Логарифмические уравнения и неравенства: преобразование выражений
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать ОДЗ, выбирать способ преобразования логарифмических выражений и решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства с проверкой полученного ответа.
- Закрепить свойства логарифмов: логарифм произведения, частного и степени, а также переход к новому основанию.
- Научиться применять равносильные преобразования и учитывать ограничения на основание и аргумент логарифма.
- Развивать умение анализировать условие, сравнивать способы решения и аргументировать выбор метода.
- Формировать ответственное отношение к проверке решений и готовность к самостоятельной работе с заданиями повышенного уровня.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной записи ОДЗ и проверки результата для математической грамотности.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа преобразования выражения.
- Связывают владение логарифмами с дальнейшим изучением математики, информатики и естественно-научных дисциплин.
- Принимают необходимость корректно объяснять решение и уважительно обсуждать разные стратегии.
- Оценивают собственные затруднения без ориентации только на внешний результат.
Метапредметные
- Выделяют существенные условия задачи и представляют их в виде ОДЗ.
- Сравнивают преобразования по равносильности и выявляют возможные посторонние корни.
- Используют математическую запись, таблицу свойств и устное объяснение как разные формы представления информации.
- Планируют последовательность решения и осуществляют самопроверку по эталону.
- Сотрудничают в паре, формулируют вопросы и аргументируют выбранный способ.
Предметные
- Знать условия существования логарифма и ограничения на основание.
- Уметь преобразовывать выражения с помощью свойств логарифмов и формулы перехода к новому основанию.
- Уметь решать уравнения вида $\log_a f(x)=b$ и простейшие логарифмические неравенства с учётом монотонности функции.
- Уметь составлять ОДЗ, проверять корни и записывать ответ в требуемой форме.
- Владеть приёмами рационального выбора метода решения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться видеть ограничения до выполнения преобразований.
- Осмысливают ценность аккуратной математической аргументации.
- Проявляют готовность исправлять ошибку после анализа её причины.
- Выбирают уровень задания с учётом собственных возможностей.
- Формируют устойчивую мотивацию к решению нестандартных задач.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы по проблемному примеру.
- Планируют алгоритм: ОДЗ, преобразование, решение, проверка.
- Контролируют соблюдение условий существования логарифмов.
- Сверяют решение с эталоном и корректируют запись.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
Познавательные УУД
- Извлекают нужное свойство логарифма из таблицы и применяют его к выражению.
- Преобразуют символическую информацию и устанавливают связи между формами записи.
- Анализируют зависимость решения неравенства от основания логарифма.
- Моделируют ОДЗ в виде системы условий.
- Выявляют ошибочный переход и объясняют, почему он нарушает равносильность.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия при парной проверке решения.
- Задают уточняющие вопросы о выборе свойства и способа решения.
- Аргументируют, почему основание больше единицы или принадлежит интервалу от нуля до единицы.
- Сопоставляют решения партнёров без подмены доказательства готовым ответом.
- Формулируют краткий математический вывод для класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с условиями существования логарифма, свойствами логарифмов и алгоритмом решения.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней: по одной карточке на пару, всего по числу пар класса.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика.
- Подготовить лист самопроверки с эталонами и чек-листом «ОДЗ — преобразование — решение — проверка».
- Вывести на экран проблемное задание: $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$.
- Подготовить цветные маркеры или стикеры для приёма «Светофор».
- Освободить небольшой проход между рядами для короткой физкультминутки без оборудования.
- Подготовить таймер на 3, 5 и 7 минут для практических заданий.
- На доске оставить место для записи двух алгоритмов: уравнение и неравенство.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую ценность точного выбора преобразований.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы будем не просто применять формулы, а исследовать, какие преобразования сохраняют решение. Подготовьте тетради, ручки и листы для работы в паре. На доске записано выражение, которое выглядит знакомо, но требует осторожности." | Открывают тетради, записывают дату, проверяют готовность к работе. |
2 мин | Учитель показывает выражение $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$ и спрашивает: "Какое свойство хочется применить сразу? Что необходимо проверить до объединения логарифмов? Почему одна пропущенная строка может изменить множество решений?" | Предполагают: "Можно объединить логарифмы в логарифм произведения"; называют необходимость проверить $x-1>0$ и $x+1>0$; формулируют: "Сначала нужно найти ОДЗ". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что знакомое свойство работает только при выполнении условий существования логарифмов. Теперь восстановим необходимые свойства и построим надёжный алгоритм решения."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства логарифмов и обнаружить типичные ошибки в их применении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно восстановите три свойства: произведение, частное, степень. Затем за минуту сравните записи с соседом. Объясните не только формулу, но и ограничения, при которых она верна." | Записывают и обсуждают формулы: $\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v$, $\log_a\frac{u}{v}=\log_a u-\log_a v$, $\log_a u^k=k\log_a u$; называют условия $a>0$, $a\ne1$, $u>0$, $v>0$. |
3 мин | Учитель записывает две цепочки: $\log_3 9+\log_3 2=\log_3 18$ и $\log_2(x^2)=2\log_2x$, затем спрашивает: "Какая запись требует уточнения? Найдите ошибку и объясните её причину." | В парах анализируют записи и отвечают: первая корректна при положительных аргументах; во второй необходимо учитывать $x>0$, поскольку исходный логарифм существует также при $x<0$, но преобразование через $\log_2x$ тогда невозможно. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Перед преобразованием логарифмического выражения проверяю условия существования каждого логарифма и не заменяю выражение неравносильной формой без фиксации ограничений».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили свойства и обнаружили, что одинаковая внешне формула может требовать разных ограничений. Сформулируем общий план, который защитит нас от потери решений."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: совместно вывести алгоритм работы с логарифмическими уравнениями и неравенствами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемный вопрос: "Рассмотрите уравнение $\log_3(2x-1)=2$. Какие шаги необходимы, чтобы решение было доказанным? Теперь сравните с неравенством $\log_{1/3}(x+2)>-1$. Что изменится?" Фиксирует ответы в виде схемы на доске. | Называют шаги: ОДЗ, переход к показательной форме, решение, проверка. Для неравенства предполагают изменение знака при основании от нуля до единицы. |
2 мин | Учитель формулирует цель: "К концу урока вы должны уметь выбрать преобразование, решить уравнение или неравенство и объяснить роль ОДЗ. Запишите цель кратко и выберите личный показатель успеха: правильная схема, отсутствие лишних корней или аргументированная проверка." | Записывают цель и индивидуальный критерий успеха, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План работы определён: сначала условия, затем преобразование и решение, после этого проверка. Переходим к открытию и проверке алгоритма на конкретных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритмы решения уравнения и неравенства в парной исследовательской работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки с уравнением: $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$. Говорит: "Работайте в парах. Запишите ОДЗ, объедините логарифмы, решите полученное уравнение и выполните проверку. На карточке отметьте, на каком шаге используется каждое свойство." | В парах записывают ОДЗ $x>1$, получают $\log_2(x^2-1)=3$, затем $x^2-1=8$, $x=3$ или $x=-3$; по ОДЗ оставляют $x=3$, проверяют подстановкой. |
5 мин | Учитель предлагает вторую задачу: $\log_{1/3}(x+2)>-1$. Направляет вопросами: "Каково ОДЗ? Как меняется функция при основании меньше единицы? Как записать ответ промежутком? Сравните свои решения с решением соседней пары." | Решают: $x+2>0$, так как функция убывает, $x+2<(1/3)^{-1}=3$, поэтому $-2<x<1$. Сверяют решение, объясняют смену направления неравенства и исправляют неточности. |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритмы: 1) найти ОДЗ; 2) преобразовать выражение или перейти к показательной форме; 3) решить полученное уравнение или неравенство; 4) пересечь результат с ОДЗ и проверить. Для неравенства отдельно фиксируют: при $a>1$ знак сохраняется, при $0<a<1$ знак меняется.
Эталон решения
$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$. ОДЗ: $x-1>0$, $x+1>0$, значит $x>1$. Объединяем логарифмы: $\log_2((x-1)(x+1))=3$. Переходим к степенной форме: $x^2-1=8$. Получаем $x^2=9$, $x=3$ или $x=-3$. С учётом ОДЗ остаётся $x=3$. Ответ: $x=3$. Для $\log_{1/3}(x+2)>-1$: ОДЗ $x>-2$; поскольку $0<1/3<1$, имеем $x+2<(1/3)^{-1}=3$, откуда $-2<x<1$. Ответ: $(-2;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм подтвердился на двух разных типах заданий. Особенно важны две проверки: существование выражения и влияние основания на направление неравенства. Закрепим это короткой физкультминуткой и сразу перенесём правило в новые примеры."
Этап 5. Физкультминутка и переключение внимания (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить ключевое различие между основаниями больше единицы и меньше единицы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Если я называю основание больше единицы, поднимите руки вверх и сделайте шаг вправо; если основание от нуля до единицы — опустите руки и сделайте шаг влево. После каждого движения назовите, сохраняется знак неравенства или меняется." Называет $2$, $1/2$, $5$, $1/3$. | Выполняют движения, отвечают: для $2$ и $5$ знак сохраняется; для $1/2$ и $1/3$ меняется. Возвращаются к рабочим местам и открывают лист самостоятельной работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрепили правило не только в записи, но и в действии. Теперь каждый проверит, насколько уверенно применяет алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (13 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение преобразованиями и алгоритмами решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздаёт лист с заданиями трёх уровней и говорит: "Обязательное задание выполняют все. Затем выберите одно из двух повышающих заданий. Записывайте ОДЗ полностью, даже если кажется, что ограничение очевидно. На работу семь минут; таймер виден на экране." | Решают обязательное уравнение $\log_5(x-4)=2$ и неравенство $\log_2(3-x)\ge1$; затем выбирают задание: преобразовать $\log_3 27+\log_3 x$ или решить $\log_{1/2}(x-1)<2$. |
3 мин | Учитель выдаёт эталон: "Проверьте не только ответ, но и каждую строку. Отметьте галочкой ОДЗ, равносильное преобразование и проверку. Если нашли ошибку, рядом кратко запишите её причину." | Сверяют решения с эталоном, выделяют место ошибки и исправляют его другим цветом. |
3 мин | Учитель проводит взаимопроверку в парах: "Обменяйтесь листами. По чек-листу поставьте две отметки: за корректность решения и за объяснение. Если не согласны, задайте вопрос, а не исправляйте молча." | Проверяют работу партнёра, формулируют замечание: "В ОДЗ не учтено условие аргумента" или "При основании меньше единицы знак должен измениться"; возвращают лист владельцу. |
Эталон решения
$\log_5(x-4)=2$: ОДЗ $x>4$; $x-4=25$; $x=29$, ответ $29$. $\log_2(3-x)\ge1$: ОДЗ $x<3$; так как основание больше единицы, $3-x\ge2$, откуда $x\le1$; с учётом ОДЗ ответ $(-\infty;1]$. $\log_{1/2}(x-1)<2$: ОДЗ $x>1$; функция убывает, поэтому $x-1>(1/2)^2=1/4$; $x>5/4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная трудность возникает не в вычислении, а в последовательности рассуждений. Перед рефлексией обобщим, какие преобразования помогают сделать выражение компактнее и прозрачнее."
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: систематизировать способы преобразования и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно составляете ОДЗ; жёлтую — если иногда путаетесь в преобразованиях; красную — если нужна помощь с неравенствами. Затем назовите один шаг алгоритма, который вы готовы объяснить однокласснику." | Показывают карточку, формулируют: "Сначала ОДЗ", "При основании меньше единицы знак меняется", "После решения нужно пересечь ответ с ОДЗ". |
2 мин | Учитель просит заполнить билет на выход: "Запишите ответ на вопрос: почему нельзя сразу сокращать или объединять логарифмы без ОДЗ? Приведите один пример типичной ошибки." | Пишут: "Без ОДЗ можно получить посторонний корень или потерять часть области определения"; приводят собственный пример. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, один повышающий или дополнительный. В каждом решении сохраняйте четыре шага алгоритма. На следующем уроке начнём с разбора двух наиболее частых ошибок." | Записывают домашнее задание, задают вопросы о формате ответа и отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились рассматривать логарифмическую задачу как последовательность обоснованных шагов. Главное — не механически применять свойства, а проверять область допустимых значений и поведение функции. Сохраните алгоритм: он станет опорой для более сложных смешанных задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательные задания и выбранное повышающее задание; ОДЗ записана полностью, преобразования равносильны, ответы проверены и оформлены корректно.
- «4» — выполнены все обязательные задания, допущена одна неточность в преобразовании или оформлении, не повлиявшая на основную стратегию решения.
- «3» — правильно решено не менее двух обязательных заданий, но есть ошибки в ОДЗ, направлении неравенства или проверке ответа.
- Ниже базового уровня — решение требует доработки по чек-листу: ОДЗ, преобразование, решение, пересечение с ОДЗ, проверка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о порядке решения логарифмических задач? | Проверка осознания алгоритма и роли ОДЗ. |
На каком шаге вы допустили или могли допустить ошибку? | Выявление точек затруднения в преобразовании и проверке. |
Как вы определяете, изменится ли знак в логарифмическом неравенстве? | Проверка понимания монотонности логарифмической функции. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно после урока? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы заложили основу для решения логарифмических уравнений и неравенств: сначала определяем ОДЗ, затем преобразуем, решаем и проверяем результат. Типичная ошибка — забыть, что при основании от нуля до единицы логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется. Не менее важно отличать равносильное преобразование от действия, которое может изменить область допустимых значений. На следующем уроке мы разберём более сложные уравнения, в которых потребуется замена переменной и сравнение нескольких способов решения.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 логарифмических уравнения и 2 неравенства: с переходом к показательной форме, объединением логарифмов и основаниями больше единицы и меньше единицы. Для каждого задания записать ОДЗ и проверку. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на полноту ОДЗ и направление знака неравенства. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на преобразование выражений, содержащих сумму, разность и степень логарифмов, затем решить 2 уравнения, где преобразование упрощает левую часть. | Развивает выбор свойства и переход между равносильными формами; проверить обоснование каждого преобразования. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 параметрических или комбинированных задания на логарифмические неравенства, описав зависимость ответа от основания и выполнив графическую или логическую проверку. | Формирует исследовательское мышление и умение аргументировать влияние параметров; проверить корректность разбора случаев. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие записывается первым в любой логарифмической задаче? Когда знак логарифмического неравенства меняется? Почему найденный корень необходимо пересекать с ОДЗ? Какое свойство логарифмов вы сегодня применяли чаще всего?»
