Первообразная и основное свойство первообразных
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока сформулировать определение первообразной, вывести основное свойство первообразных и применять его для нахождения простых семейств первообразных заданных функций.
- Сформировать представление о связи первообразной с производной и научить проверять найденную первообразную дифференцированием.
- Развивать умение наблюдать закономерность, выдвигать гипотезу, сравнивать математические объекты и аргументировать вывод в паре.
- Формировать навыки самоконтроля и осознанной работы с математической записью, необходимые для дальнейшего изучения интеграла и решения задач ЕГЭ.
- Поддерживать интерес к применению математического анализа в физике и другим моделям, где по скорости изменения восстанавливают величину.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают роль первообразной как математической модели восстановления величины по известной скорости её изменения.
- Проявляют готовность проверять результат, признавать ошибку и корректировать решение.
- Связывают изучаемое понятие с дальнейшим обучением в вузе и применением математики в естественных науках.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки первообразной и формулируют общее свойство семейства функций.
- Планируют решение простого задания, используют дифференцирование как средство проверки.
- Работают с математической информацией на экране, сопоставляют графики и формулы.
- Участвуют в парном обсуждении, формулируют вывод и аргументируют его.
Предметные
- Знать определение первообразной функции на промежутке.
- Понимать, что если $F'(x)=f(x)$, то $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$.
- Формулировать основное свойство первообразных: любые две первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную.
- Уметь находить простые первообразные по таблице производных и проверять результат дифференцированием.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую ценность обратной операции к дифференцированию.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа проверки.
- Оценивают собственную готовность к дальнейшему изучению интеграла.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и составляют последовательность действий для её достижения.
- Контролируют правильность записи производной и найденной первообразной.
- Сопоставляют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень понимания материала по результатам рефлексии.
Познавательные УУД
- Сравнивают функции, имеющие одинаковую производную, и выявляют закономерность.
- Переходят от частных примеров к общему математическому утверждению.
- Используют символическую запись и графическую интерпретацию.
- Применяют известные правила дифференцирования для проверки гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре, распределяют роли и договариваются о формулировке вывода.
- Задают уточняющие вопросы о постоянной разности первообразных.
- Представляют результат обсуждения классу и корректно комментируют ответы одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с определением производной, таблицей простых производных и заданиями для исследования.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе; включить простые функции $2x$, $3x^2$, $\cos x$, $e^x$.
- Подготовить индивидуальные карточки самостоятельной работы трёх уровней — по одной на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «Чтобы проверить первообразную, нужно найти её производную».
- Подготовить слайд с функциями $F_1(x)=x^2$, $F_2(x)=x^2+5$, $F_3(x)=x^2-3$ и вопросом об их производных.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной работы и самостоятельной проверки.
- Подготовить стикеры трёх цветов или карточки для приёма «Светофор».
- Организовать свободное место для короткой физкультминутки; при наличии использовать проектор и ноутбук.
- Заранее записать на доске тему урока и оставить место для формулировки основного свойства первообразных.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент, мотивация и ИКТ-крючок (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь новой темы с уже изученной производной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте готовность тетрадей и ручек. Сегодня мы продолжим изучать математический анализ и попробуем выполнить действие, обратное дифференцированию. На экране появится короткая математическая загадка, поэтому сначала внимательно смотрим, затем обсуждаем." | Готовят тетради, записывают дату, переводят внимание на экран. |
2 мин | Учитель демонстрирует на экране график зависимости скорости автомобиля от времени и обращается к классу: "Если известна скорость движения, какую величину можно попытаться восстановить? Верно, пройденный путь. А какая математическая операция помогает восстанавливать величину по скорости её изменения? Сегодня мы увидим, что производная подсказывает нам путь к новой операции." | Отвечают: "Можно найти путь или координату тела"; предполагают: "Нужна операция, обратная дифференцированию". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Производная показывает скорость изменения функции. Сегодня мы начнём изучать понятие, которое позволяет по производной восстановить исходную функцию. Сначала вспомним, что уже умеем делать."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: актуализировать правила дифференцирования и снять кратковременное мышечное напряжение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устную разминку: "Найдите производные функций $x^2$, $x^3$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ и постоянной $7$. Называйте не только ответ, но и правило, которое применяете. Если ответ отличается, сначала сравните запись с соседом, а затем объясните расхождение." | По цепочке называют: "$2x$, $3x^2$, $\cos x$, $-\sin x$, $e^x$, $0$"; в парах сверяют записи и исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель организует физкультминутку: "Встаньте. На вдохе поднимите руки вверх, на выдохе опустите. Теперь медленно потянитесь вправо и влево. Сделайте два круговых движения плечами и снова сядьте. Математическая пауза помогает сохранить внимание перед исследованием." | Выполняют движения стоя, возвращаются к рабочему месту и открывают тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили производные основных функций и увидели, что постоянная при дифференцировании исчезает. Именно это наблюдение станет ключом к сегодняшнему открытию."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: обнаружить проблему неоднозначности восстановления функции по её производной и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске функции $F_1(x)=x^2$, $F_2(x)=x^2+5$, $F_3(x)=x^2-3$ и говорит: "Найдите производную каждой функции. Что вы заметили? Все ли исходные функции совпадают? Почему производные оказались одинаковыми?" | Вычисляют производные: $F_1'(x)=F_2'(x)=F_3'(x)=2x$. Формулируют: "Функции различаются постоянными слагаемыми, но производная у них одна и та же". |
3 мин | Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно: как описать все функции, производная которых равна $2x$? Затем обсудите ответ с соседом одну минуту. После этого две пары предложат свои формулировки классу. Сегодня нам важно не угадать обозначение, а понять закономерность." | Индивидуально записывают гипотезу, затем обсуждают её в парах. Предлагают: "$x^2+C$, где $C$ — любое число"; формулируют цель: "Научиться находить и описывать все первообразные функции". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: одна и та же производная может соответствовать целому семейству функций. Теперь исследуем, как называется такая функция и почему все решения отличаются именно на постоянную."
Этап 4. Открытие нового знания: первообразная и основное свойство (10 мин)
Цель этапа: вывести определение первообразной и сформулировать основное свойство первообразных на простых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске: "Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке, если для любого $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x)=f(x)$. Посмотрите на пример: для $f(x)=2x$ функция $F(x)=x^2$ является первообразной, потому что $(x^2)'=2x$. Проверьте ещё два примера: $F(x)=x^2+4$ и $F(x)=x^2-10$." | Записывают определение, дифференцируют три функции и делают вывод: "Все три функции являются первообразными функции $2x$". |
3 мин | Учитель предлагает парное исследование: "На карточке записаны пары первообразных одной функции. Найдите их разность и проверьте производную этой разности. Для первой пары $x^2$ и $x^2+5$, для второй $\sin x$ и $\sin x-2$. Обсудите, что общего у результатов." | В парах вычисляют разности: $(x^2+5)-x^2=5$, $(\sin x-2)-\sin x=-2$. Проверяют, что производная постоянной равна нулю, и формулируют: "Разность первообразных является постоянной". |
3 мин | Учитель обобщает вывод: "Если $F$ и $G$ — две первообразные одной функции $f$ на промежутке, то $F'(x)=G'(x)$. Значит, $(F(x)-G(x))'=0$. Функция с нулевой производной на промежутке постоянна, поэтому $F(x)-G(x)=C$. Запишите основное свойство: если $F$ — одна первообразная функции $f$, то все первообразные имеют вид $F(x)+C$, где $C$ — произвольная постоянная." | Записывают формулу $F(x)+C$, задают уточняющие вопросы о смысле произвольной постоянной. Отвечают: "Постоянная может иметь любое действительное значение". |
Запись в тетрадях
Записать: «$F(x)$ — первообразная $f(x)$, если $F'(x)=f(x)$. Если $F$ — первообразная $f$, то множество всех первообразных имеет вид $F(x)+C$, где $C$ — произвольная постоянная». Алгоритм проверки: найти производную найденной функции и сравнить её с заданной.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и доказали основное свойство первообразных через нулевую производную разности. Теперь проверим новое знание на коротких заданиях, сначала вместе и с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием (7 мин)
Цель этапа: научиться находить простые семейства первообразных и проверять их производной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу: "Найдите все первообразные функции $f(x)=6x-2$. Сначала определите функцию, производная которой равна $6x-2$. Затем добавьте произвольную постоянную и выполните проверку." Учитель фиксирует на доске: "$F(x)=3x^2-2x+C$". | Записывают решение, объясняют: "Производная $3x^2$ равна $6x$, производная $-2x$ равна $-2$, производная $C$ равна нулю". |
2 мин | Учитель предлагает задание в парах: "Найдите все первообразные для $f(x)=\cos x$. Сравните запись с партнёром и объясните, почему ответ содержит $C$." | В парах записывают $F(x)=\sin x+C$, проверяют: $(\sin x+C)'=\cos x$, формулируют: "Константа нужна, потому что её производная равна нулю". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на анализ ошибки: "Ученик записал для функции $f(x)=2x$ ответ $F(x)=x^2$. Можно ли считать ответ полным? Что нужно добавить?" | Отвечают: "Это одна первообразная, но не все. Полный ответ: $F(x)=x^2+C$". |
Эталон решения
Для $f(x)=6x-2$: 1) первообразная для $6x$ — $3x^2$, так как $(3x^2)'=6x$; 2) первообразная для $-2$ — $-2x$, так как $(-2x)'=-2$; 3) добавляем произвольную постоянную: $F(x)=3x^2-2x+C$; 4) проверяем: $F'(x)=6x-2=f(x)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились составлять полное семейство первообразных и увидели типичную ошибку: запись без $C$ даёт только одну функцию. Перейдём к самостоятельной проверке, чтобы каждый оценил собственное понимание алгоритма."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и межпредметной связью (8 мин)
Цель этапа: индивидуально применить определение и основное свойство первообразных, связав понятие с физической моделью движения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите посильный вариант. В каждом ответе обязательно укажите произвольную постоянную и выполните хотя бы одну проверку дифференцированием. Базовый вариант: найти все первообразные $f(x)=4x+3$ и $f(x)=\cos x$. Повышенный вариант: найти все первообразные $f(x)=6x^2-4$. Дополнительный вариант: объяснить, почему при известной скорости $v(t)=2t$ координата имеет вид $s(t)=t^2+C$." | Индивидуально решают выбранные задания, записывают ход решения и проверку. В дополнительном задании формулируют: "$s'(t)=v(t)=2t$, поэтому $s(t)=t^2+C$; $C$ задаёт начальную координату". |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: "$4x+3 \to 2x^2+3x+C$; $\cos x \to \sin x+C$; $6x^2-4 \to 2x^3-4x+C$". Говорит: "Проверьте не только ответ, но и наличие $C$, знаки и коэффициенты. Отметьте зелёным то, что совпало, жёлтым — место сомнения." | Сверяют решения с эталоном, выполняют дифференцирование, исправляют ошибки. Поднимают зелёную или жёлтую карточку и записывают вопрос при затруднении. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже работает для простых функций. Ошибка в коэффициенте исправляется проверкой производной, поэтому проверка — обязательная часть решения. Осталось обобщить, что именно мы открыли сегодня."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и принять требования к домашней работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Закончите три фразы: «Первообразная — это…», «Все первообразные одной функции отличаются…», «Проверить ответ можно…». Запишите также один вопрос, который пока требует объяснения." | Письменно завершают фразы: "Первообразная имеет производную, равную заданной функции"; "постоянной"; "дифференцированием". Формулируют личный вопрос или отмечают отсутствие вопросов. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти простую первообразную и проверить её; жёлтую — если нужна ещё тренировка; красную — если определение пока непонятно. Это не оценка, а способ выбрать помощь." | Показывают карточку, соотносят её цвет с собственной уверенностью, при необходимости обращаются за кратким разъяснением. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень по готовности. В каждом варианте оформляйте полную запись с $C$ и одну проверку. Перед выходом ответьте устно соседу на два вопроса: что такое первообразная и почему появляется постоянная?" | Записывают домашнее задание, проговаривают ответы в парах, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли обратную связь между производной и первообразной, вывели основное свойство и проверили его на простых функциях. На следующем уроке мы расширим таблицу первообразных и будем применять её к более сложным выражениям."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно найдены все первообразные выбранного варианта, в каждом ответе присутствует $C$, выполнена корректная проверка дифференцированием и объяснена причина появления постоянной.
- «4» — правильно решены основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая понимания алгоритма; проверка выполнена частично.
- «3» — верно найдено хотя бы одно семейство первообразных и в целом понятен алгоритм, но допущены ошибки в коэффициентах, знаках или пропущена проверка.
- Ниже «3» — определение или алгоритм пока не применяются самостоятельно; требуется разобрать образец и выполнить аналогичное задание с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое первообразная функции $f(x)$? | Проверка осознания определения через производную. |
Почему в общем ответе появляется $C$? | Выявление понимания основного свойства и роли постоянной. |
Как вы проверите найденную первообразную? | Диагностика владения алгоритмом самоконтроля. |
Какое место оказалось самым сложным: поиск первообразной, добавление $C$ или проверка? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей дифференциации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что первообразная является обратным шагом к дифференцированию. Мы научились находить простые семейства первообразных и поняли, почему нельзя забывать произвольную постоянную $C$. Типичная ошибка — записать только одну первообразную или неверно восстановить коэффициент, поэтому всегда выполняйте проверку производной. На следующем уроке мы расширим набор формул и будем применять новое свойство к более разнообразным функциям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 простых задания на нахождение всех первообразных функций вида $ax+b$, $\cos x$, $\sin x$ и $e^x$; для двух решений выполнить проверку дифференцированием. | Закрепить определение, таблицу простых первообразных и обязательную запись $+C$; при проверке обратить внимание на коэффициенты и знаки. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий на нахождение первообразных многочленов второй и третьей степени и простых тригонометрических функций; привести проверку минимум для трёх ответов. | Отработать применение известных производных в обратном направлении и самоконтроль результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить краткое объяснение с примером, почему две первообразные одной функции отличаются на постоянную, и решить 2 задачи с физическим контекстом: по заданной скорости восстановить координату с неизвестной начальной координатой. | Развить доказательное мышление и межпредметное применение понятия первообразной. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как проверить, что функция является первообразной?», «Как записываются все первообразные одной функции?», «Что произойдёт с постоянным слагаемым при дифференцировании?»
