Приближённые вычисления: абсолютная и относительная погрешность
Цели и задачи
- Цель урока: к концу занятия научиться округлять числа и результаты вычислений, находить абсолютную и относительную погрешности приближённого значения и выбирать точность ответа в зависимости от практической ситуации.
- Сформировать представление о приближённом числе, абсолютной погрешности и относительной погрешности; установить связь между точностью исходных данных и точностью результата.
- Научиться применять правила округления и вычислять абсолютную погрешность по формуле $\Delta=|a-A|$, где $A$ — точное значение, а $a$ — приближённое.
- Научиться вычислять относительную погрешность по формуле $\delta=\frac{\Delta}{|A|}$ и выражать её в процентах.
- Развивать умение анализировать условие, оценивать разумность результата и выбирать уровень сложности задания; воспитывать аккуратность вычислений и ответственность за точность данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точности вычислений для инженерных, экономических и естественно-научных задач.
- Проявляют ответственное отношение к записи чисел, единиц измерения и результатов округления.
- Оценивают собственную готовность применять формулы погрешности в учебных и практических ситуациях.
- Принимают необходимость проверки результата и корректно обсуждают разные способы решения.
Метапредметные
- Извлекают необходимую информацию из условия задачи, таблицы и записи на доске.
- Составляют план вычислений, выбирают подходящую степень точности и контролируют промежуточные результаты.
- Сравнивают решения, выявляют ошибку в округлении и аргументируют выбор наиболее точного ответа.
- Используют математическую речь для объяснения различия между абсолютной и относительной погрешностями.
Предметные
- Знать смысл понятий «приближённое значение», «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность».
- Уметь округлять числа до заданного разряда и записывать результат с указанием единиц измерения.
- Уметь находить абсолютную погрешность по формуле $\Delta=|a-A|$ и относительную погрешность по формуле $\delta=\frac{\Delta}{|A|}$.
- Уметь выражать относительную погрешность в процентах и интерпретировать полученный результат.
- Уметь решать задачи разного уровня сложности на оценку точности приближённых вычислений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают практический смысл точных и приближённых вычислений для будущей профессиональной деятельности.
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску способа решения.
- Оценивают собственный прогресс по критериям правильности, точности и обоснованности ответа.
- Проявляют готовность признавать и исправлять вычислительные ошибки.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулируют цель работы с приближёнными значениями.
- Планируют последовательность округления, вычисления погрешности и проверки результата.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят этап, на котором возникла ошибка.
- Корректируют решение после сравнения с критериями и результатами одноклассников.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и соотносят точное и приближённое значения.
- Устанавливают различие между абсолютной и относительной погрешностями.
- Применяют формулы к учебным и практическим задачам, преобразуют десятичные дроби и проценты.
- Моделируют ситуацию измерения с помощью таблицы «точное значение — приближённое значение — ошибка».
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопросы о выборе точности и уточняют смысл математических обозначений.
- Работают в парах и группах, распределяя роли вычислителя, проверяющего и докладчика.
- Аргументированно защищают ответ и сравнивают различные стратегии округления.
- Соблюдают правила делового обсуждения при разборе ошибок.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с определениями приближённого значения, абсолютной и относительной погрешностей.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, жёлтые — повышенные, красные — исследовательские; по одной карточке каждого типа на группу.
- Подготовить игровые жетоны или баллы для команд «Точность» и «Оценка».
- Распечатать таблицу для командной работы «Точное значение — приближённое значение — абсолютная погрешность — относительная погрешность» — по одной на группу.
- Подготовить индивидуальные карточки для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, с двумя вариантами.
- Вывести на доску памятку: правила округления, формулы $\Delta=|a-A|$ и $\delta=\frac{\Delta}{|A|}$, правило перевода относительной погрешности в проценты.
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут, маркеры, стикеры трёх цветов и калькуляторы для проверки сложных вычислений.
- Освободить место на доске для командных решений и подготовить эталон для самопроверки, который открывается после выполнения самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация «Цена ошибки» (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость точности вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два результата измерения длины детали: 12,4 см и 12,40 см. «Ребята, сегодня мы начнём с короткой игры “Цена ошибки”. Посмотрите на два числа. Они записаны почти одинаково, но одинаковый ли смысл у этих записей? Подумайте, почему инженер или лаборант может специально написать лишний ноль». | Рассматривают записи, индивидуально формулируют предположение: «Записи могут обозначать разную точность измерения». Один-два ученика объясняют различие. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала за 30 секунд решите, какой результат точнее. Затем обсудите с соседом и подготовьте одно объяснение. Важно не только назвать ответ, но и обосновать его». Учитель фиксирует на доске слова «точность», «ошибка», «округление». | Сначала выбирают ответ самостоятельно, затем обсуждают его в парах и сообщают: «12,40 см содержит информацию о сотых долях сантиметра, поэтому измерение записано точнее». |
1 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: «Как измерить и сравнить ошибку приближённого значения? Сегодня мы найдём способ отвечать на этот вопрос и проверим его в командной игре». | Записывают проблемный вопрос или формулируют его своими словами. Принимают правила игры: за верное решение команда получает жетон, за обоснование — дополнительный балл. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что количество знаков после запятой связано с точностью, но одной записи недостаточно для сравнения ошибок. Сейчас вспомним правила округления и подготовим основу для нового способа вычислений».
Этап 2. Актуализация знаний «Математический светофор» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила округления, работу с десятичными дробями, модулями и процентами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает четыре утверждения и предлагает приём «Математический светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, жёлтую — если требуется уточнение, красную — если оно неверно. Первое: при округлении до десятых в числе 3,746 смотрят на цифру сотых. Второе: число 8,95, округлённое до десятых, равно 8,9. Третье: модуль числа всегда неотрицателен. Четвёртое: 0,04 в процентах — это 4 процента». | Показывают карточки и объясняют решения: «Первое утверждение верно», «8,95 округляется до 9,0 при обычном школьном округлении», «модуль неотрицателен», «0,04 = 4%». |
2 мин | Учитель предлагает устный мини-раунд: «Округлите 17,386 до единиц, десятых и сотых. Затем назовите значение $|{-2,7}|$. Не выкрикиваем: сначала записываем, затем показываем ответ на карточке». | Записывают $17$, $17,4$, $17,39$ и $|{-2,7}|=2,7$, демонстрируют ответы. |
1 мин | Учитель уточняет: «Если точное число обозначить буквой $A$, а приближённое — буквой $a$, какой величиной можно выразить расстояние между ними? Какой знак должен появиться, если нас интересует только размер ошибки?» | Предполагают: «Разность $a-A$», затем уточняют: «Для размера ошибки нужно взять модуль: $|a-A|$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили округление, проценты и модуль. Эти знания понадобятся нам для точного описания ошибки. Теперь проверим, можно ли одной и той же ошибкой считать промах в один сантиметр при измерении стола и при измерении толщины листа».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить недостаточность абсолютной ошибки и сформулировать цель открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске две ситуации: «Длина комнаты: точное значение 5 м, измерили 4,99 м» и «Толщина детали: точное значение 1 см, измерили 0,99 см». «В обоих случаях абсолютная ошибка равна 0,01 м или 0,01 см в соответствующих единицах. Можно ли сказать, что точность одинакова? Что меняется, если сравнить ошибку с самим измеряемым объектом?» | Сравнивают ситуации и отвечают: «Одинаковая абсолютная ошибка относительно размеров объектов имеет разную значимость; для детали ошибка велика». Формулируют необходимость сравнивать ошибку с точным значением. |
2 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов сократовского диалога: «Что мы уже умеем находить? Как сравнить ошибку с величиной самого объекта? Как записать результат без привязки к единицам измерения? Какую цель поставим на урок?» Учитель принимает формулировки и записывает итоговую цель. | Формулируют: «Сначала найдём абсолютную ошибку, затем разделим её на точное значение и выразим результат в процентах». Записывают цель: «Научиться находить абсолютную и относительную погрешности приближённых вычислений». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: абсолютная ошибка показывает расстояние между числами, но не всегда показывает серьёзность ошибки. Сейчас мы сами выведем величину, которая позволит сравнивать точность разных измерений».
Этап 4. Открытие нового знания «Лаборатория точности» (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы абсолютной и относительной погрешностей и научиться применять их к конкретной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель делит класс на группы по 3–4 человека и раздаёт таблицы и карточки. «В каждой группе есть вычислитель, проверяющий и докладчик. Рассмотрите ситуацию: длина предмета по эталону равна $A=2,00$ м, а при измерении получили $a=1,96$ м. Заполните первые две строки таблицы. Сначала найдите разность, затем её модуль. Что показывает полученное число?» | Распределяют роли, записывают $A=2,00$ м и $a=1,96$ м, вычисляют $a-A=-0,04$ м и $|a-A|=0,04$ м. Формулируют: «Абсолютная погрешность равна 0,04 м». |
3 мин | Учитель направляет исследование: «Теперь сравните ошибку с точным значением: разделите 0,04 на 2,00. Полученное число запишите сначала десятичной дробью, затем процентом. Обсудите, почему эта величина не имеет единицы измерения». | Вычисляют $\frac{0,04}{2,00}=0,02=2\%$. Докладчики сообщают: «Относительная погрешность равна 0,02, или 2%; единицы измерения сокращаются при делении величин одной размерности». |
2 мин | Учитель оформляет общий вывод на доске: «Запишите: если $A$ — точное значение, а $a$ — приближённое, то абсолютная погрешность равна $\Delta=|a-A|$, а относительная погрешность — $\delta=\frac{\Delta}{|A|}$. В процентах: $\delta\cdot100\%$. Обратите внимание: в знаменателе стоит точное значение». | Переписывают определения и формулы, подчёркивают, что абсолютная погрешность имеет единицы исходной величины, а относительная погрешность является безразмерной. |
2 мин | Учитель предлагает сравнить две группы результатов: «Для первой детали $A=2$ м, $a=1,96$ м; для второй $A=0,10$ м, $a=0,06$ м. У обеих ли измерений одинаковая абсолютная ошибка? Одинакова ли относительная?» | Вычисляют для первой детали $\Delta=0,04$ м, $\delta=2\%$; для второй $\Delta=0,04$ м, $\delta=40\%$. Формулируют вывод: «Абсолютная ошибка одинакова, но относительная точность резко различается». |
Запись в тетрадях
Приближённое значение $a$ заменяет точное значение $A$. Абсолютная погрешность: $\Delta=|a-A|$. Относительная погрешность: $\delta=\frac{\Delta}{|A|}$. В процентах: $\delta\cdot100\%$. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и исходная величина; относительная погрешность единиц измерения не имеет.
Эталон решения
Для $A=2,00$ м и $a=1,96$ м: 1) $\Delta=|1,96-2,00|=0,04$ м; 2) $\delta=\frac{0,04}{2,00}=0,02$; 3) $0,02\cdot100\%=2\%$. Ответ: абсолютная погрешность равна $0,04$ м, относительная — $2\%$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели две характеристики точности: абсолютную и относительную погрешности. Теперь применим их сначала вместе, с подсказкой, а затем самостоятельно проверим, насколько уверенно умеем выбирать формулу и оформлять ответ».
Этап 5. Первичное закрепление «Биржа точности» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычисления погрешности на заданиях базового и повышенного уровней в игровой форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет правила игры: «Команды получают карточки с котировками измерений. За каждую правильно заполненную строку — один жетон, за полное объяснение — второй. Начинаем с зелёной карточки, затем команда сама выбирает жёлтую или красную. На работу — три минуты». | Получают карточки, распределяют задания между участниками, выбирают уровень и записывают алгоритм: найти $\Delta$, затем $\delta$, затем выразить результат в процентах. |
3 мин | Учитель раздаёт задания. Зелёная карточка: «Точное значение массы детали $A=500$ г, приближённое $a=498$ г. Найдите абсолютную и относительную погрешности». Жёлтая карточка: «Приближённо вычислили $\sqrt{50}\approx7,1$, считая точным значением $\sqrt{50}\approx7,071$. Найдите абсолютную погрешность приближения». Красная карточка: «Два приближения числа $\pi$: 3,14 и 3,142. Какое имеет меньшую относительную погрешность, если $\pi\approx3,1416$?» | Решают задания в командах. Для зелёной карточки получают $\Delta=2$ г, $\delta=0,004=0,4\%$. Для жёлтой — $\Delta=0,029$. Для красной сравнивают $0,0016$ и $0,0004$, делают вывод в пользу 3,142. |
2 мин | Учитель проводит быструю проверку «Защита ответа»: «Докладчик каждой команды назовёт не только результат, но и первый шаг алгоритма. Проверяющие команды поднимают зелёную карточку при согласии и жёлтую, если видят неточность». Учитель начисляет жетоны и кратко исправляет ошибки в единицах и процентах. | Докладчики защищают решения. Одноклассники проверяют формулы, единицы измерения и перевод десятичной дроби в проценты; при необходимости формулируют корректировку: «0,004 — это 0,4%, а не 0,04%». |
Эталон решения
Для массы: $\Delta=|498-500|=2$ г; $\delta=\frac{2}{500}=0,004$; $\delta\cdot100\%=0,4\%$. Для первого приближения $\Delta_1=|3,14-3,1416|=0,0016$. Для второго $\Delta_2=|3,142-3,1416|=0,0004$. Так как $0,0004<0,0016$, приближение 3,142 точнее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Команды показали, что один и тот же алгоритм работает для массы, корня и числа $\pi$. Теперь каждый проверит себя без помощи команды. Выберите уровень, на котором сможете получить содержательный результат, а не просто угадать ответ».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой «Личный рейтинг точности» (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и обеспечить дифференциацию заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «На карточке три задания. Обязательное базовое выполните все. Затем выберите одно из двух повышенных. Если готовы к исследованию, решите дополнительное задание. Записывайте формулу до подстановки чисел и не забывайте единицы». | Получают индивидуальные карточки, выбирают траекторию: базовый, повышенный или дополнительный уровень. |
5 мин | Учитель контролирует работу и напоминает алгоритм только вопросами: «Что в задаче является точным значением? Что вы найдёте первым? В какой форме нужно записать относительную погрешность?» На карточке: «1. Для $A=80$ км и $a=79,6$ км найдите $\Delta$ и $\delta$ в процентах. 2. Округлите $\sqrt{7}\approx2,646$ до сотых и оцените абсолютную ошибку, если $\sqrt{7}\approx2,64575$. 3. Исследовательское: объясните, почему при $A=0$ относительную погрешность по данной формуле находить нельзя». | Индивидуально решают: в первом задании $\Delta=0,4$ км, $\delta=0,5\%$; во втором после округления получают 2,65 и ошибку $0,00425$; в третьем объясняют невозможность деления на ноль и необходимость иной модели оценки. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон и организует самопроверку: «Поставьте плюс за правильную формулу, второй плюс за правильные вычисления и третий за корректное оформление единиц и процентов. Если обнаружили ошибку, зачеркните только неверный шаг и исправьте его рядом». | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают результат, отмечают цветом место ошибки. Заполняют самооценку: «Я уверенно нахожу абсолютную погрешность», «Мне нужно повторить перевод в проценты», «Мне нужно внимательнее выбирать точное значение». |
Эталон решения
Задание 1: $\Delta=|79,6-80|=0,4$ км; $\delta=\frac{0,4}{80}=0,005$; $0,005\cdot100\%=0,5\%$. Задание 2: после округления $a=2,65$; $\Delta=|2,65-2,64575|=0,00425$. Задание 3: при $A=0$ выражение $\frac{\Delta}{|A|}$ не определено, поэтому относительную погрешность по этой формуле вычислить нельзя.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что важны не только вычисления, но и правильное определение точного значения, единиц и формы ответа. В конце урока мы зафиксируем, чему научились, и сформулируем правило, которое пригодится при дальнейшем изучении функций, производных и задач с реальными данными».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, оценить результат и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная формула»: «За одну минуту запишите без подсказки две формулы и одну фразу о различии между абсолютной и относительной погрешностями. Затем обменяйтесь листами с соседом и проверьте наличие всех элементов». | Пишут $\Delta=|a-A|$ и $\delta=\frac{\Delta}{|A|}$, формулируют: «Абсолютная погрешность имеет единицы измерения, относительная — нет и обычно выражается в процентах». Взаимопроверяют записи. |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: «Ответьте письменно: приближение длины 10 м с ошибкой 0,1 м и приближение длины 1 м с ошибкой 0,1 м — какое относительно точнее и почему? На обороте укажите, какой уровень домашнего задания выбираете». | Отвечают: «Первое приближение точнее относительно: 1% против 10%». Указывают выбранный уровень домашней работы и цветом отмечают собственную уверенность. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание и благодарит за работу: «Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышенный или дополнительный. В решении обязательно записывайте формулу, подстановку, единицы и итог в процентах». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы по объёму и критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились измерять не только саму ошибку, но и её относительную значимость. На следующем уроке мы продолжим работу с точностью вычислений и рассмотрим, как погрешности исходных данных влияют на результаты действий и более сложных формул».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательное и выбранное дополнительное задания, правильно записаны формулы абсолютной и относительной погрешностей, указаны единицы измерения и проценты, объяснён вывод в исследовательской задаче.
- «4» — верно выполнено обязательное задание и одно задание повышенного уровня, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — правильно определено точное и приближённое значения и найден хотя бы один вид погрешности в обязательном задании, но допущены ошибки при переводе в проценты или оформлении ответа.
- «Дополнительный балл команде» — за полное обоснование выбора более точного приближения и корректное объяснение различия между абсолютной и относительной погрешностями.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о различии абсолютной и относительной погрешностей? | Выявление осознания ключевого содержания урока. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным: выбор точного значения, вычисление модуля, деление или перевод в проценты? | Выявление точек затруднения в алгоритме решения. |
Почему ошибка 0,04 может быть малой в одной ситуации и большой в другой? | Проверка понимания практического смысла относительной погрешности. |
Какой уровень задания вы готовы решать самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дифференциации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились описывать точность приближённых вычислений двумя способами: абсолютной и относительной погрешностями. Запомните типичную ошибку: относительную погрешность нельзя путать с абсолютной и нельзя забывать переводить десятичную дробь в проценты. Важно также правильно определить, какое значение является точным, а какое приближённым. На следующем уроке мы исследуем, как точность исходных данных влияет на результат арифметических действий и математической модели».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на округление и нахождение абсолютной и относительной погрешностей для заданных точного и приближённого значений; в двух задачах выразить относительную погрешность в процентах. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на выбор $A$ и $a$, модуль разности, единицы измерения и перевод в проценты. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи с величинами из разных областей: длина, масса, время или стоимость. Сравнить два приближения одной величины и обосновать, какое точнее относительно. | Формирует функциональную грамотность и умение интерпретировать относительную погрешность; проверить наличие словесного вывода после вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на сравнение двух приближений числа или измерения, подобрать реалистичные данные, выполнить вычисления абсолютной и относительной погрешностей и объяснить практический смысл результата. | Развивает исследовательское и творческое мышление; при проверке оценить корректность условия, реалистичность данных, полноту решения и обоснованность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как вычисляется абсолютная погрешность? Чем относительная погрешность отличается от абсолютной? В каких единицах измеряется абсолютная погрешность? Как перевести относительную погрешность в проценты? Почему нельзя вычислить относительную погрешность по формуле $\delta=\frac{\Delta}{|A|}$ при $A=0$?»
