Уравнения и неравенства: от корня к методу интервалов
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют различия между уравнением и неравенством, объяснят смысл корня и решения, применят метод интервалов к решению целых и дробно-рациональных неравенств и выполнят самопроверку по заданным критериям.
- Систематизировать понятия «уравнение», «корень уравнения», «неравенство», «решение неравенства» и установить связь между ними.
- Вывести алгоритм метода интервалов для целых и дробно-рациональных неравенств на основе анализа знака выражения.
- Научиться решать простейшие целые и дробно-рациональные уравнения и неравенства, учитывая область допустимых значений и кратность корней.
- Развивать математическую аргументацию, самоконтроль и готовность выбирать способ решения в зависимости от структуры задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точной записи области допустимых значений и проверки результата для математической грамотности.
- Проявляют ответственное отношение к самостоятельной работе и объективной оценке собственного результата.
- Понимают практическую ценность анализа условий задачи для дальнейшего обучения и подготовки к итоговой аттестации.
- Формируют готовность обосновывать решение, а не ограничиваться получением ответа.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки уравнений и неравенств, классифицируют задания по виду выражений.
- Строят алгоритм решения и применяют его в новой ситуации.
- Читают математическую запись, преобразуют её в графическую модель на числовой прямой.
- Сотрудничают в парах, формулируют вопросы и аргументируют выбор знаков на интервалах.
- Проводят самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибку.
Предметные
- Знать определения уравнения, корня уравнения, неравенства и решения неравенства.
- Уметь находить область допустимых значений дробно-рационального выражения.
- Уметь решать целые уравнения приведением к виду произведения множителей.
- Владеть алгоритмом метода интервалов для решения неравенств вида $f(x)>0$, $f(x)<0$.
- Уметь учитывать запрещённые значения и кратность корней при построении числовой прямой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают роль аккуратной математической записи в получении достоверного результата.
- Определяют личную цель на урок и соотносят её с будущими учебными задачами.
- Проявляют настойчивость при анализе ошибки и повторной проверке решения.
- Оценивают собственную готовность применять метод интервалов самостоятельно.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель и план решения проблемного задания.
- Прогнозируют возможные ошибки при исключении знаменателя и выборе знаков.
- Контролируют последовательность выполнения алгоритма.
- Сверяют решение с эталоном, фиксируют расхождение и корректируют запись.
- Оценивают результат по критериям, предложенным учителем.
Познавательные УУД
- Сравнивают уравнение и неравенство по количеству и характеру решений.
- Выделяют нули числителя и знаменателя рационального выражения.
- Моделируют знак выражения с помощью числовой прямой и контрольных точек.
- Устанавливают влияние чётной и нечётной кратности корня на смену знака.
- Преобразуют условие задачи в последовательность логически связанных действий.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему точка включается или не включается в ответ.
- Задают уточняющие вопросы о допустимых преобразованиях.
- Согласовывают общий алгоритм решения в паре.
- Аргументированно защищают выбранный знак на каждом интервале.
- Корректно обсуждают ошибочное решение и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определениями уравнения, корня, неравенства и решения неравенства.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить лист с алгоритмом метода интервалов: ОДЗ, нули числителя, нули знаменателя, числовая прямая, знаки, ответ.
- Распечатать мини-листы для рефлексии и билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Подготовить магнитные или проецируемые числовые прямые с отмечаемыми точками $-2$, $0$, $3$.
- Вывести на экран проблемное задание $\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}>0$ без готового алгоритма.
- Подготовить маркеры двух цветов для обозначения нулей числителя и запрещённых значений знаменателя.
- Организовать таймер на 2, 3 и 5 минут для работы в парах и самостоятельной проверки.
- На доске заранее оставить место для общей схемы «Уравнение — Неравенство — Метод интервалов».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость точного различения уравнений и неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте. Сегодня мы будем работать не только с формулами, но и с логикой математического решения. На доске записаны две записи: $2x-5=0$ и $2x-5>0$. Быстро определите, чем они похожи и чем различаются. Не называйте пока ответ, сначала сформулируйте его для себя." | Индивидуально рассматривают две записи, фиксируют различие между равенством и неравенством; предполагают: "В первом случае ищется точное значение, во втором — множество значений". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "У вас есть 30 секунд на личную формулировку, затем обсудите её с соседом. Обратите внимание: нам важно не угадать термин, а объяснить, как меняется множество решений. Две пары назовут свои варианты, а мы сравним формулировки." | Формулируют ответ индивидуально, обсуждают его в парах одну минуту, затем предлагают классу определения: "Уравнение задаёт условие равенства, а неравенство — условие сравнения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что внешне похожие записи требуют разного анализа результата. Теперь восстановим точные определения и проверим, какие преобразования допустимы в каждом случае."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения, свойства равносильных преобразований и знания о разложении многочлена на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске четыре записи: $x^2-9=0$, $x+4<7$, $\frac{1}{x-2}=0$, $(x-1)(x+3)=0$. "Распределите записи на уравнения и неравенства. Для каждой записи скажите, что будет считаться решением. Отдельно объясните, почему в третьей записи нужно сразу обратить внимание на знаменатель." | Классифицируют записи, отвечают: "$x^2-9=0$ и $\frac{1}{x-2}=0$ — уравнения; $x+4<7$ — неравенство; $(x-1)(x+3)=0$ — уравнение". Указывают, что $x=2$ запрещено, так как знаменатель равен нулю. |
3 мин | Учитель предлагает устный блиц: "Чему равны корни уравнения $x^2-9=0$? Как решается произведение, равное нулю? Что происходит со знаком неравенства при умножении на отрицательное число?" После ответов учитель фиксирует ключевые правила на доске. | Решают $x^2-9=0$, получают $x=-3$ и $x=3$; формулируют правило нулевого произведения; отвечают: "При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется". |
Запись в тетрадях
- Уравнение — равенство, содержащее переменную; корень уравнения — значение переменной, обращающее равенство в верное.
- Неравенство — запись, содержащая переменную и один из знаков сравнения; решением неравенства является значение или множество значений переменной, при которых неравенство верно.
- При решении дробно-рационального выражения значения, обращающие знаменатель в ноль, исключаются из ОДЗ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили определения, ОДЗ и правило нулевого произведения. Теперь столкнёмся с выражением, где простого переноса слагаемых недостаточно и нужно исследовать знак на всей числовой прямой."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при решении дробно-рационального неравенства и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран задание: $\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}>0$. "Попробуйте решить его привычным способом. Можно ли просто перенести всё в одну сторону и назвать один корень? Что мешает получить ответ сразу?" Учитель не сообщает алгоритм, а фиксирует затруднения учеников. | Пробуют решить индивидуально, называют затруднения: "Здесь не один корень, есть знаменатель", "Нужно понять знак выражения на разных промежутках", "Точку $x=3$ нельзя включать". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как по нескольким критическим точкам определить, где произведение и частное положительны или отрицательны? Сформулируйте цель урока в форме действия." | Формулируют цель: "Научиться решать целые и дробно-рациональные неравенства методом интервалов, находить ОДЗ и правильно оформлять ответ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: нам нужно исследовать знак не в одной точке, а на каждом промежутке. Построим алгоритм, проверим его на общем примере и затем применим самостоятельно."
Этап 4. Открытие нового знания: метод интервалов (10 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно применить алгоритм метода интервалов для целого и дробно-рационального неравенства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске алгоритм: "Шаг 1 — перенести выражение в одну сторону. Шаг 2 — найти ОДЗ. Шаг 3 — разложить числитель и знаменатель на множители. Шаг 4 — отметить нули числителя и знаменателя. Шаг 5 — определить знаки на интервалах. Шаг 6 — выбрать нужные промежутки и проверить включение граничных точек." Учитель подчёркивает: "Нули знаменателя всегда выколоты; нули числителя включаются только при нестрогом знаке." | Записывают алгоритм, задают уточняющие вопросы, формулируют правило включения точек: "При $>$ и $<$ нули числителя не включаются; при $\geq$ и $\leq$ включаются, если они принадлежат ОДЗ". |
4 мин | Учитель разбирает пример: "Решим $\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}>0$. ОДЗ: $x\ne3$. Критические точки: $-1$, $2$, $3$. Расположим их на прямой и выберем контрольные точки $-2$, $0$, $4$. Посчитаем знак произведения и частного на каждом интервале. Почему знак меняется при прохождении каждой точки?" | Строят числовую прямую, отмечают $-1$ и $2$ пустыми или потенциально включаемыми точками числителя, $3$ выколотой точкой знаменателя. Проверяют знаки: на $(-\infty;-1)$ плюс, на $(-1;2)$ минус, на $(2;3)$ плюс, на $(3;+\infty)$ минус. Формулируют: "У простых корней знак меняется при переходе через точку". |
2 мин | Учитель сравнивает строгий и нестрогий случаи: "Если бы было $\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}\geq0$, какие точки изменили бы статус? Проверьте не только знак, но и ОДЗ." | Отвечают: "Точки $-1$ и $2$ включаются, а $3$ остаётся исключённой"; записывают ответ для нестрогого случая: $[-1;2]\cup(3;+\infty)$. |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритм метода интервалов и решение примера: $\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}>0$, $x\in(-\infty;-1)\cup(2;3)$. Точка $x=3$ исключена из ОДЗ, точки $-1$ и $2$ не включены из-за строгого неравенства.
Эталон решения
$\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}>0$. ОДЗ: $x\ne3$. Нули числителя: $x=-1$ и $x=2$. Критические точки: $-1$, $2$, $3$. На интервалах знаки имеют вид $+,-,+,-$. Так как требуется положительное значение, выбираем $(-\infty;-1)$ и $(2;3)$. Ответ: $x\in(-\infty;-1)\cup(2;3)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не случайный набор действий, а алгоритм: ОДЗ, критические точки, знаки, выбор интервалов и проверка границ. Теперь закрепим его сначала вместе, а затем каждый применит самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на целых и дробно-рациональных выражениях с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с двумя заданиями: $x^2-5x+6\leq0$ и $\frac{x+2}{x-1}<0$. "Работаем в парах. Один ученик отвечает за разложение на множители и ОДЗ, второй — за числовую прямую и знаки. Через две минуты поменяйтесь ролями. В решении должны быть видны все критические точки." | Распределяют роли, решают первое задание: $(x-2)(x-3)\leq0$, получают $x\in[2;3]$. Для второго находят ОДЗ $x\ne1$, критические точки $-2$ и $1$, получают $x\in(-2;1)$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сравните ответы с парой рядом. Не называйте только результат: найдите место, где у вас впервые появляется различие. Проверьте включение точек и запрещённое значение." | Сравнивают записи, отмечают совпадения и ошибки, используют формулировку «Две звезды и пожелание»: называют два удачных шага и один совет по оформлению. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку на доске: ученик включил $x=1$ в ответ дробного неравенства. "Почему это недопустимо, даже если знак выражения меняется около этой точки?" | Объясняют: "$x=1$ обращает знаменатель в ноль, выражение не определено, поэтому точка всегда выколота". Исправляют ответ: $(-2;1)$. |
Эталон решения
Для $x^2-5x+6\leq0$: $(x-2)(x-3)\leq0$. Корни $2$ и $3$, знак произведения отрицателен между корнями, при нестрогом знаке границы включаются. Ответ: $[2;3]$. Для $\frac{x+2}{x-1}<0$: ОДЗ $x\ne1$, критические точки $-2$ и $1$, отрицательный знак на промежутке между ними. Ответ: $(-2;1)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Пары увидели, что для целого неравенства мы работаем только с нулями числителя, а для дробно-рационального обязательно добавляем нули знаменателя. Переходим к индивидуальной работе, где каждый покажет полный алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение понятиями и алгоритмом метода интервалов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выбрать один из двух вариантов. Вариант А: решить $x^2-4x-5>0$ и $\frac{x-4}{x+1}\geq0$. Вариант Б: решить $(x-1)(x+2)(x-3)\leq0$ и $\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}<0$. "Запишите ОДЗ, критические точки, схему знаков и ответ. Выбор варианта не влияет на оценку: важна полнота рассуждения." | Индивидуально решают выбранный вариант. Для варианта А получают $(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$ и $(-1;4]$. Для варианта Б получают $(-\infty;-2]\cup[1;3]$ и $(-\infty;-1)\cup(2;3)$. |
3 мин | Учитель открывает эталон и проводит самопроверку: "Поставьте плюс за правильно найденные критические точки, плюс за верную схему знаков и плюс за корректное оформление ответа. Ошибку не стирайте: подчеркните место, где она возникла, и рядом запишите исправление." | Сверяют решение с эталоном, подсчитывают количество успешных шагов, исправляют ошибку в тетради, отмечают её тип: ОДЗ, множители, знак, граница интервала. |
Эталон решения
Вариант А: $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$. При $>0$ ответ $(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$. Для $\frac{x-4}{x+1}\geq0$: ОДЗ $x\ne-1$, критические точки $-1$ и $4$, знак неотрицателен на $(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)$? Проверка знаков: при $x=-2$ дробь положительна, при $x=0$ отрицательна, при $x=5$ положительна. Поэтому ответ $(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)$. Учитель обращает внимание на необходимость сверять ответ с контрольными точками.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главная трудность связана не с построением прямой, а с дисциплиной алгоритма: нельзя пропускать ОДЗ и проверку границ. Завершим урок короткой рефлексией и зафиксируем следующий шаг работы."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы действий, выявить затруднения и принять домашнее задание с учётом уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Закончите три фразы: «Теперь я могу…», «Мне нужно ещё потренировать…», «Перед записью ответа я обязательно проверю…». Затем поставьте цвет: зелёный — алгоритм выполняю самостоятельно, жёлтый — нужна одна подсказка, красный — требуется совместный разбор." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат, отмечают уровень уверенности и называют затруднение: "Иногда путаю нули знаменателя и числителя" или "Не всегда правильно выбираю интервалы". |
2 мин | Учитель проводит билет на выход: "Ответьте письменно: решите неравенство $\frac{x-2}{x+3}>0$ и одной фразой объясните, почему $x=-3$ не входит в ответ." | Решают: ОДЗ $x\ne-3$, критические точки $-3$ и $2$, знак положителен на $(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$. Записывают: "$x=-3$ исключается, потому что обращает знаменатель в ноль". |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. В каждой работе сохраняйте полный алгоритм: ОДЗ, точки, знаки, ответ." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены оба задания выбранного варианта, записаны ОДЗ или все критические точки, правильно построена схема знаков, ответ оформлен объединением интервалов и учтено включение границ.
- «4» — верно решены оба задания, но допущена одна неточность в оформлении числовой прямой, записи знака или пояснении включения границы, не повлиявшая на основной ход решения.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно задание и продемонстрирован общий алгоритм, но допущены ошибки в определении одного интервала, ОДЗ или включении граничной точки.
- Оценка ниже «3» выставляется при отсутствии алгоритма или при неверном определении большинства критических точек; работа дорабатывается по индивидуальной карточке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о различии между корнем уравнения и решением неравенства? | Проверка осознания различия между отдельным значением и множеством решений. |
Какие шаги метода интервалов нельзя пропускать? | Выявление понимания структуры алгоритма и роли ОДЗ. |
Какое место в решении оказалось самым сложным: разложение, критические точки, знаки или границы? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей дифференциации. |
Как вы объясните однокласснику, почему ноль знаменателя не включается в ответ? | Проверка способности аргументировать математическое решение. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы связали несколько важных понятий: уравнение имеет корни, неравенство — множество решений, а метод интервалов помогает исследовать знак выражения на всей числовой прямой. Типичная ошибка — записать ноль знаменателя в ответ или пропустить область допустимых значений. Перед сдачей любой работы проверяйте критические точки и границы интервалов. На следующем уроке мы усложним задания: рассмотрим кратные корни и более сложные дробно-рациональные выражения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 целых и дробно-рациональных неравенства, включая два задания на разложение квадратного трёхчлена и два задания с линейным числителем и знаменателем. Для каждого записать критические точки, знаки на интервалах и ответ. | Закрепить базовый алгоритм метода интервалов; при проверке обратить внимание на разложение на множители и включение границ. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания: целое неравенство с произведением трёх множителей, дробно-рациональное неравенство с двумя линейными множителями и задачу, где требуется сначала перенести все слагаемые в одну сторону. В каждом решении указать ОДЗ. | Развить умение самостоятельно выбирать преобразования и не смешивать нули числителя с запрещёнными значениями знаменателя. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственное дробно-рациональное неравенство с четырьмя критическими точками, решить его методом интервалов и кратко объяснить, как изменится ответ при замене строгого знака на нестрогий. | Развить исследовательское и творческое мышление; при проверке оценить корректность конструкции, анализ знаков и аргументацию изменения границ. |
Контрольные вопросы перед выходом: чем корень уравнения отличается от решения неравенства? Какие значения формируют критические точки? Почему нули знаменателя всегда исключаются? Когда граница интервала включается в ответ?
