Наибольшее и наименьшее значение функции: исследование на отрезке и задания ЕГЭ профильного уровня
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке с помощью производной, проверять критические точки и концы отрезка и применять алгоритм к заданиям базового и повышенного уровня ЕГЭ.
- Сформировать умение различать критические точки и точки экстремума, находить область определения и корректно учитывать границы заданного промежутка.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать рациональный способ решения и объяснять каждый шаг алгоритма.
- Организовать парную и фронтальную работу с взаимопроверкой, самоконтролем и обсуждением типичных ошибок.
- Формировать ответственное отношение к подготовке к экзамену и уверенность в применении математических методов к практическим задачам.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность исследования функции для решения математических и прикладных задач.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень задания и отвечать за результат своей работы.
- Развивают устойчивость к затруднению и конструктивное отношение к ошибке как к источнику дальнейшего анализа.
- Соотносят изучаемый материал с перспективой продолжения образования и сдачи ЕГЭ.
Метапредметные
- Планируют последовательность решения задачи и контролируют соответствие полученного ответа условию.
- Извлекают математическую информацию из формулы, графика и текста задания.
- Сравнивают решения, выявляют пропущенные этапы и аргументируют выбор способа.
- Работают в паре, задают уточняющие вопросы и формулируют краткое доказательное объяснение.
Предметные
- Знать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- Уметь находить производную, критические точки и значения функции в критических точках и на концах отрезка.
- Уметь определять, какие критические точки принадлежат заданному отрезку.
- Уметь решать задачи на наибольшее и наименьшее значение функции уровня ЕГЭ профильного уровня.
- Уметь проверять решение и записывать ответ в требуемом формате.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и соотносят её с будущей экзаменационной задачей.
- Осознают необходимость аккуратной записи промежуточных вычислений.
- Проявляют самостоятельность при выборе задания базового или повышенного уровня.
- Формируют адекватную самооценку готовности применять производную.
Регулятивные УУД
- Формулируют план исследования функции на отрезке.
- Проверяют принадлежность найденных точек отрезку.
- Сопоставляют ответ с графиком, знаками производной и условием задачи.
- Находят и исправляют ошибку в неполном решении.
- Оценивают результат по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные: формулу функции и границы отрезка.
- Применяют правила дифференцирования и решают уравнение $f'(x)=0$.
- Моделируют решение в виде алгоритма и таблицы значений.
- Анализируют различие между локальным экстремумом и абсолютным максимумом или минимумом на отрезке.
- Используют графическую интерпретацию для проверки результата.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре: один выполняет вычисления, другой контролирует алгоритм.
- Объясняют партнёру, почему необходимо проверять концы отрезка.
- Задают вопросы о допустимости найденных критических точек.
- Аргументированно представляют решение фронтально.
- Корректно принимают и формулируют замечания при взаимопроверке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемной функцией $f(x)=x^3-3x^2+2$ и отрезком $[-1;3]$.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика; предусмотреть задания с линейной, рациональной и прикладной функцией.
- Подготовить отдельные карточки для парной работы с неполными решениями, содержащими типичные ошибки.
- Вывести на доску памятку: 1) найти производную; 2) решить $f'(x)=0$; 3) выбрать точки отрезка; 4) вычислить значения; 5) сравнить.
- Подготовить листы самооценки и мини-билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Разделить задания на обязательный базовый уровень и добровольный повышенный уровень, чтобы учесть различную подготовку.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для самостоятельной и парной работы.
- Проверить наличие доски или интерактивной панели, маркеров, калькуляторов только в тех случаях, когда они разрешены условиями тренировочного задания.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую работу и показать, что нахождение экстремальных значений требует полного анализа функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто находить производную, а использовать её как инструмент принятия решения. Откройте тетради, запишите дату и тему урока. В конце занятия каждый должен уметь объяснить, почему найденное число действительно является наибольшим или наименьшим значением." | Готовят тетради, записывают дату и тему, формулируют личную цель: "Научиться находить экстремальные значения на отрезке". |
2 мин | Учитель показывает на доске функцию $f(x)=x^3-3x^2+2$ на отрезке $[-1;3]$ и спрашивает: "Можно ли сразу назвать самое большое и самое маленькое значение по формуле? Где на графике их следует искать? Какие точки нельзя пропустить?" Учитель фиксирует предположения и объявляет приём "Проблемный вопрос". | Индивидуально формулируют предположение, затем отвечают фронтально: "Нужно исследовать поведение функции", "Нельзя забыть концы отрезка", "Нужно проверить точки, где производная равна нулю". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного графического впечатления недостаточно. Сейчас восстановим необходимые знания и найдём точный алгоритм исследования."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила дифференцирования, понятие критической точки и исследование знака производной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальный опрос: "Что показывает знак производной? Как связаны знак производной и промежутки возрастания и убывания? Что называют критической точкой?" Затем записывает на доске функции $f(x)=x^3-3x^2+2$ и $g(x)=x^2-4x+1$ и просит устно назвать производные. | Отвечают: "При положительной производной функция возрастает, при отрицательной — убывает"; "Критическая точка — точка, в которой производная равна нулю или не существует". Называют $f'(x)=3x^2-6x$, $g'(x)=2x-4$. |
3 мин | Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "За 30 секунд определите, какие точки нужно проверить при исследовании функции на отрезке. Обсудите ответ с соседом и назовите правило классу." | Сначала записывают ответ самостоятельно, затем обсуждают в парах и формулируют: "Проверяем критические точки, принадлежащие отрезку, и оба конца отрезка". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили производную и связь её знака с поведением функции. Теперь проверим, достаточно ли просто найти корни производной, или в алгоритме есть дополнительные условия."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить неполный способ решения и совместно сформулировать алгоритм.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает неполное решение: "Для функции $h(x)=x^2-6x+5$ на отрезке $[0;4]$ ученик нашёл $h'(x)=2x-6$, получил $x=3$ и сразу записал минимум $h(3)=-4$. Найдите слабое место этого решения. Что ещё нужно вычислить?" | Анализируют запись и отвечают: "Нужно вычислить значение на обоих концах отрезка: $h(0)=5$, $h(4)=-3$; затем сравнить все три значения". |
2 мин | Учитель формулирует задачу урока: "Сформулируйте алгоритм, по которому мы будем работать сегодня. Он должен быть коротким, но исключать пропуски." Учитель записывает предложения класса на доске и уточняет: "Какая точка берётся только при принадлежности отрезку?" | Предлагают алгоритм из пяти шагов и уточняют: "Критическая точка учитывается только тогда, когда она лежит на заданном отрезке". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема обнаружена: нельзя останавливаться на решении уравнения производной. Мы построили план, а теперь применим его к конкретной функции и проверим каждый шаг."
Этап 4. Открытие нового знания и разбор образца (8 мин)
Цель этапа: совместно применить алгоритм к функции на отрезке и обосновать выбор наибольшего и наименьшего значения.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель возвращается к функции $f(x)=x^3-3x^2+2$, $x\in[-1;3]$: "Работаем по алгоритму. Сначала найдём производную: $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. Решите уравнение $f'(x)=0$ и назовите критические точки. Теперь проверьте их принадлежность отрезку. Какие четыре значения мы должны сравнить?" Учитель направляет вычисления и фиксирует таблицу на доске. | Решают фронтально: $x=0$ и $x=2$; обе точки принадлежат отрезку. Вычисляют $f(-1)=0$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=2$. Заполняют таблицу значений в тетради. |
3 мин | Учитель спрашивает: "Какое значение является наибольшим, а какое наименьшим? Почему нельзя назвать точку $x=0$ наибольшим значением? Чем отличается аргумент от значения функции?" Учитель показывает схематичный график и подчёркивает различие обозначений. | Отвечают: "Наибольшее значение равно $2$, оно достигается при $x=0$ и $x=3$; наименьшее равно $-2$, достигается при $x=2$". Объясняют: "$x$ — аргумент, а $f(x)$ — значение функции". |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) найти область определения и производную; 2) решить уравнение $f'(x)=0$ и найти точки, где производная не существует; 3) выбрать критические точки, принадлежащие отрезку; 4) вычислить значения функции в выбранных точках и на концах отрезка; 5) сравнить полученные числа и записать ответ.
Эталон решения
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. Критические точки: $x=0$, $x=2$; обе принадлежат $[-1;3]$. Значения: $f(-1)=0$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=2$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно $2$, наименьшее — $-2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не только нашли корни производной, но и проверили границы отрезка. Теперь вы примените тот же алгоритм в парах, а задача учителя на этом этапе — увидеть, какой шаг вызывает затруднение."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях разной сложности и организовать взаимное объяснение решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт парные карточки двух уровней: базовая задача — найти наибольшее и наименьшее значение $p(x)=x^2-8x+3$ на $[1;6]$; повышенная задача — найти экстремальные значения $q(x)=x+\frac{4}{x}$ на $[1;4]$. Инструкция: "В каждой паре один ученик выполняет вычисления, второй проверяет все пять шагов алгоритма. Через 3 минуты поменяйтесь ролями." | Получают карточку, распределяют роли, читают условие и отмечают выбранный уровень. |
4 мин | Учитель перемещается между парами, задаёт вопросы: "Почему вы включили эту точку? Проверили ли оба конца? Что произойдёт, если критическая точка не входит в отрезок?" При необходимости предлагает базовую подсказку с формулой производной. | Решают задачу в парах, проговаривают шаги, проверяют принадлежность критических точек отрезку. Для базовой задачи получают $p'(x)=2x-8$, критическую точку $x=4$, сравнивают $p(1)=-4$, $p(4)=-13$, $p(6)=-9$. Для повышенной задачи учитывают $x=2$ и сравнивают значения на концах. |
2 мин | Учитель организует фронтальную проверку: "Назовите не только ответ, но и набор точек, в которых вы считали функцию. Какая ошибка здесь наиболее вероятна?" Кратко фиксирует корректные ответы на доске. | Представляют решения: для базовой задачи минимум $-13$, максимум $-4$; объясняют, что проверены $x=1,4,6$. Сверяют записи, отмечают ошибку или ставят знак согласия. |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает задания повышенной сложности для парной работы: 1) найти наибольшее и наименьшее значение функции $u(x)=x^3-6x^2+9x+4$ на отрезке $[0;4]$; 2) исследовать функцию $v(x)=x+\frac{9}{x}$ на отрезке $[1;6]$; 3) решить задачу: прямоугольник имеет периметр $20$ см. Выразить площадь через одну сторону и определить её наибольшее значение. Требование: записать производную, критические точки, допустимый промежуток и все сравниваемые значения. | В парах распределяют роли, решают одно из заданий, затем обмениваются решениями и проверяют полноту алгоритма. Для первого задания находят $u'(x)=3(x-1)(x-3)$ и проверяют точки $x=1$ и $x=3$ вместе с концами отрезка. Для второго находят $v'(x)=1-\frac{9}{x^2}$ и критическую точку $x=3$. В третьем задании получают $S(x)=x(10-x)$ на $0<x<10$ и находят максимум в точке $x=5$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: учтены ли концы отрезка, принадлежность критических точек, область допустимых значений и смысл ответа. Просит назвать типичную ошибку в каждом решении. | Сверяют решения и формулируют ошибки: пропуск границ, включение недопустимой точки, сравнение аргументов вместо значений функции или отсутствие ответа с единицами измерения. |
Задания повышенной сложности для парной работы
Эталон решения
Для $p(x)=x^2-8x+3$: $p'(x)=2x-8$, $x=4$. Значения: $p(1)=-4$, $p(4)=-13$, $p(6)=-9$. Поэтому максимум равен $-4$, минимум равен $-13$. Для $q(x)=x+\frac{4}{x}$: $q'(x)=1-\frac{4}{x^2}$, критическая точка на отрезке $x=2$; $q(1)=5$, $q(2)=4$, $q(4)=5$, поэтому минимум равен $4$, максимум равен $5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает и для многочлена, и для рациональной функции. Сейчас каждый самостоятельно решит задачу и выберет уровень, который позволит проверить именно вашу готовность, а не повторить решение соседа."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и дать возможность каждому работать на доступном уровне сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки: базовый уровень — найти наибольшее и наименьшее значение $r(x)=x^3-12x+1$ на $[-3;2]$; повышенный уровень — найти наибольшее и наименьшее значение $s(x)=x^2+\frac{9}{x}$ на $[1;5]$. "Выберите базовую карточку, если хотите надёжно закрепить алгоритм, или повышенную, если готовы анализировать рациональную функцию. Выбор уровня не влияет на вашу ценность и должен быть осознанным." | Выбирают карточку, записывают производную, критические точки и границы отрезка. |
5 мин | Учитель напоминает критерии: "Не записывайте только ответ. Должны быть видны производная, решение уравнения, проверка принадлежности отрезку и сравнение значений. Если встретилась ошибка, поставьте рядом знак вопроса и продолжайте исследование." | Индивидуально решают задачу. Для базового задания находят $r'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, точки $-2$ и $2$, вычисляют значения в $-3,-2,2$. Для повышенного задания находят $s'(x)=2x-\frac{9}{x^2}$ и решают $2x^3=9$. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: для базового задания — $r(-3)=16$, $r(-2)=17$, $r(2)=-15$; для повышенного — указать критическую точку $x=\sqrt[3]{\frac{9}{2}}$ и сравнить её с концами отрезка. Учитель проводит самопроверку по шагам, не требуя переписывать решение. | Проверяют работу по эталону, исправляют вычислительные ошибки другим цветом, отмечают в листе самооценки: "выполнил самостоятельно", "нужна помощь с производной" или "нужно повторить сравнение значений". |
Эталон решения
Для базовой задачи $r'(x)=3x^2-12$. Уравнение $r'(x)=0$ даёт $x=-2$ и $x=2$; обе точки принадлежат отрезку $[-3;2]$. $r(-3)=16$, $r(-2)=17$, $r(2)=-15$. Наибольшее значение — $17$, наименьшее — $-15$. В повышенной задаче $s'(x)=2x-\frac{9}{x^2}$, откуда $2x^3=9$ и $x=\sqrt[3]{\frac{9}{2}}$, эта точка принадлежит $[1;5]$; далее сравниваются значения в этой точке и на концах отрезка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность обычно не в нахождении производной, а в полном прохождении алгоритма. Перед завершением проверим, умеете ли вы распознавать ошибки и объяснять решение коротко и убедительно."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить индивидуальные затруднения и определить дальнейшую траекторию закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно найти все точки сравнения; жёлтую — если иногда забываете концы отрезка; красную — если пока нужна пошаговая помощь. Затем назовите один шаг, который вы будете контролировать в следующей задаче." | Показывают карточки, формулируют: "Буду проверять принадлежность критической точки", "Не забуду вычислить значения на концах", "Проверю, что записываю именно значение функции". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "За одну минуту ответьте письменно: почему для нахождения наибольшего значения функции на отрезке недостаточно решить уравнение $f'(x)=0$? Запишите также пять шагов алгоритма кратко." | Пишут объяснение: "Корни производной могут не дать абсолютный максимум, а концы отрезка могут содержать искомое значение"; перечисляют шаги алгоритма. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите уровень по результату сегодняшней самооценки. Обязательная часть нужна всем; повышенная и дополнительная части помогают проверить готовность к более сложным заданиям ЕГЭ." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы построили универсальный алгоритм и проверили его на многочленах и рациональных функциях. Ваша следующая задача — довести последовательность действий до автоматизма, сохраняя полное математическое обоснование."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — корректно найдена производная, решено уравнение $f'(x)=0$, отобраны точки отрезка, вычислены все необходимые значения, верно указаны наибольшее и наименьшее значения; решение содержит обоснование.
- "4" — алгоритм применён полностью, но допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи ответа, не повлиявшая на ход рассуждения.
- "3" — найдена производная и указаны некоторые критические точки, но пропущен конец отрезка, допущены две ошибки в вычислениях или ответ записан без достаточного обоснования.
- Ниже отметки "3" — решение не содержит полного алгоритма либо неверно определены критические точки; ученик получает адресную консультацию по конкретному шагу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Почему при исследовании функции на отрезке нужно проверять концы отрезка? | Выявление понимания различия между локальным экстремумом и абсолютным значением на отрезке. |
Какой шаг алгоритма сегодня оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Можешь ли ты объяснить партнёру, почему критическая точка не учитывается вне отрезка? | Проверка осознанности и коммуникативного умения аргументировать решение. |
Какой уровень задания ты выбрал бы на следующем уроке и почему? | Формирование адекватной самооценки и индивидуализация дальнейшей практики. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить наибольшее и наименьшее значение функции не по догадке, а по строгому алгоритму. Самая частая ошибка — найти корни производной и забыть проверить концы отрезка. Если вы будете каждый раз фиксировать все точки сравнения, количество случайных ошибок заметно уменьшится. На следующем уроке мы продолжим решать задачи профильного уровня и рассмотрим более сложные функции и прикладные сюжеты."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения многочлена на заданном отрезке; в каждой записать производную, критические точки, значения на концах и итоговое сравнение. | Закрепляет полный алгоритм; при проверке обратить внимание на наличие всех точек и корректность вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на рациональные или показательные функции на отрезке, включая случай, когда часть корней производной не принадлежит отрезку. | Развивает анализ области определения и выбор допустимых критических точек; проверять обоснование отбора точек. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну прикладную задачу на оптимизацию: площадь, объём, стоимость или расход материала; сформулировать функцию, указать область допустимых значений и найти оптимальный результат. | Формирует умение моделировать ситуацию и переносить алгоритм на новый контекст; проверять смысл полученного ответа и единицы измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Какие точки сравнивают при поиске наибольшего и наименьшего значения на отрезке? Почему критическая точка может быть отброшена? Чем отличается аргумент, в котором достигается максимум, от самого максимального значения?"
