Применение производной к исследованию функций
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока систематизировать алгоритм исследования функции с помощью производной и применить его к анализу двух функций, обосновывая промежутки монотонности, экстремумы и построение эскиза графика.
- Образовательная задача: обобщить связь знака производной с промежутками возрастания и убывания функции, а также условие существования экстремума.
- Развивающая задача: развивать умение выбирать последовательность действий, анализировать график и аргументированно проверять решение.
- Коммуникативная задача: совершенствовать навыки обсуждения математической модели в парах и формулирования доказательного ответа.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений, самоконтролю и использованию математических знаний для решения практических задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение исследования функций для дальнейшего изучения математики, экономики, физики и технических дисциплин.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа решения и готовность корректировать ошибочное рассуждение.
- Понимают ценность доказательного ответа, в котором каждый вывод связан с полученным результатом.
- Снижают тревожность перед заданиями повышенной сложности за счёт владения универсальным алгоритмом исследования функции.
Метапредметные
- Умеют планировать исследование функции, выделяя обязательные и дополнительные шаги.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы знаков производной и графического представления.
- Сравнивают несколько способов решения и обосновывают выбор наиболее рационального.
- Осуществляют взаимопроверку по критериям и фиксируют индивидуальное затруднение.
Предметные
- Знать, что на промежутке $f'(x)>0$ функция возрастает, а на промежутке $f'(x)<0$ функция убывает.
- Уметь находить критические точки функции и определять характер изменения знака производной в их окрестностях.
- Уметь находить точки экстремума и значения функции в них.
- Уметь составлять таблицу исследования, находить нули функции и строить обоснованный эскиз графика.
- Уметь применять исследование производной к задачам на наибольшее и наименьшее значение функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок и соотносят её с готовностью к дальнейшему обучению.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске более рационального решения.
- Оценивают собственную уверенность в применении алгоритма исследования функции.
- Принимают необходимость точной записи промежуточных результатов.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и составляют план исследования функции.
- Контролируют знаки производной, область определения и соответствие вывода таблице.
- Находят и исправляют ошибку в готовом решении.
- Оценивают результат по критериям и планируют дальнейшую работу.
Познавательные УУД
- Восстанавливают алгоритм исследования функции по отдельным этапам.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаком производной и монотонностью.
- Моделируют исследование в виде таблицы знаков и эскиза графика.
- Анализируют графическое и аналитическое представление одной функции.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при решении исследовательской задачи.
- Формулируют вопросы к решению одноклассника и дают аргументированную обратную связь.
- Используют математическую терминологию при объяснении промежутков монотонности.
- Согласовывают общий вывод, если способы решения различаются.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с алгоритмом исследования функции, таблицей знаков производной и двумя графиками для анализа.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые — на восстановление алгоритма, повышающие — на полное исследование, дополнительные — на параметрическую задачу; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить отдельные карточки с ошибочным решением для работы в парах — по одной на парту.
- Распечатать лист самооценки с пунктами «нахожу производную», «определяю критические точки», «строю таблицу знаков», «делаю вывод о монотонности».
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и листы формата А4 для построения таблиц исследования.
- Вывести на доску проблемный вопрос: «Как по производной восстановить поведение функции и её график?»
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут, проектор или интерактивную доску, графический калькулятор либо приложение для демонстрации графика при наличии оборудования.
- Заранее записать на доске формулы функций для актуализации: $f(x)=x^3-3x^2+2$ и $g(x)=x^4-2x^2$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и обозначить практическую значимость обобщения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы работаем не с отдельным правилом, а с целостным инструментом исследования функции. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. Ваша задача — не просто получить ответ, а объяснить, почему каждый вывод верен." | Готовят тетради и ручки, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране два эскиза графиков и спрашивает: "Как определить промежутки возрастания, убывания и точки экстремума, если график не дан, а задан формулой? Какую роль здесь играет производная? Сегодня мы проверим, умеем ли мы пройти весь путь от формулы до обоснованного эскиза графика." | Формулируют предположения: "Нужно исследовать знак производной", "Надо найти критические точки и значения функции". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что производная является инструментом анализа поведения функции. Сначала восстановим необходимые опорные действия, а затем применим их к полному исследованию."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Мозговой штурм» (6 мин)
Цель этапа: восстановить основные факты и выявить возможные пробелы перед решением комплексной задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Работаем по цепочке. Я называю этап, а вы дополняете его содержанием. Что проверяем первым при исследовании функции? Что находим затем? Не называйте только пункты — поясняйте, зачем каждый нужен." Учитель фиксирует ответы в виде кластера. | Называют область определения, производную, критические точки, знаки производной, монотонность, экстремумы, нули функции и эскиз графика. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что означает условие $f'(x)>0$? Достаточно ли равенства $f'(x_0)=0$ для утверждения, что $x_0$ — точка экстремума? Как проверить характер точки?" | Отвечают: "Функция возрастает", "Одного равенства недостаточно; нужно исследовать смену знака производной". |
2 мин | Учитель предлагает мини-задание: "Для функции $f(x)=x^3-3x^2+2$ устно назовите производную и критические точки. Запишите только вычисления, затем сравните ответы с соседом." | Вычисляют $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, называют критические точки $x=0$ и $x=2$, сверяют результат в парах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные правила восстановлены, но полное исследование требует строгой последовательности. Сейчас найдём, на каком шаге чаще всего возникает ошибка и сформулируем общий алгоритм."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: осознать типичные ошибки и совместно определить критерии качественного исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточку с решением: "В решении функции $h(x)=x^3-3x$ указано: $h'(x)=3x^2-3$, критические точки $-1$ и $1$, поэтому функция имеет максимум в точке $x=-1$ и минимум в точке $x=1$. Проверьте, достаточно ли такого объяснения." | Читают решение, находят пропуск таблицы знаков и вычисления значений функции, формулируют: "Нужно доказать смену знака производной и указать координаты экстремумов". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Каким должен быть полный ответ, чтобы его можно было проверить по шагам? Какие элементы обязательны, а какие зависят от формулировки задания?" Учитель записывает на доске предложения учащихся и уточняет формулировки. | Составляют план: область определения; производная; критические точки; знаки производной; монотонность и экстремумы; нули и дополнительные точки; график или итоговый вывод. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что найденные корни производной — только начало исследования. Теперь применим согласованный алгоритм к функции и проверим каждый шаг взаимной экспертизой."
Этап 4. Обобщение алгоритма на примере (9 мин)
Цель этапа: совместно выполнить полное исследование функции и связать аналитические результаты с графиком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Исследуем функцию $f(x)=x^3-3x^2+2$. Первый шаг — область определения. Затем найдём производную и решим уравнение $f'(x)=0$. Я записываю вычисления на доске, а вы ведёте запись в тетрадях и проверяете знаки." | Записывают $D(f)=\mathbb{R}$, $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, находят критические точки $x=0$ и $x=2$. |
3 мин | Учитель строит координатную прямую с точками $0$ и $2$: "Разобьём область определения на три промежутка. Определите знак каждого множителя производной на каждом промежутке и сформулируйте знак произведения. Не угадывайте по графику — обоснуйте таблицу." | Заполняют таблицу знаков: на $(-\infty;0)$ производная положительна, на $(0;2)$ отрицательна, на $(2;+\infty)$ положительна; делают вывод о возрастании и убывании. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что происходит при переходе через $x=0$? А через $x=2$? Теперь найдём координаты экстремумов и нули функции, чтобы эскиз был обоснованным." Учитель просит одного ученика оформить таблицу на доске. | Формулируют: "В точке $x=0$ знак меняется с плюса на минус — максимум; в точке $x=2$ с минуса на плюс — минимум". Вычисляют $f(0)=2$, $f(2)=-2$, находят нули: $x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$, поэтому $x=1$, $x=1-\sqrt3$, $x=1+\sqrt3$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм исследования: 1) найти область определения; 2) найти производную; 3) определить критические точки; 4) исследовать знак производной; 5) установить промежутки монотонности и экстремумы; 6) найти необходимые значения функции и нули; 7) построить эскиз графика или сформулировать итоговый вывод.
Эталон решения
Для $f(x)=x^3-3x^2+2$: $D(f)=\mathbb{R}$; $f'(x)=3x(x-2)$. Производная положительна на $(-\infty;0)$ и $(2;+\infty)$, отрицательна на $(0;2)$. Поэтому функция возрастает на $(-\infty;0)$ и $(2;+\infty)$, убывает на $(0;2)$. В точке $x=0$ максимум: $f(0)=2$; в точке $x=2$ минимум: $f(2)=-2$. Нули функции: $x=1-\sqrt3$, $x=1$, $x=1+\sqrt3$. Эскиз проходит через найденные точки и учитывает направление изменения функции.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы прошли весь алгоритм и увидели, что таблица знаков производной превращается в описание графика. Теперь каждая пара проверит этот алгоритм на другой функции, распределив между собой вычисления и объяснение."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: применить алгоритм исследования функции в совместной работе и получить обратную связь по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки: "Исследуйте функцию $g(x)=x^4-2x^2$. Первый участник пары отвечает за производную и критические точки, второй — за таблицу знаков. Затем вместе оформите монотонность и экстремумы. Обязательно проверьте решение по четырём критериям: область определения, производная, знак, итоговый вывод." | Распределяют роли, читают условие и критерии выполнения. |
5 мин | Учитель консультирует: "Не начинайте с построения графика. Сначала разложите производную на множители и нанесите критические точки на числовую прямую. Если возникло расхождение, объясните партнёру не только ответ, но и причину знака." | Вычисляют $g'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$, находят точки $-1$, $0$, $1$, составляют таблицу знаков, определяют промежутки монотонности и экстремумы. |
2 мин | Учитель организует приём «Две звезды и пожелание»: "Обменяйтесь листами с соседней парой. Запишите две сильные стороны решения и один конкретный совет по исправлению или уточнению." | Проверяют решение соседней пары, отмечают две сильные стороны и один совет: например, "указана смена знака", "пропущено значение функции в экстремуме". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм в паре и увидели, что знак производной нужно проверять на каждом промежутке. Переходим к индивидуальной работе: теперь важно показать, какие действия уже выполняются вами без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальный уровень владения алгоритмом и научить соотносить решение с критериями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Возьмите карточку базового или повышенного уровня. Базовый уровень: исследуйте функцию $p(x)=x^2-4x+3$. Повышенный уровень: исследуйте функцию $q(x)=x^3-6x^2+9x$. Записывайте все этапы, даже если некоторые кажутся очевидными." | Выбирают уровень, записывают условие и начинают индивидуальное решение. |
6 мин | Учитель напоминает критерии: "Проверьте область определения, производную, критические точки, таблицу знаков и значения функции в экстремумах. В повышенном задании дополнительно укажите нули функции и опишите эскиз графика. На экране появляется эталон в виде таблицы без готового ответа." | Самостоятельно выполняют исследование, выделяют промежутки возрастания и убывания, находят экстремумы и при необходимости нули функции. |
3 мин | Учитель показывает эталон и говорит: "Сверяйте не только последнюю строку, но и каждый переход. Если ошибка найдена, зачеркните её одной линией и рядом запишите исправление. В листе самооценки отметьте, на каком шаге потребовалась помощь." | Проводят самопроверку, исправляют ошибки, заполняют лист самооценки: «могу самостоятельно», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
Эталон решения
Для базового задания $p(x)=x^2-4x+3$: $D(p)=\mathbb{R}$, $p'(x)=2x-4$, критическая точка $x=2$. Производная отрицательна при $x<2$ и положительна при $x>2$, значит функция убывает на $(-\infty;2)$ и возрастает на $(2;+\infty)$. Минимум достигается при $x=2$: $p(2)=-1$. Нули: $x=1$ и $x=3$. Для повышенного задания $q'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$; функция возрастает на $(-\infty;1)$ и $(3;+\infty)$, убывает на $(1;3)$; максимум: $q(1)=4$, минимум: $q(3)=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие шаги уже стали устойчивыми, а какие требуют повторения. В завершение свяжем алгоритм с практическим смыслом наибольшего и наименьшего значения и сформулируем личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенный алгоритм, зафиксировать результат и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если можете самостоятельно исследовать функцию; жёлтый — если уверенно выполняете не все шаги; красный — если нужна разборка алгоритма заново. Одним предложением объясните свой выбор." | Поднимают стикеры, формулируют: "Мне нужно ещё потренировать таблицу знаков" или "Я могу найти экстремумы и обосновать их". |
1 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: почему равенство $f'(x_0)=0$ само по себе не доказывает экстремум? Какой шаг исследования нельзя пропускать?" | Пишут ответы: "Нужно проверить смену знака производной"; "Нельзя пропускать анализ знаков на промежутках". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, ориентируясь не на оценку, а на собственную цель. В тетради обязательно оформите таблицу исследования и выделите место, где проверяете смену знака производной." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — полностью и без существенных ошибок выполнено исследование выбранной функции: указана область определения, верно найдена производная, определены критические точки, составлена таблица знаков, обоснованы монотонность и экстремумы; запись аккуратная и последовательная.
- «4» — выполнены все основные этапы, но допущена одна неточность в вычислении значения функции, оформлении эскиза или записи промежутка, не повлиявшая на общий ход исследования.
- «3» — правильно начато исследование и найдена производная, но допущены ошибки при составлении таблицы знаков или формулировании промежутков монотонности; после подсказки ученик может исправить решение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма исследования функции вы выполняете уверенно? | Выявление освоенных действий и фиксация индивидуального прогресса. |
На каком этапе сегодня возникло затруднение: при нахождении производной, построении таблицы знаков или формулировке вывода? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Почему по одному равенству $f'(x_0)=0$ нельзя сразу назвать точку экстремума? | Проверка понимания логики доказательства, а не механического запоминания правила. |
Какой уровень домашнего задания соответствует вашей текущей цели и почему? | Развитие самооценки, ответственности и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы восстановили целостный алгоритм исследования функции с помощью производной и применили его к нескольким функциям. Особенно важно помнить: равенство производной нулю только указывает на возможную критическую точку, а экстремум подтверждается сменой знака производной. Проверяйте не только вычисления, но и смысл каждого вывода. На следующем уроке мы применим этот аппарат к задачам на наибольшее и наименьшее значение функции и к более сложным моделям."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Исследовать 2 квадратичные или кубические функции по полному алгоритму: область определения, производная, критические точки, промежутки монотонности и экстремумы. | Закрепить последовательность исследования и проверить правильность таблицы знаков. |
Средний (повышающий) | Исследовать 2 функции, одна из которых имеет несколько критических точек; дополнительно найти нули функции и построить эскиз графика с отмеченными экстремумами. | Развить умение связывать аналитические данные с графическим представлением и выполнять полный обоснованный ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 1 задачу с параметром или практическую задачу на определение наибольшего значения функции на отрезке, используя производную и проверку значений на концах отрезка. | Перенести алгоритм в новую ситуацию, развить исследовательское мышление и подготовиться к задачам повышенной сложности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что показывает знак производной? Какие точки называют критическими? Как доказать наличие экстремума? Какие значения нужно сравнить при поиске наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке?»
