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сравните свои рассуждения. Нас интересует не только ответ, но и порядок преобразований. Сегодня мы переведём такую последовательность действий на язык функций». | Обсуждают пример в парах, предлагают варианты и формулируют ожидание: «Последовательное применение функций можно записать одной функцией». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что последовательность преобразований может быть описана математически. Теперь вспомним необходимые свойства функций и подготовим основу для нового понятия».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о подстановке, области определения и способах задания функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске $f(x)=3x-2$ и $g(x)=x^2+1$: «Вычислите $f(4)$, $g(-2)$ и назовите действие, которое мы выполняем, когда вместо аргумента подставляем выражение. Обратите внимание: аргументом функции может быть не только число, но и выражение». | Индивидуально вычисляют $f(4)=10$, $g(-2)=5$; отвечают: «Мы выполняем подстановку значения или выражения вместо аргумента». |
3 мин | Учитель предлагает вопрос: «Какова область определения функции $h(x)=\sqrt{5-x}$? Какие ограничения появятся, если под корнем окажется не число, а значение другой функции? Зафиксируйте условие на доске». | Называют условие $5-x\geq0$, получают $x\leq5$ и предполагают: «Для композиции нужно, чтобы значение внутренней функции входило в область определения внешней». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили подстановку и область определения. Этого достаточно, чтобы исследовать новую запись: функцию, полученную последовательным применением двух функций».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать учебную цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает исследование: «Пусть $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2$. Сначала применим $g$, затем $f$. Запишите цепочку действий и получившуюся формулу. Теперь поменяем порядок. Получится ли та же функция?» | Записывают $f(g(x))=2x^2+1$ и $g(f(x))=(2x+1)^2$; сравнивают выражения и отвечают: «Композиции обычно различны». |
2 мин | Учитель спрашивает: «Как назвать новую функцию? Что нужно уметь находить, кроме самой формулы? Сформулируйте цель урока одним предложением». Учитель фиксирует на доске формулировки учащихся и уточняет их. | Формулируют цель: «Научиться составлять композицию, определять порядок функций, область определения и значение в точке». Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема состоит не в механической подстановке, а в правильном чтении порядка действий и проверке допустимых значений. Перейдём к самостоятельному открытию определения и алгоритма».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определение композиции функций и алгоритм её построения через исследовательскую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парные карточки: «На карточке указана цепочка: число $x$ сначала возводится в квадрат, затем из результата вычитается 3. Первая функция $g(x)=x^2$, вторая $f(t)=t-3$. Составьте итоговую зависимость. Почему во второй функции использована буква $t$?» | В парах строят схему $x\to g(x)=x^2\to f(g(x))=x^2-3$ и объясняют: «Буква $t$ обозначает вход во внешнюю функцию; им становится результат первой функции». |
3 мин | Учитель формулирует и поясняет: «Функция, полученная в результате последовательного применения $g$ и затем $f$, называется композицией функций $f$ и $g$ и обозначается $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. В записи справа читаем действия справа налево: сначала $g$, затем $f$». | Записывают определение и проговаривают его по цепочке: «Внутренняя функция — $g$, внешняя — $f$; сначала вычисляется $g(x)$, затем результат подставляется в $f$». |
3 мин | Учитель показывает на экране алгоритм: «Первое — определить порядок. Второе — найти внутреннюю функцию. Третье — подставить её в внешнюю. Четвёртое — упростить. Пятое — проверить область определения. Применим алгоритм к $f(x)=\sqrt{x+2}$ и $g(x)=3x-1$». | Составляют $(f\circ g)(x)=\sqrt{3x+1}$, записывают условие $3x+1\geq0$, получают $x\geq-\frac13$. Объясняют, что область определяется не только формулой внутренней функции, но и допустимостью её результата для внешней. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Композиция функций $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ — функция, полученная последовательным применением сначала $g$, затем $f$. Алгоритм: определить порядок; выделить внутреннюю и внешнюю функции; выполнить подстановку; упростить; найти область определения».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили определение и алгоритм. Сейчас проверим их на коротких заданиях, где важно проговаривать каждый шаг, а не только записывать конечную формулу».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение записи композиции и научиться применять алгоритм в типовых случаях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание у доски: «Пусть $f(x)=x+4$, $g(x)=2x-1$. Найдите $(f\circ g)(x)$ и $(g\circ f)(x)$. Сначала назовите внутреннюю функцию в каждой записи, затем выполняйте подстановку». | Два ученика по очереди записывают $(f\circ g)(x)=2x+3$ и $(g\circ f)(x)=2x+7$; класс проговаривает порядок действий и фиксирует, что композиция некоммутативна. |
2 мин | Учитель предлагает парную проверку: «Для $f(x)=\frac1x$ и $g(x)=x-2$ найдите $(f\circ g)(x)$ и область определения. Обменяйтесь тетрадями и проверьте наличие ограничения». | Получают $(f\circ g)(x)=\frac1{x-2}$, записывают $x\ne2$, проверяют решение партнёра по критериям: формула, порядок, ограничение. |
2 мин | Учитель задаёт толстый вопрос: «Может ли быть так, что $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$? Приведите пример или сформулируйте условие». | Предлагают пример двух тождественных функций или обосновывают, что для некоторых функций композиции совпадают; формулируют: «Равенство возможно, но не является общим свойством». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм работает, если мы не путаем внутреннюю и внешнюю функции и отдельно проверяем ограничения. Теперь каждый проверит, насколько самостоятельно владеет способом».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание композиции и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: для $f(x)=3x-5$, $g(x)=x^2$ найти $(f\circ g)(2)$. Средний вариант: найти формулы $(f\circ g)(x)$ и $(g\circ f)(x)$ для $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x+1$, указав области определения. Повышенный вариант: исследовать, при каких $x$ композиция $f(g(x))$ определена, если $f(x)=\ln x$, $g(x)=x^2-4$. | Индивидуально выбирают уровень или выполняют предложенный учителем вариант. Записывают промежуточную подстановку и ограничения, а не только ответ. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: «Сверяйте не только конечный результат. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который требует исправления. После этого перепишите только ошибочный фрагмент». | Сверяют решения. Получают для базового задания $(f\circ g)(2)=7$; для среднего $(f\circ g)(x)=\sqrt{x+1}$, $x\geq-1$, а $(g\circ f)(x)=x+1$, $x\geq0$; для повышенного $x^2-4>0$, то есть $x<-2$ или $x>2$. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите цвет, соответствующий вашей уверенности. Красный означает, что нужна совместная разборка алгоритма, жёлтый — есть отдельный вопрос, зелёный — готов объяснить решение». Кратко разбирает типичную ошибку: запись $f(g(x))=g(f(x))$. | Показывают карточку, формулируют точку затруднения и исправляют запись: «Композиция зависит от порядка; справа налево выполняется сначала внутренняя функция». |
Эталон решения
Для $f(x)=\ln x$ и $g(x)=x^2-4$: $(f\circ g)(x)=f(g(x))=\ln(x^2-4)$. Логарифм определён при положительном аргументе, поэтому $x^2-4>0$. Решаем неравенство: $x^2>4$, откуда $x<-2$ или $x>2$. Область определения: $(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что ключевая ошибка возникает при чтении порядка действий или при пропуске области определения. Завершим урок осмыслением результата и переносом алгоритма в домашнюю работу».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать новое знание, оценить продвижение и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: «Закончите три фразы: “Композиция функций — это…”, “Чтобы найти $f(g(x))$, я сначала…”, “Сегодня мне нужно повторить…”. Затем поставьте себе уровень от 1 до 3 по критерию “могу найти формулу и область определения композиции”». | Заполняют лист самооценки, формулируют определение и называют первый шаг алгоритма: «Сначала определяю внутреннюю функцию $g$». |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «Ответьте письменно: верно ли, что композиция всегда коммутативна? Приведите короткий пример или контрпример». | Записывают ответ: «Нет. Например, при $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2$ получаются разные формулы». |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание по уровням: «Все выполняют обязательный уровень; следующий выбирают по готовности. При решении обязательно записывайте порядок функций и область определения». | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы, уточняют непонятные условия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились превращать последовательность действий над аргументом в композицию функций. Важно помнить: запись читается справа налево, а область определения проверяется отдельно. На следующем уроке мы рассмотрим композиции более сложных функций и связь этой операции с обратной функцией».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, правильно определены внутренняя и внешняя функции, записаны области определения и приведено обоснование порядка действий.
- «4» — основная формула и значения найдены верно, но допущена одна неточность в оформлении или обосновании области определения, исправленная при самопроверке.
- «3» — верно выполнено базовое задание с вычислением значения композиции, однако допущены ошибки при сравнении двух композиций или определении области допустимых значений.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое композиция функций и как читается запись $(f\circ g)(x)$? | Проверка осознания нового определения и порядка действий. |
Какой шаг алгоритма оказался для вас самым трудным? | Выявление точек затруднения при построении композиции. |
Почему $(f\circ g)(x)$ и $(g\circ f)(x)$ обычно различны? | Проверка понимания некоммутативности композиции. |
Как вы проверяете область определения композиции? | Диагностика владения способом самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли композицию функций как математическую запись последовательного выполнения двух действий. Главное — правильно определить, какая функция применяется первой, и не забыть проверить область определения результата. Типичная ошибка — менять местами $f(g(x))$ и $g(f(x))$, хотя композиция вообще говоря некоммутативна. Используйте алгоритм как опору, но постепенно переходите к осмысленному чтению формулы. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства композиции и её связь с обратными функциями».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания на составление $(f\circ g)(x)$ и вычисление значения композиции в заданной точке для линейных, квадратичных и дробно-рациональных функций; в каждом решении указать внутреннюю функцию. | Закрепляет чтение записи и последовательность подстановки; при проверке смотреть на порядок действий и промежуточную формулу. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания на нахождение области определения композиции, включая корень и логарифм во внешней функции; одно задание оформить с подробным решением неравенства. | Формирует навык анализа допустимых значений; при проверке смотреть, учтены ли ограничения внешней функции. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную пару функций $f$ и $g$, для которых $(f\circ g)(x)\ne(g\circ f)(x)$, вычислить обе композиции, а затем подобрать пример совпадающих композиций и объяснить результат. | Развивает исследовательское и творческое мышление; при проверке оценивать корректность примеров и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какая функция является внутренней в записи $f(g(x))$? Как построить композицию? Почему необходимо проверять область определения? Всегда ли композиция функций коммутативна?»
