Комплексные числа: мнимая единица, алгебраическая форма и действия
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют необходимость расширения множества действительных чисел, введут мнимую единицу $i$, запишут комплексное число в виде $z=a+bi$ и выполнят не менее четырёх базовых действий с комплексными числами с точностью не менее 80%.
- Сформировать понимание того, почему уравнение $x^2+1=0$ не имеет действительных корней и как введение мнимой единицы позволяет решить эту проблему.
- Научить распознавать действительную и мнимую части комплексного числа, изображать число $a+bi$ на координатной плоскости и выполнять сложение, вычитание и умножение комплексных чисел.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их на примерах, объяснять ход рассуждения и корректировать ошибочные записи.
- Показать связь комплексных чисел с геометрией, физикой и инженерными моделями, поддержать осознанный интерес к дальнейшему изучению математики.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность расширения математических моделей для решения задач, которые невозможно решить в исходной системе чисел.
- Проявляют готовность самостоятельно проверять гипотезы и признавать необходимость корректировки первоначального решения.
- Связывают изучение комплексных чисел с возможными направлениями дальнейшего образования: физикой, информатикой, инженерией и экономическим моделированием.
- Сохраняют учебную мотивацию при встрече с новым абстрактным понятием и воспринимают затруднение как условие поиска.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему, планируют последовательность её решения и оценивают достигнутый результат.
- Извлекают информацию из формул, таблиц, координатных моделей и короткого межпредметного сообщения.
- Сравнивают действительные и комплексные числа, выделяют существенные признаки и устанавливают причинно-следственные связи.
- Аргументированно представляют решение в паре и группе, используют математическую терминологию.
- Осуществляют самопроверку по эталону и фиксируют индивидуальное затруднение.
Предметные
- Знать определение мнимой единицы: $i^2=-1$, и общую форму комплексного числа $z=a+bi$.
- Уметь находить действительную часть $Re(z)=a$ и мнимую часть $Im(z)=b$.
- Уметь складывать, вычитать и умножать комплексные числа, используя равенство $i^2=-1$.
- Уметь изображать комплексное число точкой с координатами $(a,b)$ на комплексной плоскости.
- Владеть навыком проверки результата подстановкой и приведением выражения к стандартному виду.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения нового числового множества через решение ранее неразрешимого уравнения.
- Проявляют ответственное отношение к точности записи коэффициентов и математических обозначений.
- Оценивают собственную готовность применять новое понятие в незнакомой ситуации.
- Формируют установку на интеллектуальную настойчивость при работе с абстрактным материалом.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока после фиксации проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм действий: представить числа в стандартном виде, раскрыть скобки, заменить $i^2$ на $-1$, привести подобные части.
- Контролируют соответствие ответа форме $a+bi$.
- Выявляют ошибку в знаке или коэффициенте и вносят коррекцию.
- Оценивают результат по предложенным критериям и формулируют следующий шаг обучения.
Познавательные УУД
- Анализируют границы применимости действительных чисел на примере уравнения $x^2+1=0$.
- Выдвигают гипотезу о новом числе и проверяют её на алгебраических преобразованиях.
- Моделируют комплексное число точкой на координатной плоскости.
- Классифицируют выражения по действительной и мнимой частям.
- Переносит известные правила действий с выражениями на новую числовую систему.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и объясняют партнёру причину введения мнимой единицы.
- Согласуют в группе единый алгоритм умножения комплексных чисел.
- Задают уточняющие вопросы о знаке мнимой части и корректно комментируют решение одноклассника.
- Аргументированно защищают результат, используя определения и свойства.
- Участвуют в взаимопроверке по критериям, соблюдая деловой стиль общения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с уравнением $x^2+1=0$, определением $i^2=-1$, формой $a+bi$ и схемой комплексной плоскости.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 25 комплектов.
- Подготовить листы групповой работы с таблицей «Выражение — действительная часть — мнимая часть — стандартный вид» — по одному листу на группу из 3–4 человек.
- Распечатать мини-листы самопроверки с эталонами четырёх заданий — по одному на каждого ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по три набора на парту.
- Вывести на экран координатную сетку с горизонтальной действительной и вертикальной мнимой осями.
- Подготовить короткое межпредметное сообщение о применении комплексных чисел в описании электрических цепей и обработке сигналов.
- Разместить на доске памятку: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$; $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$.
- Подготовить таймер, маркеры, магниты и калькуляторы без режима символьных вычислений для проверки арифметики.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и создать познавательную потребность в расширении множества чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём исследование чисел, которые сначала могут показаться невозможными. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и лист самооценки. Сегодня важно не только получить ответ, но и объяснить, почему он получен именно так." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на исследовательскую работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране уравнение $x^2+1=0$ и обращается к классу: "Решите его мысленно в действительных числах. Какой вывод можно сделать? А теперь представьте, что математике необходимо сохранить форму уравнения и расширить множество чисел. Какое новое число нам понадобилось бы? Запишите гипотезу, не обсуждая её первые 30 секунд, затем сравните с соседом." | Индивидуально фиксируют: $x^2=-1$, действительного решения нет; обсуждают в парах гипотезы о числе, квадрат которого равен $-1$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели границу действительных чисел. Сегодня нам предстоит не просто запомнить новое обозначение, а понять, какую проблему оно решает и как с ним выполнять действия."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства степеней, координаты точки и стандартную форму выражений, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним опорные правила. Чему равны $(-3)^2$, $3^2$, $(-3)^3$? Как связаны знак числа и знак его квадрата? Назовите множество, в котором квадрат числа может быть отрицательным." Учитель фиксирует на доске ответы и подчёркивает невозможность отрицательного квадрата действительного числа. | Отвечают: "$(-3)^2=9$, $3^2=9$, $(-3)^3=-27$"; формулируют: "Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому отрицательный квадрат невозможен в действительных числах". |
3 мин | Учитель раздаёт карточку с выражениями $2x+3$, $(a+b)^2$, $5-2i$ и спрашивает: "В первых двух выражениях мы выделяем коэффициенты и приводим подобные слагаемые. Что можно было бы считать двумя частями выражения $5-2i$, если $i$ — новое число? Предложите форму записи, которая позволит сравнивать такие выражения." | Выделяют постоянную и переменную части в известных выражениях; предполагают: "$5$ — обычная часть, $-2i$ — новая часть"; предлагают запись вида $a+bi$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем работать с алгебраической формой выражений, но пока не знаем, что означает символ $i$. Именно это затруднение станет точкой нашего открытия."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать проблему, цель и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Сократовский диалог»: "Какое требование нужно предъявить новому числу, чтобы уравнение $x^2=-1$ получило решение? Как обозначить это число? Какие правила действий с ним необходимо установить, чтобы вычисления оставались однозначными?" Учитель не сообщает ответ, а записывает гипотезы на доске. | Формулируют: "Нужно число, квадрат которого равен $-1$"; предлагают обозначение $i$; называют необходимость определить сложение, умножение и приведение подобных частей. |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте цель урока одним предложением и составьте план из трёх шагов. Проверьте, чтобы в цели были понятны действие и результат." После обсуждения фиксирует согласованный вариант: ввести $i$, записать $a+bi$, научиться выполнять базовые действия. | Записывают цель: "Понять смысл мнимой единицы и научиться выполнять действия с комплексными числами"; предлагают план: определить новое число, исследовать форму записи, проверить алгоритмы на примерах. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена, цель определена. Теперь мы построим новое понятие так, чтобы оно было логичным продолжением уже известных правил, а не формальной договорённостью."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: ввести мнимую единицу, комплексное число и правила сложения, вычитания и умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $i^2=-1$, и поясняет: "Введём специальное число $i$, квадрат которого равен $-1$. Оно называется мнимой единицей. Это не ошибка и не сокращение, а новое математическое обозначение. Число вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, называется комплексным. Число $a$ — действительная часть, число $b$ — мнимая часть. Обратите внимание: мнимая часть — это коэффициент при $i$, а не всё слагаемое $bi$." | Записывают определения и проговаривают: "$i^2=-1$; в числе $3-5i$ действительная часть равна 3, мнимая часть равна -5". |
3 мин | Учитель обращается к группам: "Заполните таблицу для чисел $4+3i$, $-2+i$, $7$, $-6i$. Если одна из частей отсутствует, запишите её коэффициент явно. Например, $7=7+0i$. Объясните соседней группе, почему число $-6i$ имеет действительную часть 0." | В группах заполняют таблицу: для $4+3i$ получают $a=4$, $b=3$; для $-2+i$ — $a=-2$, $b=1$; для $7$ — $a=7$, $b=0$; для $-6i$ — $a=0$, $b=-6$. Представляют объяснение. |
4 мин | Учитель выводит на доску правила и разбирает пример: "Складываем и вычитаем отдельно действительные и мнимые части. Рассмотрим $(2+3i)+(4-5i)$. Получаем $(2+4)+(3-5)i=6-2i$. Теперь умножим $(2+i)(3-2i)$. Раскроем скобки, заменим $i^2$ на $-1$ и приведём подобные слагаемые. Назовите каждый следующий шаг." | Комментируют решение: $(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=6-i+2=8-i$; объясняют замену $-2i^2=2$. |
Запись в тетрадях
- $i^2=-1$.
- Комплексное число: $z=a+bi$, где $a,b\in\mathbb{R}$.
- $Re(a+bi)=a$, $Im(a+bi)=b$.
- $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$.
- $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы ввели мнимую единицу и получили рабочий алгоритм: раскрыть скобки, заменить $i^2$ на $-1$, отдельно собрать действительную и мнимую части. Теперь проверим, насколько надёжно этот алгоритм работает в разных формах записи."
Этап 5. Межпредметная связь и геометрическая модель (5 мин)
Цель этапа: показать, что комплексное число имеет не только алгебраическое, но и геометрическое и прикладное содержание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает координатную сетку и говорит: "Представим число $z=a+bi$ точкой с координатами $(a,b)$. Горизонтальная ось соответствует действительной части, вертикальная — мнимой. Где будет точка для $z=3+2i$? А для $w=-2-3i$? В физике и электротехнике комплексные числа позволяют одновременно записывать величину и фазу переменного сигнала. В информатике они используются при обработке изображений и сигналов. Значит, сегодняшняя абстракция описывает реальные процессы." | Наносят на мини-сетку точки $(3,2)$ и $(-2,-3)$, называют четверти: "Первая и третья"; объясняют, какая координата отвечает за каждую часть числа. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос для осмысления: "Почему нельзя изображать комплексное число только на обычной числовой прямой? Что добавляет вторая координата?" | Отвечают: "На прямой не хватает направления для мнимой части; нужна плоскость, где первая координата — действительная, вторая — мнимая". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Комплексное число можно вычислять как выражение и видеть как точку на плоскости. Такая двойная модель помогает проверять смысл записи и связывает алгебру с геометрией и физикой."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы действий с комплексными числами через парную проверку и проговаривание шагов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт задания и говорит: "Работаем по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала самостоятельно решите два выражения: $ (3+2i)+(5-7i)$ и $(4-i)-(1+3i)$. На это две минуты. Не пропускайте запись промежуточных действительных и мнимых частей." | Решают: $(3+2i)+(5-7i)=8-5i$; $(4-i)-(1+3i)=3-4i$; записывают промежуточные действия. |
3 мин | Учитель говорит: "Сверьте решения в паре. Если ответы различаются, найдите конкретный шаг расхождения. Объясните партнёру, почему при вычитании меняются знаки у обоих слагаемых второй скобки." Учитель наблюдает и адресно помогает. | Сравнивают записи, находят ошибки в раскрытии скобок, формулируют: "При вычитании комплексного числа вычитается и действительная, и мнимая часть". |
2 мин | Учитель приглашает ученика к доске: "Решите с комментированием выражение $(1+2i)(3+i)$. Класс проверяет каждый переход и показывает зелёный стикер, если шаг обоснован." | У доски получают $3+i+6i+2i^2=3+7i-2=1+7i$; остальные сверяют решение по шагам и задают уточняющие вопросы. |
Эталон решения
$(1+2i)(3+i)=3+i+6i+2i^2=3+7i+2(-1)=1+7i$. Ответ записан в стандартном виде $1+7i$; действительная часть равна 1, мнимая часть равна 7.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сложение и вычитание уже сводятся к работе с подобными частями, а умножение требует особого внимания к замене $i^2$ на $-1$. Сейчас каждый самостоятельно проверит, может ли выполнить полный алгоритм без подсказки."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой и коррекцией (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение определения и алгоритмов действий с комплексными числами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень, который позволит честно проверить себя. Минимум для всех: определить части чисел $-3+4i$ и $5-2i$, а также вычислить $(2+i)+(1-4i)$. Базовый уровень дополнительно содержит произведение $(2-3i)(1+2i)$. Повышенный уровень: найти все значения $x$, при которых $(x+2i)(1-i)$ является действительным числом. Записывайте ход решения, а не только ответ." | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Минимум: $Re=-3$, $Im=4$; $Re=5$, $Im=-2$; сумма $3-3i$. Базовый пример приводят к $8+i$. В повышенном задании раскрывают скобки и получают условие на коэффициент при $i$. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "Проверьте не только итог, но и три позиции: стандартная форма, правильная замена $i^2=-1$, знаки при вычитании или умножении. Отметьте цветом место первой ошибки и исправьте его рядом." | Сверяют решения с эталоном, выделяют первую ошибку, выполняют коррекцию и ставят себе отметку уровня: «готов», «нужна тренировка» или «нужна помощь». |
Эталон решения
$(2-3i)(1+2i)=2+4i-3i-6i^2=2+i+6=8+i$. Для повышенного задания: $(x+2i)(1-i)=x-xi+2i-2i^2=(x+2)+(2-x)i$. Чтобы число было действительным, $2-x=0$, поэтому $x=2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что основное затруднение связано не с самим символом $i$, а с точностью алгебраических преобразований. На следующем шаге мы свяжем новое понятие с общей системой чисел и сформулируем вывод урока."
Этап 8. Включение в систему знаний и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить остаточные затруднения и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная формула»: "За одну минуту допишите три фразы: «Комплексное число — это…», «При умножении я обязательно…», «Геометрически число $a+bi$ — это…». Затем поднимите зелёный, жёлтый или красный стикер: зелёный — могу объяснить и применить, жёлтый — понимаю, но ошибаюсь, красный — нужна совместная тренировка." | Заполняют три фразы: "число вида $a+bi$"; "заменяю $i^2$ на $-1$"; "точка $(a,b)$"; выбирают цвет самооценки. |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как теперь решается уравнение $x^2+1=0$? Какой ответ и почему? Назовите одну типичную ошибку, которой вы будете избегать." | Отвечают: "$x^2=-1$, поэтому $x=i$ или $x=-i$"; называют ошибки: «забыть знак при вычитании», «не заменить $i^2$ на $-1$», «перепутать мнимую часть с слагаемым $bi$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли новое числовое множество, решили исходную проблему и проверили действия на примерах. Осталось закрепить алгоритмы дома и подготовить вопросы для следующего урока о сопряжённых комплексных числах и делении."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все обязательные задания и задание выбранного уровня, комплексные числа приведены к форме $a+bi$, корректно выделены действительная и мнимая части, решение содержит обоснованные промежуточные шаги.
- "4" — верно выполнены обязательные задания, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка в дополнительном примере, алгоритм в целом выбран правильно.
- "3" — верно выполнены не менее двух обязательных действий, определены части хотя бы одного комплексного числа, но имеются ошибки при раскрытии скобок или замене $i^2$ на $-1$.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о числе $i$ и зачем оно вводится? | Проверка понимания мотивации расширения множества действительных чисел. |
На каком шаге умножения комплексных чисел вы можете ошибиться? | Выявление точек затруднения в алгоритме преобразований. |
Как вы объясните смысл записи $a+bi$ ученику, который пропустил урок? | Проверка осознанного владения определением и коммуникативного результата. |
Какой цвет самооценки вы выбрали и какое действие поможет перейти на следующий уровень? | Формирование регулятивной рефлексии и индивидуального плана коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что математика расширяет свои средства, когда прежних чисел недостаточно для решения уравнения. Мы ввели мнимую единицу $i$, научились записывать комплексные числа в форме $a+bi$ и выполнять с ними основные действия. Самая частая ошибка — потерять знак при раскрытии скобок или забыть, что $i^2=-1$. Дома закрепите алгоритм и обратите внимание на связь между алгебраической записью и точкой на комплексной плоскости. На следующем уроке мы исследуем сопряжённые числа и научимся делить комплексные числа."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 упражнений на определение действительной и мнимой частей, запись действительных чисел в виде $a+0i$, сложение и вычитание комплексных чисел. | Закрепляет определения и базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на стандартную форму и знаки мнимых частей. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на умножение комплексных чисел и приведение результата к виду $a+bi$; построить на комплексной плоскости точки для трёх заданных чисел. | Формирует устойчивость вычислительного алгоритма и связывает алгебраическую запись с геометрической моделью. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать уравнение $(x+2i)(1-i)$ и подобрать действительное значение $x$, при котором результат является действительным; составить и решить ещё одну аналогичную задачу. | Развивает исследовательское мышление, умение составлять условие и использовать условие равенства мнимой части нулю. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как определяется мнимая единица? В каком виде записывают комплексное число? Что называют его действительной и мнимой частями? Какое правило обязательно применяют при умножении? Как изображается число $a+bi$ на комплексной плоскости?"
