Исследование функции с помощью производной: монотонность, экстремумы и значения на отрезке
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться по формуле функции и её производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы, а также находить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.
- Закрепить алгоритм нахождения критических точек и определения промежутков возрастания и убывания функции с помощью знака производной.
- Совершенствовать умение находить точки экстремума и правильно различать точку экстремума и экстремум функции.
- Отработать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке с обязательной проверкой значений на концах отрезка.
- Развивать навыки математического рассуждения, взаимопроверки, аргументированного выбора способа решения и использования цифровых средств для проверки гипотез.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую и экзаменационную значимость исследования функций с помощью производной для дальнейшего изучения математики и естественно-научных дисциплин.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и оформлению математического решения.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать способ проверки результата и принимать обоснованные решения.
- Осознают ценность сотрудничества при обсуждении математической гипотезы и корректном обсуждении ошибок.
Метапредметные
- Планируют последовательность исследования функции и соотносят полученный результат с поставленной задачей.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы знаков производной и графика функции.
- Сравнивают аналитический и графический способы проверки монотонности и экстремумов.
- Аргументируют выводы, участвуют в парной взаимопроверке и корректируют решение по выявленным ошибкам.
- Используют цифровой графический инструмент для проверки, но не заменяют им аналитическое обоснование.
Предметные
- Знать, что на промежутках, где производная положительна, функция возрастает, а где производная отрицательна — убывает.
- Уметь находить область определения функции, производную и критические точки.
- Уметь определять точки максимума и минимума по изменению знака производной.
- Уметь находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке сравнением значений в критических точках и на концах отрезка.
- Уметь оформлять исследование функции в виде последовательной таблицы или краткого алгоритма.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы: научиться видеть за вычислением производной исследование поведения функции.
- Осознают необходимость проверки промежуточных вычислений перед формулировкой итогового ответа.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм в новой задаче.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют действия по алгоритму исследования функции.
- Осуществляют самоконтроль при нахождении производной, критических точек и значений функции.
- Сверяют решение с эталоном, находят причину ошибки и вносят коррекцию.
- Оценивают уровень освоения каждого шага алгоритма в рефлексивном листе.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки возрастания, убывания и экстремума функции.
- Устанавливают связь между знаком производной и характером изменения функции.
- Строят таблицу знаков производной и используют её как математическую модель поведения функции.
- Сравнивают аналитический результат с графическим представлением.
- Применяют логические операции анализа, классификации и обобщения при решении задач.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре при решении и проверке задания.
- Формулируют объяснение, используя математические термины «критическая точка», «экстремум», «знак производной».
- Задают уточняющие вопросы о пропущенном шаге или неверном выводе.
- Аргументированно защищают решение и корректно принимают замечания партнёра.
- Согласуют общий вариант ответа после обсуждения различий в решениях.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с графиком функции и краткой памяткой «Исследование функции с помощью производной».
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки для парной работы — по одной на каждую пару; в каждой карточке разместить функцию, отрезок и таблицу для заполнения.
- Подготовить листы самооценки с четырьмя пунктами: производная, критические точки, монотонность и значения на отрезке.
- Вывести на доску или слайд формулы производных степенной функции и суммы функций, а также знакосхему перехода от знака производной к монотонности.
- Подготовить эталон решения для самостоятельной работы, закрытый до момента самопроверки.
- Проверить работу графического калькулятора или другого цифрового средства визуализации графиков; заранее ввести функции для демонстрации.
- Организовать рассадку так, чтобы учащиеся могли быстро работать в парах и видеть общий экран.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и на 5 минут для самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и актуализировать практический смысл исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и выводит на экран график функции, имеющей несколько участков возрастания и убывания. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем изучать новый инструмент, а проверим, насколько уверенно умеем пользоваться производной как средством исследования функции. Посмотрите на график: ещё до вычислений мы можем предположить, где функция возрастает, где убывает и где достигает локального максимума или минимума». | Рассматривают график, называют предполагаемые промежутки возрастания и убывания, отмечают вершины и впадины. |
2 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: «Можно ли получить такие же выводы строго, только по формуле функции и её производной? Какие шаги нельзя пропустить, если требуется найти наибольшее значение на отрезке? Запишите тему урока и сформулируйте личную цель одним предложением». | Записывают тему, формулируют цель: «Повторить алгоритм исследования функции с помощью производной и применять его к задачам на отрезке». Высказывают предположения: «Нужно учитывать не только экстремумы, но и концы отрезка». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «График помогает выдвинуть гипотезу, но математическое решение должно содержать обоснование. Сейчас проверим, какие элементы алгоритма уже стали для вас устойчивыми».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и правила, необходимые для исследования функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Математический блиц». «Устно ответьте на пять вопросов. Что показывает производная в точке? Как связаны знак производной и монотонность? Какая точка называется критической? При каком изменении знака производной функция имеет максимум? Что обязательно проверяют при поиске наибольшего значения на отрезке?» | Отвечают: «Производная характеризует скорость изменения функции»; «При положительной производной функция возрастает, при отрицательной — убывает»; «Критическая точка — внутренняя точка области определения, где производная равна нулю или не существует»; «Для максимума знак меняется с плюса на минус»; «Критические точки и оба конца отрезка». |
3 мин | Учитель записывает на доске функции для устного вычисления производных: «Найдите производные функций: f(x)=x³−4x+1, g(x)=√x, h(x)=5x²−2x⁴. Объясняйте, какое правило применяете». После ответов фиксирует краткую памятку о производных. | Вычисляют производные: f′(x)=3x²−4, g′(x)=1/(2√x), h′(x)=10x−8x³. Называют использованные правила и сверяют записи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили связь знака производной с монотонностью и вспомнили, как находить производную. Следующий вопрос — как превратить эти правила в полный алгоритм, пригодный для любой конкретной функции».
Этап 3. Постановка проблемы и восстановление алгоритма (5 мин)
Цель этапа: восстановить последовательность действий при исследовании функции и нахождении её экстремумов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране перемешанные карточки алгоритма: «Найдите производную; определите область определения; найдите критические точки; исследуйте знак производной; запишите промежутки монотонности; определите экстремумы; для отрезка вычислите значения в критических точках и на концах». «Расположите шаги в логическом порядке и объясните, почему нельзя сразу искать максимум по виду формулы». | В парах упорядочивают шаги, предлагают последовательность: область определения, производная, критические точки, знаки производной, монотонность и экстремумы, значения на отрезке. |
3 мин | Учитель уточняет спорные места: «Почему критические точки нужно проверять на принадлежность области определения? Почему для задачи на отрезке недостаточно найти только точку максимума? Сформулируйте правило так, чтобы его можно было применить как чек-лист». Учитель фиксирует итоговый алгоритм на доске. | Обсуждают и формулируют: «Точка должна принадлежать области определения»; «Наибольшее значение может быть на конце отрезка»; записывают чек-лист из семи шагов. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм теперь перед нами. На следующем этапе применим его к одной функции вместе, а затем вы проверите, сможете ли выполнить те же действия самостоятельно».
Этап 4. Парная работа: исследование функции (9 мин)
Цель этапа: применить алгоритм к конкретной функции, распределив вычисления и проверку между партнёрами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки для парной работы и объясняет роли. «В каждой паре один ученик начинает с вычисления производной и критических точек, второй готовит числовую прямую и проверяет знаки производной. Через две минуты поменяйтесь ролями. Исследуем функцию f(x)=x³−3x²−9x+5 на отрезке [−2;4]. Запишите все шаги, а не только итог». | Распределяют роли, записывают функцию и область исследования, начинают вычислять производную. |
4 мин | Учитель сопровождает работу вопросами: «Чему равна производная? Какие корни уравнения f′(x)=0? Какие знаки имеет производная на промежутках? Не забудьте проверить концы отрезка. Если ваши ответы различаются, не стирайте их сразу — найдите шаг, на котором возникло расхождение». | Находят f′(x)=3x²−6x−9=3(x−3)(x+1), критические точки x=−1 и x=3, составляют таблицу знаков, определяют промежутки убывания и возрастания. |
3 мин | Учитель выводит на экран график этой функции в цифровом графическом инструменте. «Сначала сравните свой аналитический вывод с графиком. Цифровая модель нужна для проверки гипотезы, но окончательный ответ должен быть обоснован производной. Обсудите в паре, где функция имеет максимум и минимум». | Сверяют таблицу со смоделированным графиком, формулируют: функция возрастает на (−∞;−1) и (3;+∞), убывает на (−1;3), в x=−1 максимум, в x=3 минимум. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм исследования функции: 1) область определения; 2) производная; 3) критические точки; 4) знаки производной; 5) промежутки монотонности; 6) экстремумы; 7) значения на концах отрезка и в критических точках, если требуется найти экстремальные значения на отрезке.
Эталон решения
f(x)=x³−3x²−9x+5; f′(x)=3x²−6x−9=3(x−3)(x+1). Критические точки: x=−1 и x=3. Знак f′(x): «+» на (−∞;−1), «−» на (−1;3), «+» на (3;+∞). Следовательно, функция возрастает на (−∞;−1) и (3;+∞), убывает на (−1;3). При x=−1 происходит смена знака с «+» на «−», поэтому это точка максимума; при x=3 — смена с «−» на «+», поэтому это точка минимума. Для отрезка [−2;4] дополнительно вычисляются f(−2), f(−1), f(3), f(4).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы увидели, что таблица знаков производной превращает формулу в описание поведения функции. Теперь перейдём к индивидуальной работе: каждый покажет, насколько самостоятельно владеет алгоритмом».
Этап 5. Первичное закрепление: задача на значения функции на отрезке (7 мин)
Цель этапа: закрепить способ нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу: «Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x³−6x²+9x+2 на отрезке [0;4]. Сначала назовите полный список точек, в которых нужно вычислить функцию. Почему в список входят концы отрезка?» | Называют производную f′(x)=3x²−12x+9, находят критические точки x=1 и x=3, проверяют их принадлежность отрезку и добавляют концы 0 и 4. |
2 мин | Учитель предлагает вычислить значения и проговаривает контрольные вопросы: «Не перепутайте значение функции и координату точки. Запишите вычисления отдельно, затем сравните четыре числа. Какая точка даёт наибольшее значение, а какая — наименьшее?» | Вычисляют f(0)=2, f(1)=6, f(3)=2, f(4)=6. Делают вывод: наибольшее значение равно 6 и достигается при x=1 и x=4; наименьшее значение равно 2 и достигается при x=0 и x=3. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание». «Обменяйтесь тетрадями. Отметьте два корректных шага и один шаг, который можно улучшить. Проверяйте наличие концов отрезка и точность итоговой формулировки». | Проверяют решение партнёра, отмечают два удачных элемента и формулируют одно конкретное пожелание: «Указаны не все точки» или «Не записано, где достигается значение». |
Эталон решения
f(x)=x³−6x²+9x+2; f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3). Критические точки: x=1 и x=3; обе принадлежат [0;4]. Проверяем концы отрезка и критические точки: f(0)=2, f(1)=1−6+9+2=6, f(3)=27−54+27+2=2, f(4)=64−96+36+2=6. Следовательно, наибольшее значение функции на [0;4] равно 6 и достигается при x=1 и x=4; наименьшее значение равно 2 и достигается при x=0 и x=3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Главная особенность задачи на отрезке — обязательная проверка всех критических точек, попавших в отрезок, и обоих его концов. Сейчас вы выполните аналогичную работу индивидуально, а затем сможете проверить решение по эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение алгоритмом исследования функции и умение корректировать собственное решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор. «Базовый вариант обязателен для всех. Те, кто уверен в алгоритме, могут выбрать повышенный или продвинутый вариант. Работайте индивидуально, сначала решите аналитически, затем при необходимости используйте цифровой график только для проверки». | Выбирают вариант, записывают условие и план решения. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: исследовать f(x)=x³−3x²−9x+7 на монотонность и экстремумы. Повышенный: найти наибольшее и наименьшее значения f(x)=x³−6x²+9x+1 на [0;4]. Продвинутый: найти параметр a, при котором функция f(x)=x³−3x²+ax возрастает на всей числовой прямой. | Индивидуально находят производные, критические точки и знаки; в задаче на отрезке вычисляют значения в критических точках и на концах; в параметрической задаче исследуют условие f′(x)≥0. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране и организует самопроверку. «Сверяйте не только ответ, но и структуру решения. Поставьте знак “+” рядом с правильным шагом, “?” рядом с сомнительным и исправьте одну обнаруженную ошибку. Если решение совпало полностью, кратко объясните себе, почему каждый шаг необходим». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают выполненные шаги. В листе самооценки отмечают: «могу найти производную», «могу определить критические точки», «могу построить таблицу знаков», «могу найти значения на отрезке». |
Лист самооценки к уроку
Шаг алгоритма | Умею самостоятельно | Нужна проверка | Нужно повторить |
|---|---|---|---|
Нахожу производную | ☐ | ☐ | ☐ |
Определяю область определения | ☐ | ☐ | ☐ |
Нахожу критические точки | ☐ | ☐ | ☐ |
Определяю знаки производной | ☐ | ☐ | ☐ |
Записываю промежутки возрастания и убывания | ☐ | ☐ | ☐ |
Определяю точки максимума и минимума | ☐ | ☐ | ☐ |
Нахожу наибольшее и наименьшее значения на отрезке | ☐ | ☐ | ☐ |
Проверяю значения на концах отрезка | ☐ | ☐ | ☐ |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка важнее простого совпадения ответа: она показывает, на каком именно шаге возникло затруднение. Осталось обобщить результат урока и определить, какой навык требует дальнейшей тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные способы действия, выявить затруднения и определить направление самостоятельной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор». «Покажите цвет, который соответствует вашему состоянию: зелёный — уверенно выполняю весь алгоритм; жёлтый — умею, но иногда ошибаюсь в знаках или вычислениях; красный — требуется совместный разбор. После выбора допишите одно предложение: “Теперь я умею…”». | Поднимают карточки, записывают индивидуальное продолжение фразы и называют конкретный затрудняющий шаг. |
1 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «Ответьте письменно на два вопроса: почему при поиске экстремальных значений на отрезке проверяют концы отрезка? Что означает смена знака производной с “−” на “+”?» | Пишут ответы: «Наибольшее или наименьшее значение может достигаться на конце отрезка»; «Функция переходит от убывания к возрастанию, значит, это минимум». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и критерии выбора уровня. «Выберите уровень с учётом сегодняшней самооценки. Важно не количество примеров, а полное оформление: производная, критические точки, знаки, вывод и проверка значений». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, фиксируют личную цель для следующей работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы восстановили полный алгоритм исследования функции и применили его к монотонности, экстремумам и значениям на отрезке. На следующем уроке продолжим использовать производную в задачах с параметрами и в прикладных моделях».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью выполнен выбранный вариант, правильно найдена производная, определены все критические точки, составлена верная таблица знаков, корректно сформулированы промежутки монотонности и экстремумы; в задаче на отрезке проверены оба конца и все критические точки.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на основную логику решения; выводы в целом сформулированы правильно.
- «3» — выполнены основные шаги алгоритма, но допущены две существенные ошибки, например пропущена критическая точка или не проверен один конец отрезка; после подсказки решение может быть скорректировано.
- Ниже «3» — отсутствует связное исследование, производная или критические точки найдены неверно, а итоговые выводы не обоснованы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или особенно важного вы сегодня восстановили в алгоритме исследования функции? | Выявление осознанности структуры алгоритма и ключевых математических связей. |
На каком шаге решения вы чувствовали наибольшую уверенность? | Определение сформированных предметных умений. |
Где возникло затруднение: при нахождении производной, критических точек, знаков или значений на отрезке? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Почему цифровой график не заменяет аналитическое решение? | Проверка понимания роли доказательства и осмысленного использования ИКТ. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что производная позволяет не просто выполнять вычисления, а описывать поведение функции и обосновывать её свойства. Особенно внимательно нужно относиться к задачам на отрезке: нельзя ограничиваться только поиском экстремумов, необходимо проверить оба конца отрезка. Типичная ошибка — найти критическую точку и сразу назвать значение наибольшим или наименьшим без сравнения всех полученных чисел. На следующем уроке мы перенесём этот алгоритм на более сложные задачи, в том числе задачи с параметрами и прикладным содержанием».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на исследование кубической или рациональной функции на монотонность и экстремумы: в каждой найти производную, критические точки, знаки производной и сформулировать вывод. | Закрепляет полный алгоритм исследования; при проверке обратить внимание на область определения, знак производной и корректность промежутков. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, включая функции с двумя критическими точками. Обязательно проверить критические точки, попавшие в отрезок, и оба конца. | Формирует навык сравнения всех кандидатных значений; при проверке смотреть, не пропущены ли концы отрезка и указаны ли точки достижения экстремальных значений. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 1–2 исследовательские задачи с параметром: определить значения параметра, при которых функция возрастает на всей числовой прямой или имеет заданное число точек экстремума. Привести аналитическое обоснование. | Развивает анализ, обобщение и умение переводить условие о поведении функции в условие на производную; при проверке оценивать полноту рассуждения, а не только итоговый ответ. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие точки проверяют при нахождении наибольшего значения функции на отрезке? Как по знаку производной отличить максимум от минимума? В каком случае графический инструмент используется корректно — как доказательство или как средство проверки?»
