Переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять формулу перехода к новому основанию для вычисления и преобразования логарифмов, в том числе представлять логарифмы через десятичный и натуральный логарифмы, успешно выполнив не менее 4 из 5 заданий базового и повышенного уровней.
- Сформировать понимание формулы перехода от основания a к основанию b и условий её применимости: a>0, a≠1, b>0, b≠1.
- Научиться вычислять логарифмы с использованием десятичного и натурального логарифмов и объяснять выбор удобного основания.
- Развивать умение анализировать выражения, контролировать область допустимых значений и аргументировать последовательность преобразований.
- Воспитывать ответственное отношение к самостоятельной работе и осознанную готовность применять математические модели при решении учебных и практических задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность преобразований логарифмических выражений для дальнейшего изучения математики, физики, информатики и профильных дисциплин.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору способа решения и корректному объяснению своего выбора.
- Формируют устойчивую учебную мотивацию и спокойное отношение к заданиям повышенной сложности, связанным с подготовкой к итоговой аттестации.
- Оценивают собственный прогресс и выявляют конкретные затруднения в применении формулы перехода к новому основанию.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и выдвигают гипотезу о способе вычисления логарифма с неудобным основанием.
- Планируют последовательность преобразований, фиксируют промежуточные результаты и выполняют самопроверку.
- Смыслово читают математические записи, извлекают условия применимости формул и сопоставляют несколько способов решения.
- Аргументированно представляют решение в паре и оценивают корректность рассуждения одноклассника.
Предметные
- Знать формулу перехода к новому основанию: $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ при допустимых значениях оснований и аргумента.
- Уметь представлять $\log_a b$ через десятичный логарифм и через натуральный логарифм.
- Уметь вычислять выражения вида $\log_a b$ при известных значениях десятичных или натуральных логарифмов.
- Уметь выявлять недопустимые основания и аргументы, а также применять формулу взаимности $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения формулы перехода к новому основанию для решения нестандартных задач.
- Проявляют самостоятельность при выборе между десятичным и натуральным логарифмом.
- Осознают ценность точной математической записи и проверки условий применимости.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм преобразования логарифмического выражения.
- Сверяют решение с эталоном, находят ошибку в основании или аргументе и корректируют запись.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выводят формулу перехода к новому основанию через определение логарифма.
- Сравнивают записи через десятичный и натуральный логарифмы.
- Моделируют общий алгоритм решения и применяют его к новым выражениям.
- Анализируют структуру логарифмического выражения и выделяют условия его существования.
Коммуникативные УУД
- Формулируют гипотезы и задают уточняющие вопросы в паре.
- Объясняют ход преобразований, используя математическую терминологию.
- Сопоставляют решения и корректно аргументируют согласие или несогласие.
- Распределяют роли при совместном решении исследовательской задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным выражением $\log_2 7$ и вопросом: «Как вычислить его, имея калькулятор только с кнопками $\lg$ и $\ln$?»
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить листы с формулой перехода, в которой пропущено основание $c$, для парного вывода правила.
- Разместить на доске памятку с условиями: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $c>0$, $c\ne1$.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и «Билет на выход».
- Организовать проектор или интерактивную доску; при необходимости подготовить инженерные калькуляторы или калькулятор на компьютере.
- Распечатать по одному листу самооценки на каждого ученика с пунктами «Я могу применить формулу перехода», «Я проверяю ОДЗ», «Я умею выбирать основание».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и показать практическую необходимость перехода к новому основанию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто запоминать новую формулу, а выяснять, зачем она нужна и как позволяет работать с логарифмами, основания которых неудобны для вычисления. Запишите дату и тему урока: «Переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы»." | Открывают тетради, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $\log_2 7$ и говорит: "Представьте, что калькулятор умеет вычислять только $\lg x$ и $\ln x$. Как получить значение $\log_2 7$? Подумайте самостоятельно, затем обсудите идею с соседом в течение минуты. Это приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Самостоятельно предлагают способ, обсуждают его в парах и формулируют гипотезы: «нужно выразить логарифм через другое основание», «можно использовать десятичные или натуральные логарифмы». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что привычных обозначений логарифма недостаточно для прямого вычисления любого выражения. Сейчас восстановим необходимые свойства и попробуем вывести универсальный способ перехода к другому основанию."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определение логарифма, свойства степеней и условия существования логарифма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает устный блиц: "Запишите на мини-досках ответы на три вопроса. Что означает равенство $\log_a b=x$? Какие условия должны выполняться для $a$ и $b$? Чему равен $\log_a a$?" После сигнала учитель просит поднять ответы и корректирует формулировки. | Записывают: $a^x=b$; условия $a>0$, $a\ne1$, $b>0$; отвечают: $\log_a a=1$. |
3 мин | Учитель записывает выражения $\log_2 8$, $\log_5 1$, $\log_3\frac{1}{9}$ и спрашивает: "Какие значения можно найти сразу? Объясните каждое равенство через определение логарифма. Почему выражение $\log_1 5$ не имеет смысла?" | Вычисляют $3$, $0$, $-2$; объясняют: $2^3=8$, $5^0=1$, $3^{-2}=\frac19$; указывают, что основание $1$ запрещено. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что логарифм связан со степенью, а его основание и аргумент имеют строгие ограничения. Теперь выясним, как использовать это определение, если перейти к другому, более удобному основанию."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить алгоритм её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание: "Сравните два выражения: $\log_2 7$ и $\log_{10}7$. Второе можно вычислить кнопкой $\lg$, а первое — нет. Как связать их? Запишите гипотезу и объясните, какие промежуточные величины могут понадобиться." | Записывают гипотезы: «нужно выразить оба логарифма через общий показатель степени», «можно использовать отношение логарифмов по одному основанию». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте цель урока, затем объединитесь в пары и выберите точную формулировку. Цель должна быть измеримой и начинаться со слов «научиться»." Учитель фиксирует итог на доске. | Формулируют цель: «научиться переходить от одного основания к другому и применять формулу через $\lg$ и $\ln$ при вычислении логарифмов». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нам нужно найти общий способ замены основания. Для этого сначала выведем формулу, а затем проверим её на конкретных выражениях и задачах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу перехода к новому основанию и установить связи с десятичным и натуральным логарифмами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: "Пусть $x=\log_a b$. Тогда по определению $a^x=b$. Возьмём логарифм обеих частей по основанию $c$: $\log_c(a^x)=\log_c b$. Какое свойство логарифма применяем? К чему придём?" Учитель последовательно записывает рассуждение на доске. | Отвечают: «используем свойство логарифма степени»; записывают $x\log_c a=\log_c b$, затем $x=\frac{\log_c b}{\log_c a}$. |
3 мин | Учитель формулирует вывод: "Итак, получаем формулу перехода к новому основанию. Обратите внимание: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $a\ne1$. Запишите формулу и условия её применения. Если $c=10$, что получится? Если $c=e$, что получится?" | Записывают $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$; называют частные случаи $\log_a b=\frac{\lg b}{\lg a}$ и $\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Вычислим $\log_2 7$ с помощью калькулятора. Формула даёт $\log_2 7=\frac{\lg7}{\lg2}=\frac{\ln7}{\ln2}$. Почему оба способа дают одно и то же значение? Какой вариант выберете, если в условии уже даны значения $\ln7$ и $\ln2$?" | Записывают два равных представления, объясняют, что используется одно и то же новое основание; выбирают натуральные логарифмы при наличии их значений. |
Запись в тетрадях
$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$, где $a>0$, $a\ne1$, $b>0$, $c>0$, $c\ne1$. Частные случаи: $\log_a b=\frac{\lg b}{\lg a}$; $\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}$. Также $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула позволяет заменить неудобное основание любым допустимым основанием, чаще всего 10 или $e$. Теперь проговорим алгоритм вслух и применим его сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм перехода к новому основанию через совместное решение и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточку с выражениями: $\log_3 8$, $\log_5 12$, $\log_7 2$. Инструкция: "Для каждого выражения запишите два варианта: через $\lg$ и через $\ln$. Не вычисляйте десятичные приближения, если это не требуется. Взаимопроверка проходит по правилу «Две звезды и пожелание»: отметьте два корректных шага и один возможный недочёт." | В парах записывают $\frac{\lg8}{\lg3}$ и $\frac{\ln8}{\ln3}$, аналогично для остальных выражений; проверяют записи партнёров и формулируют замечания. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какой общий алгоритм вы использовали? Назовите шаги по порядку. Что обязательно проверяем до преобразования?" | Формулируют алгоритм: определить основание и аргумент, проверить условия, выбрать новое основание, записать отношение логарифмов, при необходимости вычислить. |
2 мин | Учитель предлагает выражение $\log_4 16+\log_2 5$ и спрашивает: "Можно ли первый логарифм вычислить без перехода? Как представить второй через $\lg$?" | Вычисляют $\log_4 16=2$; записывают $\log_2 5=\frac{\lg5}{\lg2}$; получают $2+\frac{\lg5}{\lg2}$. |
Эталон решения
Для $\log_4 16$: $4^2=16$, поэтому $\log_4 16=2$. Для $\log_2 5$: применяем формулу перехода при $c=10$: $\log_2 5=\frac{\lg5}{\lg2}$. Следовательно, $\log_4 16+\log_2 5=2+\frac{\lg5}{\lg2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились выбирать кратчайший путь: известный логарифм вычисляем напрямую, а неудобный переводим через $\lg$ или $\ln$. Теперь каждый проверит, способен ли применить алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение формулы перехода, условий её применения и выбора способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Инструкция: "Выполните обязательные задания и выберите одно дополнительное, если готовы. В каждом решении записывайте основание перехода. Задания: 1) представьте $\log_7 11$ через $\lg$; 2) представьте $\log_3 14$ через $\ln$; 3) вычислите $\log_2 32+\log_5 25$; 4) упростите $\frac{\ln x}{\ln a}$ и укажите, какой логарифм она обозначает; 5) объясните, почему запись $\frac{\lg b}{\lg1}$ недопустима." | Индивидуально решают задания, записывают условия применимости; при затруднении используют памятку, но не готовое решение. |
2 мин | Учитель показывает эталон и говорит: "Проверьте не только ответ, но и структуру решения: есть ли выбранное основание, корректно ли записаны числитель и знаменатель, соблюдены ли ограничения. Ошибку не стирайте — обозначьте и исправьте рядом." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки и исправляют их. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно применяете формулу; жёлтую — если нужна ещё практика; красную — если не понимаете, где возникают трудности. Запишите внизу работы одну конкретную причину затруднения." | Показывают цвет карточки и записывают самооценку: например, «путаю аргумент и основание» или «забываю проверить знаменатель». |
Эталон решения
$\log_7 11=\frac{\lg11}{\lg7}$. $\log_3 14=\frac{\ln14}{\ln3}$. $\log_2 32=5$, $\log_5 25=2$, поэтому сумма равна $7$. $\frac{\ln x}{\ln a}=\log_a x$ при $a>0$, $a\ne1$, $x>0$. Запись $\frac{\lg b}{\lg1}$ недопустима, поскольку $\lg1=0$, а деление на ноль невозможно; кроме того, основание 1 не является допустимым основанием логарифма.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что формула уже используется как инструмент, но точность зависит от проверки условий. Осталось связать новое правило с общей системой логарифмических свойств и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ перехода к новому основанию, зафиксировать личные достижения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "За одну минуту завершите три фразы: «Формула перехода нужна, когда…»; «В первую очередь я проверяю…»; «Для выражения $\log_a b$ через натуральный логарифм получаю…»." | Письменно завершают фразы: «основание неудобно для вычисления»; «условия существования и ненулевой знаменатель»; «$\frac{\ln b}{\ln a}$». |
1 мин | Учитель задаёт контрольный вопрос: "Как доказать формулу перехода, если забыли её запись? Как понять, что выгоднее использовать — $\lg$ или $\ln$?" | Отвечают: «вернуться к равенству $a^x=b$ и прологарифмировать обе части»; «выбрать основание, для которого известны значения или предусмотрена кнопка калькулятора». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Базовый уровень обязателен для всех; средний и продвинутый выбирайте по результатам самооценки. Важно не только получить ответ, но и показать основание перехода и ограничения." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели и применили формулу перехода к новому основанию, связали её с десятичным и натуральным логарифмами и увидели, что выбор основания — это осознанный математический шаг. Проверьте себя по листу самооценки и отметьте один навык, который уже стал уверенным."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и дополнительное задание, формула перехода записана без ошибок, условия применимости указаны корректно, решение содержит понятное обоснование.
- «4» — верно выполнены не менее 4 заданий, допущена одна несущественная ошибка в вычислении или оформлении, но формула и выбор основания применены правильно.
- «3» — верно выполнены не менее 3 базовых заданий, формула перехода узнаётся и применяется, однако есть ошибки в записи условий или отдельных вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи логарифмов с разными основаниями? | Выявление осознания формулы перехода и её смысла. |
Какое условие применимости формулы вы проверяете в первую очередь? | Диагностика понимания области допустимых значений и риска деления на ноль. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в алгоритме преобразования. |
В каком случае вы выберете $\lg$, а в каком $\ln$? | Проверка умения осознанно выбирать новое основание. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились переходить от неудобного основания логарифма к десятичному или натуральному. Важно помнить: нельзя механически записывать дробь из логарифмов — сначала проверяются основания, аргументы и ненулевой знаменатель. Если решение не получается, восстановите его через равенство $a^x=b$ и прологарифмируйте обе части. На следующем уроке мы применим этот инструмент к преобразованию более сложных логарифмических выражений и уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: представить два логарифма с неудобными основаниями через $\lg$ и два — через $\ln$; отдельно выписать условия применимости формулы. | Закрепляет запись формулы перехода и контроль допустимых значений; при проверке смотреть на правильность числителя, знаменателя и ограничений. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 выражений на вычисление и упрощение логарифмов, включая суммы, разности и взаимные логарифмы; в каждом случае обосновать выбор прямого вычисления или перехода к новому основанию. | Формирует выбор рационального способа решения и применение нескольких свойств логарифмов; при проверке смотреть на последовательность преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой требуется сравнить представление одного логарифма через $\lg$ и через $\ln$, а затем доказать равенство полученных выражений. | Развивает исследовательское и доказательное мышление; при проверке оценивать корректность условия, доказательства и объяснение практического выбора основания. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается формула перехода к новому основанию?», «Какие условия должны выполняться для $a$, $b$ и $c$?», «Как представить $\log_a b$ через $\lg$ и через $\ln$?», «Как восстановить формулу, если её запись забылась?»
