Первообразные элементарных функций. Правила нахождения первообразных
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся систематизируют правила нахождения первообразных элементарных функций и применят их при решении не менее четырёх заданий, включая задание с параметром и проверку результата дифференцированием.
- Закрепить понятия первообразной и неопределённого интеграла, различать множество первообразных одной функции и одну конкретную первообразную.
- Отработать применение таблицы первообразных и правил суммы, вынесения постоянного множителя и разности функций.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, аргументировать преобразования и обнаруживать ошибки при дифференцировании.
- Формировать ответственное отношение к математической записи, самоконтролю и подготовке к дальнейшему изучению интеграла в высшей математике.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение первообразной как инструмента описания изменения величин в математике, физике и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору способа решения и ответственному отношению к проверке результата.
- Понимают ценность точной математической записи и последовательного рассуждения.
- Снижают тревожность перед заданиями повышенной сложности через использование понятного алгоритма самопроверки.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные, преобразуют выражение к виду, удобному для применения таблицы первообразных.
- Планируют решение, сопоставляют полученный результат с условием и корректируют допущенные ошибки.
- Аргументируют выбор правила, участвуют в математическом диалоге и оценивают решения одноклассников.
- Используют дифференцирование как средство проверки найденной первообразной.
Предметные
- Знать определение первообразной и понимать, что все первообразные функции отличаются постоянным слагаемым.
- Уметь находить первообразные функций $x^n$, $ rac{1}{x}$, $e^x$, $ rac{1}{\cos^2 x}$, $ rac{1}{\sin^2 x}$, $\cos x$ и $\sin x$.
- Уметь применять правила $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$ и $\int (a f(x)+b g(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$.
- Уметь записывать общий вид первообразной с постоянной $C$ и проверять ответ дифференцированием.
- Владеть алгоритмом нахождения первообразной сложной суммы элементарных функций.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за результат самостоятельной работы и качество математической аргументации.
- Связывают освоение интегрального исчисления с дальнейшим обучением в вузе и решением прикладных задач.
- Проявляют устойчивую учебную мотивацию при работе с заданиями разного уровня сложности.
- Оценивают собственную готовность переходить от применения правила к самостоятельному выбору способа решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель закрепления и составляют краткий план решения задания.
- Контролируют наличие постоянной $C$, знаков, коэффициентов и области допустимых значений.
- Сверяют результат с эталоном через дифференцирование и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и рефлексии.
Познавательные УУД
- Классифицируют функции по виду и соотносят их с таблицей первообразных.
- Преобразуют выражения, выделяя постоянный множитель и сумму элементарных функций.
- Устанавливают обратную связь между операциями дифференцирования и нахождения первообразной.
- Анализируют ошибочное решение, находят место нарушения правила и предлагают исправление.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру ход решения с использованием математических терминов.
- Задают уточняющие вопросы о выборе правила и корректно возражают при обнаружении ошибки.
- Распределяют роли при парной проверке: решающий, проверяющий, докладчик.
- Формулируют краткий аргументированный ответ у доски и принимают обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определением первообразной, таблицей базовых первообразных и тремя правилами интегрирования.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные карточки с ошибочными решениями для парного приёма «Найди ошибку» — по одной на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами: «узнаю вид функции», «выбираю правило», «нахожу первообразную», «проверяю ответ».
- Вывести на экран или записать критерии проверки: правильность преобразований, наличие $C$, проверка производной, аккуратность записи.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и таймер на 2–4 минуты.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску; при отсутствии оборудования использовать заранее подготовленную запись на доске.
- Разделить класс на пары так, чтобы в каждой паре ученики могли взаимно объяснить ход решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практический смысл проверки первообразной.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и обращается: "Здравствуйте. Сегодня мы не вводим новое правило, а проверяем, насколько уверенно умеем пользоваться уже изученными правилами. На доске записаны две функции: $F(x)=x^3+2x+C$ и $G(x)=x^3+2x$. Какая из них может быть первообразной одной и той же функции? Обоснуйте ответ не по внешнему виду, а через производную." | Записывают тему урока, рассматривают две функции и формулируют: "Обе функции имеют производную $3x^2+2$, поэтому обе являются первообразными одной функции; постоянное слагаемое не влияет на производную". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно назовите одну типичную ошибку при нахождении первообразной, затем обсудите её с соседом. Через минуту мы соберём несколько вариантов." | Индивидуально записывают возможные ошибки, обсуждают их в парах и называют варианты: забыли $C$, неверно изменили показатель степени, потеряли знак перед косинусом, не вынесли коэффициент. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы будем не просто получать ответ, а каждый раз проверять его производной. Сначала восстановим опорные правила, затем применим их к заданиям и разберём типичные ошибки."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить определение первообразной и базовую таблицу первообразных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске таблицу с пропусками и говорит: "Заполните пропуски без подробного решения: какая функция является производной от $x^{n+1}/(n+1)$, $\ln|x|$, $\sin x$, $-\cos x$? Затем объясните, как из таблицы перейти к первообразной." | Заполняют таблицу и отвечают: "$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n$, $(\ln|x|)'=\frac1x$, $(\sin x)'=\cos x$, $(-\cos x)'=\sin x$". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что называют первообразной функции $f$ на промежутке? Почему в общем ответе появляется $C$? Как проверить результат?" | Формулируют определение: "Функция $F$ является первообразной $f$, если $F'=f$"; объясняют, что все постоянные имеют нулевую производную; называют проверку дифференцированием. |
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Назовите первообразные для $5x^4$, $\frac{3}{x}$, $7\cos x$, $-2\sin x$. Не забывайте проговаривать правило, которое применяете." | Отвечают: "$x^5+C$, $3\ln|x|+C$, $7\sin x+C$, $2\cos x+C$", проговаривают вынесение постоянного множителя. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: $\int f(x)dx=F(x)+C$, если $F'(x)=f(x)$; $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$; $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорная идея восстановлена: первообразную можно находить по таблице и правилам линейности, а правильность — проверять производной. Теперь выясним, какие преобразования выражения помогают применять эти правила быстрее."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка учебной задачи (4 мин)
Цель этапа: определить алгоритм работы с суммой и разностью элементарных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражение $f(x)=6x^5-\frac4x+3\cos x-2\sin x$ и говорит: "Перед вами функция, которую нельзя заменить одной строкой таблицы. Как превратить её в набор знакомых частей? Подумайте, какие действия нужно выполнить в правильном порядке." | Предлагают алгоритм: "Разложить сумму на слагаемые, вынести постоянные множители, для каждого слагаемого выбрать формулу таблицы, объединить результат и добавить $C$". |
2 мин | Учитель уточняет: "Какая ошибка возникнет, если для $\sin x$ записать $\cos x$, а для $\cos x$ — $\sin x$? Почему проверка производной обязательна даже при использовании таблицы?" | Объясняют, что производные синуса и косинуса связаны знаком: $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$; делают вывод о необходимости проверки знака и коэффициента. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш план состоит из четырёх шагов: распознать вид, преобразовать выражение, применить таблицу и проверить производной. Переходим к совместному решению, чтобы увидеть работу алгоритма полностью."
Этап 4. Совместное закрепление алгоритма (9 мин)
Цель этапа: закрепить последовательное применение правил на разборе типового задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель записывает задание: "Найдите общую первообразную функции $f(x)=4x^3-\frac5x+2\cos x-3\sin x$. Сначала назовите план, затем будем фиксировать каждый шаг." Учитель поэтапно задаёт вопросы: "Какую первообразную имеет $4x^3$? Что получаем для $-5/x$? Какой знак нужен перед $\sin x$?" | Записывают решение по шагам и отвечают: "$x^4$, $-5\ln|x|$, $2\sin x$, $3\cos x$". Получают $F(x)=x^4-5\ln|x|+2\sin x+3\cos x+C$. |
2 мин | Учитель предлагает проверить решение: "Не переписывайте всё молча. По очереди продифференцируйте каждое слагаемое и сравните с исходной функцией. Если знак или коэффициент не совпал, поставьте рядом вопросительный знак и исправьте запись." | Дифференцируют найденную функцию: $F'(x)=4x^3-5/x+2\cos x-3\sin x$, сравнивают с условием и подтверждают правильность. |
2 мин | Учитель вводит приём «Найди ошибку» и показывает решение: $\int(2x^2-4\sin x)dx=\frac23x^3+4\cos x+C$. Вопрос: "На каком шаге допущена ошибка? Запишите исправленный ответ." | Находят ошибку в интегрировании $-4\sin x$, объясняют, что первообразная равна $4\cos x$, и исправляют запись: $\frac23x^3+4\cos x+C$. |
Эталон решения
$\int(2x^2-4\sin x)dx=2\int x^2dx-4\int\sin xdx=2\cdot\frac{x^3}{3}+4\cos x+C=\frac23x^3+4\cos x+C$. Проверка: $\left(\frac23x^3+4\cos x\right)'=2x^2-4\sin x$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что самая частая причина ошибки — не само правило, а невнимательное преобразование знака или коэффициента. Сейчас каждый применит алгоритм самостоятельно, а затем проверит себя по производной."
Этап 5. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение правилами и предоставить возможность выбрать уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень, который соответствует вашей готовности. Базовый уровень обязателен для всех; средний и продвинутый требуют большего числа преобразований. В каждом решении обязательно оставьте $C$ и выполните хотя бы краткую проверку производной." | Выбирают карточку, записывают уровень и критерии самопроверки в начале работы. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: найти первообразную $3x^2-\frac2x+5\cos x$. Средний: найти первообразную $\frac6{x^2}+4\sin x-7$. Продвинутый: найти первообразную $f(x)=2x\sqrt{x}-\frac3x+5\cos x$, предварительно представив $x\sqrt{x}$ как степень. | Индивидуально решают выбранное задание, преобразуют выражения, применяют таблицу и записывают общий вид первообразной. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только конечную строку, но и каждый коэффициент. Используйте приём «Светофор»: зелёная отметка — решение совпало, жёлтая — есть исправимая неточность, красная — нужна консультация. После проверки подчеркните место ошибки." | Сверяют решение с эталоном, выполняют дифференцирование, отмечают цветом степень уверенности и исправляют ошибки. При необходимости формулируют конкретный вопрос учителю. |
Эталон решения
Базовый ответ: $F(x)=x^3-2\ln|x|+5\sin x+C$. Средний ответ: $F(x)=-\frac6x-4\cos x-7x+C$. Продвинутый ответ: $2x\sqrt{x}=2x^{3/2}$, поэтому $F(x)=\frac45x^{5/2}-3\ln|x|+5\sin x+C$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что общий алгоритм работает для разных представлений функции. Осталось проверить, умеем ли мы объяснять выбор правила и видеть связь первообразной с прикладной задачей."
Этап 6. Включение знаний в систему и взаимопроверка (8 мин)
Цель этапа: применить правила в новом контексте и развить умение аргументированно проверять решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Скорость движения точки задана формулой $v(t)=6t^2-4t+1$. Найдите закон движения $s(t)$, если в момент $t=0$ точка находилась в положении $s(0)=3$. Сначала найдите общую первообразную, затем используйте начальное условие." | Находят $s(t)=2t^3-2t^2+t+C$, подставляют $t=0$: $C=3$, получают $s(t)=2t^3-2t^2+t+3$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверяющий должен поставить отметки по трём критериям: первообразная найдена верно, начальное условие использовано, ответ проверен производной. Запишите одну сильную сторону и один совет." | Проверяют решение партнёра по трём критериям, пишут «две звезды и пожелание», возвращают тетрадь и задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Почему в задаче после начального условия постоянная $C$ уже не остаётся произвольной? Как изменился бы ответ, если бы было задано $s(1)=3$?" | Объясняют, что начальное условие выбирает единственную первообразную; предлагают подставить $t=1$ и найти соответствующее значение $C$. |
Эталон решения
$s(t)=\int(6t^2-4t+1)dt=2t^3-2t^2+t+C$. Из условия $s(0)=3$: $C=3$. Следовательно, $s(t)=2t^3-2t^2+t+3$. Проверка: $s'(t)=6t^2-4t+1$, $s(0)=3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Первообразная описывает не только формальное выражение, но и закон движения, если известна скорость. Начальное условие убирает неопределённость постоянной. Завершим урок рефлексией и зафиксируем, что уже получается уверенно, а что требует тренировки."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить затруднения и определить дальнейшую самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Отметьте один из вариантов: «могу объяснить», «могу выполнить с опорой», «нужна дополнительная тренировка». Оцените отдельно распознавание вида функции, применение правила, запись $C$ и проверку производной." | Заполняют лист самооценки, отмечают конкретные затруднения, формулируют личную цель на домашнюю работу. |
2 мин | Учитель проводит устный «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какое правило сегодня оказалось главным и как проверить найденную первообразную? Дополнительно приведите один пример типичной ошибки." | Пишут ответы: «используем линейность первообразной и таблицу», «дифференцируем результат и сравниваем с исходной функцией»; приводят пример ошибки со знаком или отсутствующей постоянной. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и завершает: "Выберите обязательный уровень; средний и продвинутый уровни предназначены для тех, кто хочет проверить себя на более сложных преобразованиях." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения по формату проверки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы систематизировали таблицу первообразных, применили правила линейности, научились проверять ответ производной и использовали начальное условие. Ваша следующая задача — сделать этот алгоритм устойчивым и быстрым, не теряя точности записи."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнено выбранное задание, корректно применены правила суммы и вынесения множителя, записана постоянная $C$, выполнена проверка производной; в прикладной задаче правильно использовано начальное условие.
- «4» — решение в целом верное, но допущена одна неточность в записи или проверке, не повлиявшая на основной способ решения; ошибка самостоятельно исправлена.
- «3» — правильно распознана часть элементарных функций и применено не менее двух правил, но допущены ошибки в знаке, коэффициенте или определении постоянной; алгоритм требует подсказки.
- «2» — не выбран корректный вид первообразной, отсутствует связь с таблицей и не выполнена проверка результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма нахождения первообразной вы выполняете уверенно? | Выявление осознанно освоенного действия и сильной стороны ученика. |
В каком месте чаще всего возникает ошибка: преобразование, знак, коэффициент или постоянная $C$? | Выявление конкретных точек затруднения в алгоритме. |
Как вы проверяете, что найденная функция действительно является первообразной? | Проверка понимания обратной связи между интегрированием и дифференцированием. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Оценка самоопределения, мотивации и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали правила нахождения первообразных элементарных функций и убедились, что надёжный способ решения начинается с преобразования выражения. Особенно внимательно следите за знаками перед синусом и косинусом, коэффициентами и постоянной $C$. Проверка производной позволяет быстро отличить правильное решение от внешне похожего ошибочного. На следующем уроке мы продолжим применять первообразную в задачах с начальными условиями и при вычислении определённых интегралов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4–5 заданий на нахождение первообразных сумм элементарных функций с постоянными множителями: степенных, тригонометрических функций и функции $1/x$. Для двух решений выполнить проверку дифференцированием. | Закрепляет таблицу первообразных и правила линейности; при проверке обратить внимание на знаки, коэффициенты и наличие $C$. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания, в которых перед применением таблицы нужно преобразовать выражение: представить корень как степень, разложить дробь на слагаемые или вынести общий множитель. Одно задание оформить с подробным алгоритмом. | Формирует умение распознавать структуру функции и выбирать последовательность преобразований. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 прикладные задачи, где по заданной скорости или производительности требуется найти закон величины с использованием начального условия, и составить собственное задание на поиск ошибки в первообразной. | Развивает перенос знаний в новый контекст, аргументацию и исследовательскую самостоятельность. |
