Определители второго и третьего порядка. Правило Крамера и метод Гаусса
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться вычислять определители матриц второго и третьего порядка и применять правило Крамера и метод Гаусса для решения систем двух и трёх линейных уравнений, проверяя полученный результат.
- Закрепить понимание определителя второго порядка как разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
- Открыть способ вычисления определителя третьего порядка по правилу Саррюса и применять его в практических заданиях.
- Научиться выбирать между правилом Крамера и методом Гаусса с учётом структуры системы и проверять решение подстановкой.
- Развивать математическую аргументацию, точность вычислений, сотрудничество в парах и связь алгебры с информатикой и аналитической геометрией.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность матричных методов для дальнейшего обучения в технических, экономических и естественно-научных направлениях.
- Проявлять ответственность за точность вычислений и готовность проверять собственное решение.
- Принимать необходимость распределения ролей и взаимопомощи при работе в паре.
- Формировать уверенность в решении многошаговых задач и спокойное отношение к сложным вычислениям.
Метапредметные
- Выделять условие, неизвестные, коэффициенты и свободные члены системы, переводя текстовую запись в матричную модель.
- Планировать последовательность вычислений, фиксировать промежуточные результаты и осуществлять самопроверку.
- Сравнивать алгоритмы Крамера и Гаусса и аргументированно выбирать подходящий способ.
- Использовать интерактивную доску или калькулятор таблиц для проверки вычислений, не заменяя рассуждение автоматическим ответом.
- Работать с математической информацией, формулировать вывод и объяснять его однокласснику.
Предметные
- Знать формулу определителя второго порядка $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.
- Уметь вычислять определитель третьего порядка по правилу Саррюса.
- Знать условия применимости правила Крамера: $\Delta\ne0$ для системы с тем же числом уравнений и неизвестных.
- Уметь решать системы двух и трёх линейных уравнений методом Крамера и методом последовательного исключения неизвестных.
- Уметь проверять решение подстановкой и распознавать случаи отсутствия единственного решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться выбирать и применять алгоритм решения системы.
- Осознают связь точности математической записи с надёжностью результата в будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность воспринимать ошибку как источник коррекции алгоритма.
- Оценивают собственную готовность к самостоятельному решению задач повышенного уровня.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после анализа проблемной системы.
- Планируют шаги вычисления определителя и решения системы.
- Контролируют знаки, порядок действий и промежуточные значения.
- Сверяют решение с эталоном и исправляют обнаруженную ошибку.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Строят матрицу коэффициентов и определитель системы.
- Сравнивают диагональные произведения и структурируют вычисления по правилу Саррюса.
- Моделируют решение системы через последовательное исключение неизвестных.
- Анализируют условие $\Delta=0$ и делают вывод о невозможности применения обычного правила Крамера.
- Проверяют гипотезу подстановкой найденных значений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и контролёр.
- Объясняют партнёру каждый шаг алгоритма, а не только итоговый ответ.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и выборе метода.
- Аргументированно представляют решение классу.
- Корректно принимают замечания и совместно исправляют ошибку.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с формулами определителей второго порядка, правилами Саррюса и схемой метода Гаусса.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности с заданиями и подробными решениями: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить отдельные листы-эталоны с ответами для самопроверки после выполнения заданий.
- Разместить на доске таблицу обозначений: $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$, $\Delta_z$, матрица коэффициентов и расширенная матрица.
- Подготовить карточку с проблемной системой $\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$ и вопросом о выборе способа решения.
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут для парной практики.
- Подготовить проектор, компьютер и интерактивную доску либо документ-камеру для показа решений.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и выходного билета.
- Освободить небольшой участок кабинета для физкультминутки с упражнениями для глаз, кистей и плечевого пояса.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и связать тему с будущим применением матричных методов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и калькулятор для проверки. Сегодня мы будем не столько слушать теорию, сколько исследовать два способа решения одной и той же системы. В конце урока вы сами решите, какой алгоритм удобнее в конкретной задаче." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране систему $\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$ и говорит: "Эта система описывает две линейные зависимости. Как найти точку их пересечения? Можно выразить неизвестную, а можно представить коэффициенты в виде матрицы. Сегодня выясним, как определители помогают получить ответ почти механически." | Определяют, что требуется найти значения $x$ и $y$, предполагают: "Можно решить подстановкой или сложением", формулируют интерес к матричному способу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим обычную систему, но сегодня переведём её на язык определителей и матриц. Сначала проверим, какие вычислительные приёмы уже умеем применять."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: восстановить правила работы с матрицами и обнаружить необходимость точного алгоритма вычисления определителя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре»: "В течение тридцати секунд вычислите $\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}$. Затем сравните ответ с соседом и объясните, какое произведение вычитается из какого. Не называйте только число — проговорите правило." | Индивидуально получают $3\cdot4-2\cdot1=10$, затем в парах объясняют порядок действий. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Что изменится, если в определителе третьего порядка будет девять чисел? Можно ли просто перемножить главную диагональ? Какие дополнительные произведения понадобятся?" На доске фиксирует ответы в двух колонках «знаем» и «нужно выяснить». | Формулируют: "Одной диагонали недостаточно", "нужны диагональные произведения со знаками"; называют правило Саррюса как знакомый или предполагаемый способ. |
1 мин | Учитель предъявляет ошибочное вычисление $\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot4+2\cdot3$ и спрашивает: "Где ошибка? Как быстро себя проконтролировать?" | Находят ошибку в знаке, исправляют результат: $4-6=-2$, предлагают проверять формулу перед подстановкой чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулу второго порядка мы восстановили, но для третьего порядка и системы из трёх уравнений нужен надёжный алгоритм. Сформулируем, что именно должны открыть сегодня."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии успешного решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель возвращает на экран систему $\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$ и задаёт вопрос: "Как представить эту систему так, чтобы каждую неизвестную можно было найти отдельным вычислением? Запишите свою гипотезу одним предложением." | Записывают гипотезы: "Нужно заменить столбец свободных членов", "нужно вычислять несколько определителей". |
2 мин | Учитель направляет обсуждение: "Сегодня к концу урока вы должны уметь вычислять определители второго и третьего порядка, находить $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$, решать систему по правилу Крамера, а затем сравнить этот способ с методом Гаусса. Успешным считаем решение, если вычисления записаны последовательно, знаки проверены, а ответ подтверждён подстановкой." | Формулируют цель урока, записывают критерии: правильность, последовательность, проверка, обоснованный выбор метода. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не запомнить отдельную формулу, а построить работающий алгоритм и проверить его на практике. Переходим к открытию этого алгоритма."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания: определители и правило Крамера (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм вычисления определителя третьего порядка и применить правило Крамера к системе двух уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает матрицу $\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$ и говорит: "Продублируем первые два столбца справа. Теперь складываем произведения трёх нисходящих диагоналей и вычитаем произведения трёх восходящих диагоналей. Это правило Саррюса. Сначала работаем буквами, затем числами. Ошибка чаще всего появляется при смене знака, поэтому каждое произведение записываем отдельно." | Перерисовывают схему, подписывают три положительных и три отрицательных произведения. |
3 мин | Учитель разбирает пример на доске: $\Delta=\begin{vmatrix}2&1&0\\1&3&1\\0&2&4\end{vmatrix}$. Реплика: "Записываем шесть произведений: $2\cdot3\cdot4$, $1\cdot1\cdot0$, $0\cdot1\cdot2$, затем $0\cdot3\cdot0$, $1\cdot1\cdot4$, $2\cdot1\cdot2$. Считаем со знаками и не пропускаем нулевые слагаемые." | Вычисляют $\Delta=24+0+0-0-4-4=16$, сверяют запись с доской. |
3 мин | Учитель применяет правило Крамера к системе $\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$: "Главный определитель $\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3$. Для $\Delta_x$ заменяем первый столбец свободными членами: $\Delta_x=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=-6$. Для $\Delta_y$ заменяем второй столбец: $\Delta_y=\begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}=-3$. Поэтому $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=2$, $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=1$." | Записывают алгоритм, получают $x=2$, $y=1$, проверяют: $2\cdot2+1=5$ и $2-1=1$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм Крамера: 1) вычислить главный определитель $\Delta$; 2) заменить по очереди столбцы коэффициентов столбцом свободных членов; 3) вычислить $\Delta_x$, $\Delta_y$, $\Delta_z$; 4) при $\Delta\ne0$ найти $x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$, $y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$, $z=\frac{\Delta_z}{\Delta}$; 5) выполнить проверку подстановкой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что определитель превращает решение системы в последовательность замен столбцов и деления. Теперь пары проверят алгоритм на карточках разной сложности."
Этап 5. Парная практика по карточкам (7 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление определителей и правило Крамера через задания базового, среднего и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки: "В каждой паре один ученик сначала выполняет вычисления, второй контролирует знаки и сверяет этапы с алгоритмом. Через половину времени поменяйтесь ролями. Базовая карточка содержит определители второго порядка, средняя — систему по Крамеру, повышенная — определитель третьего порядка и анализ случая $\Delta=0$." | Получают карточку, распределяют роли, читают критерии и выбирают уровень по готовности. |
4 мин | Учитель консультирует пары и задаёт вопросы: "Почему именно этот столбец заменили? Что означает получившийся нулевой главный определитель? Покажите не только ответ, но и строку вычислений." На экране выводит подсказку: $ad-bc$ и схема Саррюса. | Решают задания, подчёркивают главный определитель, отмечают места проверки, объясняют партнёру ход решения. |
2 мин | Учитель демонстрирует карточку-эталон с решениями и просит выполнить взаимопроверку: "Сверьте каждый шаг, а не только последнюю строку. Если нашли расхождение, поставьте знак вопроса и восстановите место ошибки." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, ставят отметку о выполнении и формулируют причину ошибки. |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}3x-2y=4\\x+y=3\end{cases}$: $\Delta=\begin{vmatrix}3&-2\\1&1\end{vmatrix}=3+2=5$; $\Delta_x=\begin{vmatrix}4&-2\\3&1\end{vmatrix}=4+6=10$; $\Delta_y=\begin{vmatrix}3&4\\1&3\end{vmatrix}=9-4=5$. Следовательно, $x=10/5=2$, $y=5/5=1$. Проверка: $3\cdot2-2\cdot1=4$, $2+1=3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство ошибок возникло не в самой идее, а в знаках и замене столбцов. Сейчас сделаем короткую физкультминутку, чтобы снять напряжение с глаз и кистей, а затем применим метод исключения."
Этап 6. Физкультминутка и переключение внимания (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение после вычислений и подготовить внимание к новому алгоритму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Отложите ручки. Не поворачивая головы, посмотрите вверх, вниз, вправо и влево; повторите четыре раза. Сожмите и разожмите кисти, сделайте два вращения плечами назад и вперёд. Глубоко вдохните и выдохните. Теперь возвращаемся к доске: следующий алгоритм будет связан с преобразованием строк." | Выполняют упражнения для глаз, кистей и плеч, затем занимают рабочее положение и готовят тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили внимание и готовы рассмотреть способ, который не требует вычислять несколько определителей. Это метод последовательного исключения неизвестных."
Этап 7. Открытие метода Гаусса и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: понять идею метода Гаусса и увидеть её связь с алгоритмами обработки данных в информатике.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает расширенную матрицу системы $\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$ и говорит: "Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк: можно менять строки местами, умножать строку на ненулевое число и прибавлять к строке другую строку, умноженную на число. Цель — получить ступенчатый вид. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей — первую." | Записывают расширенную матрицу, выполняют преобразования: $R_2\leftarrow R_2-2R_1$, $R_3\leftarrow R_3-R_1$, получают строки $(1,1,1|6)$, $(0,-3,-1|-9)$, $(0,1,-2|-4)$. |
2 мин | Учитель продолжает: "Поменяем вторую и третью строки, затем исключим $y$ из третьей строки. После этого начнём обратный ход: сначала найдём $z$, затем $y$, затем $x$." | Выполняют преобразование, получают третью строку $(0,0,-7|-21)$, находят $z=3$, затем из $y-2z=-4$ получают $y=2$, из $x+y+z=6$ получают $x=1$. |
1 мин | Учитель задаёт межпредметный вопрос: "Почему этот метод напоминает работу компьютерной программы? Какие действия можно поручить таблице или скрипту, а какие должен контролировать человек?" | Отвечают: "Алгоритм состоит из повторяющихся операций", "компьютер может считать, но человек проверяет модель, знаки и смысл ответа". |
Запись в тетрадях
Метод Гаусса: преобразовать расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, выполнить прямой ход, затем обратный ход. Допустимые преобразования строк сохраняют множество решений системы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило Крамера удобно для небольших систем и наглядно связывает решение с определителями. Метод Гаусса обычно экономнее для больших систем. Осталось самостоятельно выбрать и применить алгоритм."
Этап 8. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение двумя способами решения и умение проверять результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные мини-карточки: "Вариант базового уровня: вычислите определитель и решите систему по Крамеру. Вариант повышенного уровня: решите систему методом Гаусса и объясните, почему правило Крамера здесь неудобно. Записывайте все преобразования." | Выбирают уровень, записывают условие и план решения. |
3 мин | Учитель предлагает систему базового уровня $\begin{cases}2x+3y=7\\x-y=1\end{cases}$ и повышенного уровня $\begin{cases}x+y+z=4\\2x-y+z=1\\x+2y-z=5\end{cases}$. Напоминает: "Проверка обязательна. Если получили дробь, это не ошибка само по себе; ошибка — отсутствие обоснования." | Решают индивидуально: базовый вариант даёт $x=2$, $y=1$; повышенный вариант решают методом Гаусса. |
2 мин | Учитель выводит эталон и организует самопроверку: "Поставьте плюс рядом с правильно выполненным шагом и кружок около места, которое нужно исправить. Красный стикер означает, что нужна консультация, жёлтый — частичная уверенность, зелёный — готовность к усложнению." | Сверяют решение, исправляют вычисления, прикрепляют стикер выбранного цвета, формулируют личную трудность. |
Эталон решения
Для базовой системы: $\Delta=\begin{vmatrix}2&3\\1&-1\end{vmatrix}=-2-3=-5$; $\Delta_x=\begin{vmatrix}7&3\\1&-1\end{vmatrix}=-7-3=-10$; $\Delta_y=\begin{vmatrix}2&7\\1&1\end{vmatrix}=2-7=-5$. Поэтому $x=2$, $y=1$. Проверка: $4+3=7$, $2-1=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Теперь зафиксируем, чем отличаются методы и какой вывод каждый из вас уносит с урока."
Этап 9. Рефлексия, итог и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить способы решения, выявить затруднения и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "Закончите три фразы: определитель второго порядка вычисляется…; правило Крамера удобно, когда…; в методе Гаусса сначала…" | Письменно завершают фразы: "$ad-bc$", "система небольшая и $\Delta\ne0$", "выполняют прямой ход и получают ступенчатый вид". |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой знак чаще всего проверяли? Что оказалось удобнее лично вам — Крамер или Гаусс? Почему?" | Отвечают: "Нужно следить за минусом в определителе", выбирают метод и называют причину. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный выполняйте по готовности. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: при каком условии нельзя использовать обычную формулу Крамера для единственного решения?" | Записывают задание, отвечают: "При $\Delta=0$ правило Крамера не даёт единственного решения". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно вычислены все определители, система решена выбранным методом без логических ошибок, выполнена подстановка и дано объяснение выбора алгоритма.
- «4» — основная идея и ответ верны, но допущена одна вычислительная ошибка или неполно записана проверка; ошибка самостоятельно исправлена по эталону.
- «3» — правильно записан алгоритм и выполнена часть вычислений, но допущены две существенные ошибки либо отсутствует проверка результата.
- Ниже «3» — не определены матрица коэффициентов или главный определитель, преобразования не обоснованы; требуется индивидуальная отработка базового алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вычислении определителя третьего порядка? | Проверка осознания правила Саррюса и структуры шести произведений. |
На каком шаге решения по Крамеру вы можете ошибиться? | Выявление точек затруднения: знаки, замена столбца, деление на главный определитель. |
Какой способ вы выбрали бы для системы из трёх уравнений и почему? | Проверка понимания различий между правилом Крамера и методом Гаусса. |
Что вы сделаете, если получили $\Delta=0$? | Проверка понимания границ применимости алгоритма и готовности анализировать систему дальше. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы связали определители с решением систем линейных уравнений и увидели два разных алгоритма. Правило Крамера удобно для небольших систем, а метод Гаусса позволяет последовательно исключать неизвестные и масштабируется на более крупные задачи. Самая частая ошибка — потеря знака при вычислении определителя или преобразовании строки, поэтому проверка обязательна. На следующем уроке мы продолжим работу с матрицами и рассмотрим, как матричная запись помогает анализировать системы и их решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 системы двух линейных уравнений по правилу Крамера, предварительно вычислив главный определитель; выполнить проверку подстановкой. | Закрепляет формулу определителя второго порядка, замену столбцов и контроль ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 2 системы трёх линейных уравнений: одну по правилу Крамера с определителями третьего порядка, вторую методом Гаусса; сравнить объём вычислений. | Формирует умение применять правило Саррюса, выполнять прямой и обратный ход и выбирать алгоритм. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать 2 системы, в которых главный определитель равен нулю: определить, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений; оформить рассуждение через метод Гаусса. | Развивает анализ особых случаев, математическую аргументацию и понимание ограничений правила Крамера. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как вычисляется определитель второго порядка?», «Какие столбцы заменяются при применении правила Крамера?», «Какие преобразования строк допустимы в методе Гаусса?», «Почему при $\Delta=0$ нельзя сразу записать единственное решение по формулам Крамера?»
